Λόγος απότοκος λόγου

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα. Με αφετηρία την "δυνατή" άσκηση του Γιώργου ΕΔΩ

: Λόγος απότοκος λόγου.PNG (11.35 KiB) Προβλήθηκε 1066 φορές

Το τρίγωνο ABC

έχει $\widehat{A}=90^{0}$ . Θεωρούμε σημείο

πάνω στο ύψος του

με $\dfrac{ID}{AD}=k$ .

Οι συμμετρικές της

ως προς τις

και

τέμνονται στο

.Οι κάθετες από τα B,C

προς τις

αντίστοιχα τέμνονται στο

.

Να υπολογιστεί, ως συνάρτηση του , ο λόγος $\dfrac{\left ( BEC \right )}{\left (BHC \right )}$

Για έλεγχο ..

..δείτε την θέση της

με την

για $k=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ . Σας ευχαριστώ , εκ' των προτέρων Γιώργος.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Τετ Ιούλ 03, 2019 3:21 am Καλημέρα. Με αφετηρία την "δυνατή" άσκηση του Γιώργου ΕΔΩ
Λόγος απότοκος λόγου.PNG
Το τρίγωνο έχει $\widehat{A}=90^{0}$ . Θεωρούμε σημείο πάνω στο ύψος του με $\dfrac{ID}{AD}=k$ .

Οι συμμετρικές της ως προς τις και τέμνονται στο .Οι κάθετες από τα προς τις αντίστοιχα τέμνονται στο .

Να υπολογιστεί, ως συνάρτηση του , ο λόγος $\dfrac{\left ( BEC \right )}{\left (BHC \right )}$

Για έλεγχο .. ..δείτε την θέση της με την για $k=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ . Σας ευχαριστώ , εκ' των προτέρων Γιώργος.

Γεια σας!

$DH=DC\tan\widehat{HCB}=\dfrac{DC}{\tan\widehat{CBI}}=\dfrac{DC\cdot BD}{DI}=\dfrac{AD^2}{DI}=\dfrac{AD}{k}$
οπότε $\left ( BHC \right )=\dfrac{\left ( ABC \right )}{k}$

Για την συνέχεια βασίστηκα στην πρώτη λύση της άσκησης του κ.Γιώργου:
Έστω

η ημιπερίμετρος του BEC

Επειδή

έγκεντρο του BEC

θα είναι $BD=t-EC,DC=t-EB,AD=\sqrt{\left ( t-EC \right )\left ( t-EB \right )}$

Eξισώνουμε το

(

η ακτίνα του έγκυκλου) με τον τύπο του Ήρωνα:
$tr=\sqrt{t\left ( t-BC \right )\left ( t-EC \right )\left ( t-EB \right )}\Leftrightarrow tk\sqrt{\left ( t-EB \right )\left ( T-EC \right )}=\sqrt{t\left ( t-BC \right )\left ( t-EC \right )\left ( t-EB \right )}\Leftrightarrow \,\,...k^2t=t-BC\Leftrightarrow \dfrac{BC}{t}=1-k^2$

$\dfrac{\left ( BEC \right )}{\left ( ABC \right )}=\dfrac{tr}{\dfrac{1}{2}krBC}=\dfrac{2}{1-k^2}\Leftrightarrow \left ( BEC \right )=\left ( ABC \right )\dfrac{2k}{1-k^2}$
Έχουμε
$\dfrac{\left ( BEC \right )}{\left ( BHC \right )}=\dfrac{\left ( ABC \right )\dfrac{2k}{1-k^2}}{\dfrac{\left ( ABC \right )}{k}}=\dfrac{2k^2}{1-k^2}$

Για $k=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ είναι (BHC)=(BEC)

οπότε

Λόγος απότοκος λόγου

Λόγος απότοκος λόγου

Re: Λόγος απότοκος λόγου

Μέλη σε σύνδεση