Σύγκλιση σειράς

lefsk · #1

Έστω $(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ ακολουθία με μη αρνητικούς όρους που ικανοποιεί $\sum_{n=1}^{\infty } x_{n} < +\infty$ . Δείξτε
ότι για κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ με f(0)=0

η σειρά $\sum_{n=1}^{\infty } f(x_{n})$ συγκλίνει.

Σκέφτηκα έναν τρόπο λύσης άλλα δεν μου φαίνεται 100% σωστός.
Σκέφτηκα να πάρω τις σειρές $\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}$ και $\sum_{n=1}^{\infty } \left | f(x_{n}) \right |$ που είναι μη αρνητικές και να εφαρμόσω το Κριτήριο Οριακής Σύγκρισης.
$\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{\left | f(x_{n}) \right |}{x_{n}}= \lim_{n\rightarrow +\infty}\left | \frac{ f(x_{n}) }{x_{n}} \right |= \lim_{n\rightarrow +\infty}\left | \frac{ f(x_{n}) - f(0) }{x_{n} - 0} \right | }$ και αφού $\sum_{n=1}^{\infty } x_{n} < +\infty$ άρα $x_{n} \rightarrow 0$ , οπότε το όριο θα γίνει: $\displaystyle{ \lim_{x_{n}\rightarrow 0}\left | \frac{ f(x_{n}) - f(0) }{x_{n} - 0} \right | }$ που είναι η $\left | f'(0) \right |$ και $\left | f'(0) \right |\geq 0$ άρα σε κάθε περίπτωση αφού η $\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}$ συγκλίνει τότε και η $\sum_{n=1}^{\infty } f(x_{n})$ συγκλίνει απόλυτα, άρα συγκλίνει.
Το πρόβλημα είναι ότι το κριτήριο αναφέρεται σε θετικές ακολουθίες, όχι σε μη αρνητικές.
Κάποια ιδέα; Ευχαριστώ πολύ!

#2

lefsk έγραψε: Κυρ Μάιος 19, 2019 8:30 pm Το πρόβλημα είναι ότι το κριτήριο αναφέρεται σε θετικές ακολουθίες, όχι σε μη αρνητικές.
Κάποια ιδέα; Ευχαριστώ πολύ!

Αν

για κάποιο

τότε απλά παραλείπουμε αυτόν τον όρο από το $\sum x_n$ (δεν αλλάζει η τιμή του). Επειδή f(0)=0

δεν αλλάζει ούτε η τιμή του $\sum f(x_n)$ . Έτσι η απόδειξή σου περνάει ατόφια.

Ας σημειώσω ότι έχεις ήδη χρησιμοποιήσει $x_n\ne 0$ για κάθε

. Είναι στο σημείο όπου εμφανίζονται παρονομαστές x_n

.

lefsk · #3

Σωστά, αν παραλείψουμε πεπερασμένο πλήθος όρων, το αποτέλεσμα δεν αλλάζει. Κατάλαβα, σας ευχαριστώ πολύ! Καλό βράδυ!

#4

lefsk έγραψε: Κυρ Μάιος 19, 2019 9:19 pm Σωστά, αν παραλείψουμε πεπερασμένο πλήθος όρων, το αποτέλεσμα δεν αλλάζει. Κατάλαβα, σας ευχαριστώ πολύ! Καλό βράδυ!

Ακόμα καλύτερα: Και άπειρο πλήθος μηδενικών αν παραλείψεις, το άθροισμα δεν αλλάζει.

Σύγκλιση σειράς

Σύγκλιση σειράς

Re: Σύγκλιση σειράς

Re: Σύγκλιση σειράς

Re: Σύγκλιση σειράς

Μέλη σε σύνδεση