Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης

psaxno · #1

Χαίρεται. Προσπαθώ να λύσω μια άσκηση που ζητείται η απόδειξη πως το σύνολο τιμών της

είναι το

. Συγκεκριμένα λέει:

Δίνεται συνάρτηση $f: R\rightarrow R$ για την οποία ισχύει:
f(f(x)-2)=x

α) Να αποδείξετε ότι η

είναι 1-1
β) Να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της

είναι το

Το α) εύκολα αποδεικνύεται. Το β) όμως πώς γίνεται; Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

#2

psaxno έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 11, 2018 2:57 am
Χαίρεται. Προσπαθώ να λύσω μια άσκηση που ζητείται η απόδειξη πως το σύνολο τιμών της είναι το . Συγκεκριμένα λέει:

Δίνεται συνάρτηση $f: R\rightarrow R$ για την οποία ισχύει:

α) Να αποδείξετε ότι η είναι 1-1
β) Να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το

Το α) εύκολα αποδεικνύεται. Το β) όμως πώς γίνεται; Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

Και το β) είναι εύκολο.

Υπόδειξη: Μπορείς άραγε να βρεις

με

; Αν στην θέση του 500

είχες κάτι άλλο, θα μπορούσες;

psahno: Θα χαρούμε να δούμε την σκέψη σου εδώ.

Λάμπρος Κατσάπας · #3

psaxno έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 11, 2018 2:57 am
Χαίρεται. Προσπαθώ να λύσω μια άσκηση που ζητείται η απόδειξη πως το σύνολο τιμών της είναι το . Συγκεκριμένα λέει:

Δίνεται συνάρτηση $f: R\rightarrow R$ για την οποία ισχύει:

α) Να αποδείξετε ότι η είναι 1-1
β) Να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το

Το α) εύκολα αποδεικνύεται. Το β) όμως πώς γίνεται; Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

Θα περιγράψω έναν διαφορετικό τρόπο εύρεσης το ΣΤ από αυτόν που περιγράφει ο κ.Λάμπρου παραπάνω.

Βασίζεται σε απλή παρατήρηση της συναρτησιακής. Ας συμβολίσουμε g(x)=f(x)-2

(δεν είναι απαραίτητο, μόνο και μόνο για λόγους ευκολίας).

Έτσι η σχέση μας γίνεται f(g(x))=x

(1) Αν φανταστείς την fog

σαν αντιστοίχιση που την τροφοδοτείς με

και σου δίνει πίσω f(g(x))

τότε όταν εξαντλήσεις όλα τα $x \in \mathbb{R}$ τα f(g(x))

θα πάρουν όλες τις τιμές στους πραγματικούς. Αυτό γιατί ισχύει η (1). Αυστηρά, το ΣΤ της fog

είναι το

Βάζουμε μέσα στο παιχνίδι τώρα και το ΣΤ της

. Όποιο και αν είναι αυτό σίγουρα θα είναι κάποιο

υποσύνολο των πραγματικών δηλαδή $g(\mathbb{R})\subseteq \mathbb{R}.$ Όμως $f(g(R))\subseteq f(R)$

και όπως έχουμε ήδη δείξει f(g(R))=R

. Δεδομένου ότι το ΣΤ της

(δηλαδή αυτό που ψάχνουμε) είναι

κάποιο υποσύνολο των πραγματικών, $f(\mathbb{R})\subseteq \mathbb{R}$ έχουμε τελικά ότι $f(\mathbb{R})=.....$

psaxno · #4

Σας ευχαριστώ και τους δύο για τις άμεσες απαντήσεις. Για αυτό που λέτε εσείς κ. Λάμπρου, αν όπου f(x)

=500 θα έχω f(f(x)-2)=f(500-2)=f(498)=x

, το οποίο δε με βοηθάει παρακάτω. Κάτι άλλο που σκέφτηκα ήταν το f(x)=2

ούτως ώστε να έχω f(2-2)=f(0)=x

, που και πάλι δε με βοηθάει. Κι αν εξισώσω τα δύο παραπάνω, δηλαδή f(498)=f(0)

, λόγω του ότι η f:1-1

συνεπάγεται ότι 498=0, που δεν ισχύει. Βέβαια καταλήγω σε αυτό, επειδή αν f(x)=500

ή

, το χ θα παίρνει κάποιες τιμές, που μου είναι άγνωστες αφού δεν έχω τον τύπο της f για να το υπολογίσω. Με δοκιμές που έκανα βρήκα πως f(x)=x+1

