Δύο και μία κάθετες

#1

: 2+1 κάθετες.png (12.41 KiB) Προβλήθηκε 868 φορές

Έστω

το περίκεντρο τριγώνου ABC

και

σημεία των πλευρών BC, AC, AB

αντίστοιχα, ώστε

$DE\bot CO$ και $DF\bot BO.$ Αν

είναι το περίκεντρο του τριγώνου AEF,

να δείξετε ότι $KD\bot BC.$

Ορέστης Λιγνός · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 21, 2019 10:11 am

2+1 κάθετες.png
Έστω το περίκεντρο τριγώνου και σημεία των πλευρών αντίστοιχα, ώστε

$DE\bot CO$ και $DF\bot BO.$ Αν είναι το περίκεντρο του τριγώνου να δείξετε ότι $KD\bot BC.$

Σε μία προσπάθεια να προλάβω τον Πρόδρομο ...

Είναι $\angle FKE=2\angle A=\angle BOC=180^\circ-\angle FDE$ (από το εγγράψιμο τετράπλευρο OPDQ

με $P \equiv FD \cap OB, \, Q \equiv ED \cap OC$ ).

Οπότε, $\angle FKE+\angle FDE=180^\circ \Rightarrow KFDE$ εγγράψιμο.

Οπότε $\angle KDF=\angle KEF=90^\circ-\angle FKE/2=90^\circ-\angle A$ και επίσης $\angle FDB=90^\circ-\angle OBC=\angle A$ , οπότε $\angle FDB+\angle KDF=90^\circ \Rightarrow KD \perp BC$ .

Δύο και μία κάθετες

Δύο και μία κάθετες

Re: Δύο και μία κάθετες

Μέλη σε σύνδεση