, κι έτσι

, το οποίο ταιριάζει, γιατί αν βάλω στην f(x)=x+1

όπου χ=χ-1 θα βγει χ-1+1=χ, δηλαδή το αποτέλεσμα της f(f(x)-2)=x

. Αυτό όμως δεν ξέρω πώς μπορώ να το αποδείξω, γιατί όπως είπα βρέθηκε με δοκιμές, αφού αν μπορούσα είναι προφανές πως το σύνολο τιμών θα βρεθεί από τον τύπο της αντίστροφης $f^{-1}(x)=x-1$ , το οποίο έχει πεδίο ορισμού όλο το

, και άρα το σύνολο τιμών της f(x)=x+1

είναι το

.

Για τη δική σας λύση κ. Κατσάπα δεν έχω καταλάβει ακριβώς μετά τη σχέση (1) πώς καταλήγουμε στα υπόλοιπα συμπεράσματα που γράφετε, αλλά σκέφτηκα κάτι που νομίζω πως τελικά αποδεικνύει το ζητούμενο, κι ίσως να είναι το ίδιο με αυτό που λέτε εσείς. Θέτω f(g(x))=y

και η εξίσωση γίνεται y=x

. Άρα το σύνολο τιμών της $f\circ g$ είναι το

, όπως και το πεδίο ορισμού της. Από τον ορισμό της σύνθεσης συναρτήσεων ισχύει $D_{f\circ g}=\left \{ x\in D_{g}|g(x)\in D_{f} \right \}\neq \varnothing$ , άρα για να είναι αυτό ίσο με

, θα είναι $D_{g}=R$ και $D_{f}=R$ . Οπότε αντίστοιχα και τα σύνολα τιμών αυτών των δύο θα είναι το

. Ή μήπως αυτό παρ' όλα αυτά δεν αποδεικνύει κάτι για τα σύνολα τιμών;

Παρακαλώ πείτε μου πού κάνω το λάθος και καταλήγω σε αδιέξοδο.

#5

psaxno έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 11, 2018 7:09 pm
... το οποίο δε με βοηθάει παρακάτω.

..., που και πάλι δε με βοηθάει.

... που δεν ισχύει.

... Αυτό όμως δεν ξέρω πώς μπορώ να το αποδείξω, γιατί όπως είπα βρέθηκε με δοκιμές

Κάνεις τα εύκολα δύσκολα. Καλύτερα να εργάζεσαι με αυτά που ισχύουν παρά να μπαίνεις σε έναν λαβύρινθο με αυτά
που δεν ισχύουν.

Θα δώσω μικρή υπόδειξη πάνω σε αυτά που έγραψα στην αρχική μου υπόδειξη.

Υπόδειξη: Τι τιμή παίρνει το f(a)

αν θέσουμε a=f(500)-2

;
Μπορείς να γενικεύσεις;

Λάμπρος Κατσάπας · #6

psaxno έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 11, 2018 7:09 pm
Από τον ορισμό της σύνθεσης συναρτήσεων ισχύει $D_{f\circ g}=\left \{ x\in D_{g}|g(x)\in D_{f} \right \}\neq \varnothing$ , άρα για να είναι αυτό ίσο με , θα είναι $D_{g}=R$ και $D_{f}=R$ . Οπότε αντίστοιχα και τα σύνολα τιμών αυτών των δύο θα είναι το . Ή μήπως αυτό παρ' όλα αυτά δεν αποδεικνύει κάτι για τα σύνολα τιμών;

Αυτό γενικά δεν είναι σωστό. Πάρε π.χ. $g(x)=x^2+1,f(x)= \ln x.$ Το βέβαιο είναι ότι $D_{g}=\mathbb{R}$ .

Στη δικιά μας άσκηση δεν βοηθάει όμως αφού θέλουμε να βγάλουμε συμπέρασμα για το σύνολο τιμών της

και όχι

για το ΠΟ της.Η ιδέα πίσω από την απόδειξη που σου έδωσα είναι η εξής: Αν η

περιορισμένη σε ένα υποσύνολο

του ΠΟ

έχει σύνολο τιμών το

αναγκαστικά το σύνολο τιμών της

ορισμένης στο

θα είναι το

Νομίζω το παρακάτω σχήμα βοηθάει. Στο δικό μας παράδειγμα βάλε

$B=g(\mathbb{R}),A=\mathbb{R}.$

Σημείωση: Η διαφορά με τη λύση που σου προτείνει ο κ.Λάμπρου είναι ότι εγώ για κάθε $y \in \mathbb{R}$

δείχνω ότι υπάρχει $x \in \mathbb{R}$ ώστε f(x)=y

ενώ ο κ. Λάμπρου το βρίσκει

κιόλας αυτό το

.

Πλατων ο τετραγωνιστης · #7

Αν και δεν είναι μαθηματικής φύσεως το θέμα μου νομίζω οτι ο χαιρετισμός είναι 'Χαίρετε' και όχι χαίρεται.

Ορέστης Λιγνός · #8

psaxno έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 11, 2018 2:57 am
Χαίρεται. Προσπαθώ να λύσω μια άσκηση που ζητείται η απόδειξη πως το σύνολο τιμών της είναι το . Συγκεκριμένα λέει:

Δίνεται συνάρτηση $f: R\rightarrow R$ για την οποία ισχύει:

α) Να αποδείξετε ότι η είναι 1-1
β) Να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το

Το α) εύκολα αποδεικνύεται. Το β) όμως πώς γίνεται; Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

Για το β).

Έστω τυχαίο $y_0 \in \mathbb{R}$ . Θα δείξουμε ότι υπάρχει (ακριβώς ένα) x_0

ώστε

.

Θέτοντας στην δοσμένη σχέση x=y_0

, παίρνουμε f(f(y_0)-2)=y_0

, άρα επιλέγουμε x_0=f(y_0)-2

, και εύκολα διαπιστώνεται ότι ισχύει η f(x_0)=y_0

, άρα το σύνολο τιμών της

είναι το $\mathbb{R}$ .

Nikos002 · #9

psaxno έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 11, 2018 2:57 am
Χαίρεται. Προσπαθώ να λύσω μια άσκηση που ζητείται η απόδειξη πως το σύνολο τιμών της είναι το . Συγκεκριμένα λέει:

Δίνεται συνάρτηση $f: R\rightarrow R$ για την οποία ισχύει:

α) Να αποδείξετε ότι η είναι 1-1
β) Να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το

Το α) εύκολα αποδεικνύεται. Το β) όμως πώς γίνεται; Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

Αν και παλιό ποστ μου άρεσε η άσκηση και θέλω να δείξω μια λύση που μου ήρθε στο μυαλό
Για να αποδείξουμε ότι η f έχει σύνολο τιμών το $\mathbb{R}$
Αρκεί να δείξω ότι η εξίσωση f(x)=a

με $a\in\mathbb{R}$ έχει λύση για κάθε $a\in \mathbb{R}$
$f(x)=a\Leftrightarrow f(x)-2=a-2$
$\Leftrightarrow f(f(x)-2)=f(a-2)$
$\Leftrightarrow x=f(a-2)$
Το οποιο μας δείχνει ότι για κάθε α υπάρχει λύση στην εξίσωση άρα και στην ισοδύναμη της την f(x)=a

Άρα η f έχει σύνολο τιμών το $\mathbb{R}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #10

Nikos002 έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 21, 2019 11:33 am

psaxno έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 11, 2018 2:57 am
Χαίρεται. Προσπαθώ να λύσω μια άσκηση που ζητείται η απόδειξη πως το σύνολο τιμών της είναι το . Συγκεκριμένα λέει:

Δίνεται συνάρτηση $f: R\rightarrow R$ για την οποία ισχύει:

α) Να αποδείξετε ότι η είναι 1-1
β) Να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το

Το α) εύκολα αποδεικνύεται. Το β) όμως πώς γίνεται; Ευχαριστώ εκ των προτέρων.
Αν και παλιό ποστ μου άρεσε η άσκηση και θέλω να δείξω μια λύση που μου ήρθε στο μυαλό
Για να αποδείξουμε ότι η f έχει σύνολο τιμών το $\mathbb{R}$
Αρκεί να δείξω ότι η εξίσωση με $a\in\mathbb{R}$ έχει λύση για κάθε $a\in \mathbb{R}$
$f(x)=a\Leftrightarrow f(x)-2=a-2$
$\Leftrightarrow f(f(x)-2)=f(a-2)$
$\Leftrightarrow x=f(a-2)$
Το οποιο μας δείχνει ότι για κάθε α υπάρχει λύση στην εξίσωση άρα και στην ισοδύναμη της την
Άρα η f έχει σύνολο τιμών το $\mathbb{R}$

Εχεις λάθος.

Κοίταξε την τελευταία ισοδυναμία.

Nikos002 · #11

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 21, 2019 11:40 am

Nikos002 έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 21, 2019 11:33 am

psaxno έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 11, 2018 2:57 am
Χαίρεται. Προσπαθώ να λύσω μια άσκηση που ζητείται η απόδειξη πως το σύνολο τιμών της είναι το . Συγκεκριμένα λέει:

Δίνεται συνάρτηση $f: R\rightarrow R$ για την οποία ισχύει:

α) Να αποδείξετε ότι η είναι 1-1
β) Να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το

Το α) εύκολα αποδεικνύεται. Το β) όμως πώς γίνεται; Ευχαριστώ εκ των προτέρων.
Αν και παλιό ποστ μου άρεσε η άσκηση και θέλω να δείξω μια λύση που μου ήρθε στο μυαλό
Για να αποδείξουμε ότι η f έχει σύνολο τιμών το $\mathbb{R}$
Αρκεί να δείξω ότι η εξίσωση με $a\in\mathbb{R}$ έχει λύση για κάθε $a\in \mathbb{R}$
$f(x)=a\Leftrightarrow f(x)-2=a-2$
$\Leftrightarrow f(f(x)-2)=f(a-2)$
$\Leftrightarrow x=f(a-2)$
Το οποιο μας δείχνει ότι για κάθε α υπάρχει λύση στην εξίσωση άρα και στην ισοδύναμη της την
Άρα η f έχει σύνολο τιμών το $\mathbb{R}$
Εχεις λάθος.

Κοίταξε την τελευταία ισοδυναμία.

Δεν μπορώ να το διακρίνω μήπως μπορείτε να με βοηθήσετε ;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #12

Nikos002 έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 21, 2019 12:51 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 21, 2019 11:40 am

Nikos002 έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 21, 2019 11:33 am

psaxno έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 11, 2018 2:57 am
Χαίρεται. Προσπαθώ να λύσω μια άσκηση που ζητείται η απόδειξη πως το σύνολο τιμών της είναι το . Συγκεκριμένα λέει:

Δίνεται συνάρτηση $f: R\rightarrow R$ για την οποία ισχύει:

α) Να αποδείξετε ότι η είναι 1-1
β) Να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το

Το α) εύκολα αποδεικνύεται. Το β) όμως πώς γίνεται; Ευχαριστώ εκ των προτέρων.
Αν και παλιό ποστ μου άρεσε η άσκηση και θέλω να δείξω μια λύση που μου ήρθε στο μυαλό
Για να αποδείξουμε ότι η f έχει σύνολο τιμών το $\mathbb{R}$
Αρκεί να δείξω ότι η εξίσωση με $a\in\mathbb{R}$ έχει λύση για κάθε $a\in \mathbb{R}$
$f(x)=a\Leftrightarrow f(x)-2=a-2$
$\Leftrightarrow f(f(x)-2)=f(a-2)$
$\Leftrightarrow x=f(a-2)$
Το οποιο μας δείχνει ότι για κάθε α υπάρχει λύση στην εξίσωση άρα και στην ισοδύναμη της την
Άρα η f έχει σύνολο τιμών το $\mathbb{R}$
Εχεις λάθος.

Κοίταξε την τελευταία ισοδυναμία.
Δεν μπορώ να το διακρίνω μήπως μπορείτε να με βοηθήσετε ;

Από την

προκύπτει ότι ισοδύναμα λόγω του 1-1

ότι

δηλαδή

Οπότε δεν έκανες τίποτα

Nikos002 · #13

Θέλω να αποδείξω ότι η ως προς x εξίσωση f(x)=a

έχει λύση για κάθε $a\in\mathbb{R}$ και πηγαίνω σε μια ισοδύναμη εξίσωση η οποία έχει λύση για κάθε
$a\in\mathbb{R}$ καθώς η ταυτοτικη έχει συνολικό τιμών το $\mathbb{R}$

#14

Nikos002 έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 21, 2019 1:27 pm
Θέλω να αποδείξω ότι η ως προς x εξίσωση έχει λύση για κάθε $a\in\mathbb{R}$ και πηγαίνω σε μια ισοδύναμη εξίσωση η οποία έχει λύση για κάθε
$a\in\mathbb{R}$ καθώς η ταυτοτικη έχει συνολικό τιμών το $\mathbb{R}$

Μάλλον δεν έχεις καταλάβει τι προσπαθεί να σου πει ο Σταύρος που επισημαίνει ότι η λύση σου είναι λάθος.

Έχω όμως και μία δεύτερη απορία: Αφού στο ποστ #8, αμέσως πριν από την "λύση" σου, ο Ορέστης έχει γράψει σωστή λύση στο ίδιο ύφος με την δική σου (αλλά χωρίς τα λάθη), ποιος ο λόγος να επανερχόμαστε;

Nikos002 · #15

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 21, 2019 4:43 pm

Nikos002 έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 21, 2019 1:27 pm
Θέλω να αποδείξω ότι η ως προς x εξίσωση έχει λύση για κάθε $a\in\mathbb{R}$ και πηγαίνω σε μια ισοδύναμη εξίσωση η οποία έχει λύση για κάθε
$a\in\mathbb{R}$ καθώς η ταυτοτικη έχει συνολικό τιμών το $\mathbb{R}$
Μάλλον δεν έχεις καταλάβει τι προσπαθεί να σου πει ο Σταύρος που επισημαίνει ότι η λύση σου είναι λάθος.

Έχω όμως και μία δεύτερη απορία: Αφού στο ποστ #8, αμέσως πριν από την "λύση" σου, ο Ορέστης έχει γράψει σωστή λύση στο ίδιο ύφος με την δική σου (αλλά χωρίς τα λάθη), ποιος ο λόγος να επανερχόμαστε;

Ζητω συγνωμη , απλως δεν κοιταω τις λυσεις των υπολοιπων μου εκανε εντυπωση το ερωτημα και ειπα να το προσπαθησω και να παρουσιασω την προσπαθεια μου .Ωστοσο δεν μπορω να αντιληφθω το λαθος αν μπορειτε να με βοηθησετε

#16

Nikos002 έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 21, 2019 4:55 pm

Ζητω συγνωμη , απλως δεν κοιταω τις λυσεις των υπολοιπων μου εκανε εντυπωση το ερωτημα και ειπα να το προσπαθησω και να παρουσιασω την προσπαθεια μου .Ωστοσο δεν μπορω να αντιληφθω το λαθος αν μπορειτε να με βοηθησετε

Γράφε τουλάχιστον με σωστά Ελληνικά (τονισμό των λέξεων, στίξη και λοιπά). Στο έχουμε πει πολλές φορές αυτό, στο φόρουμ.

Θα σου είναι χρήσιμος οδηγός στην ζωή να γράφεις σωστά την γλώσσα.

Nikos002 · #17

Nikos002 έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 21, 2019 4:55 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 21, 2019 4:43 pm

Nikos002 έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 21, 2019 1:27 pm
Θέλω να αποδείξω ότι η ως προς x εξίσωση έχει λύση για κάθε $a\in\mathbb{R}$ και πηγαίνω σε μια ισοδύναμη εξίσωση η οποία έχει λύση για κάθε
$a\in\mathbb{R}$ καθώς η ταυτοτικη έχει συνολικό τιμών το $\mathbb{R}$
Μάλλον δεν έχεις καταλάβει τι προσπαθεί να σου πει ο Σταύρος που επισημαίνει ότι η λύση σου είναι λάθος.

Έχω όμως και μία δεύτερη απορία: Αφού στο ποστ #8, αμέσως πριν από την "λύση" σου, ο Ορέστης έχει γράψει σωστή λύση στο ίδιο ύφος με την δική σου (αλλά χωρίς τα λάθη), ποιος ο λόγος να επανερχόμαστε;
Ζητώ συγνωμη , απλώς δεν κοιτάω τις λύσεις των υπόλοιπων. Μου έκανε εντύπωση το ερώτημα και είπα να το προσπαθήσω και να παρουσιάσω την προσπάθεια μου .Ωστόσο δεν μπορώ να αντιληφθώ το λάθος μου, αν μπορείτε να με βοηθήσετε.

Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης

Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης

Re: Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης

Re: Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης

Re: Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης

Re: Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης

Re: Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης

Re: Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης

Re: Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης

Re: Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης

Re: Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης

Re: Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης

Re: Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης

Re: Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης

Re: Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης

Re: Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης

Re: Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης

Re: Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση