Κυρτότητα εκθετικής συνάρτησης

Tolaso J Kos · #1

Αν

είναι $n \times n$ συμμετρικοί πραγματικοί πίνακες γράφουμε $C \geq D$ αν και μόνο αν ο πίνακας C-D

είναι μη αρνητικά ορισμένος. Να εξεταστεί αν

$\displaystyle{\exp \left ( \frac{A+B}{2} \right ) \leq \frac{\exp A +\exp B}{2}}$
για κάθε ζεύγος $2 \times 2$ συμμετρικών πραγματικών πινάκων A,B

τέτοιο ώστε AB=BA

.

Δεν έχω απάντηση!!- Ευχαριστώ Σταύρο

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε: Παρ Αύγ 23, 2019 1:58 am Αν είναι $n \times n$ συμμετρικοί πραγματικοί πίνακες γράφουμε $C \geq D$ αν και μόνο αν ο πίνακας είναι μη αρνητικά ορισμένος. Να εξεταστεί αν

$\displaystyle{\exp \left ( \frac{A+B}{2} \right ) \leq \frac{\exp A +\exp B}{2}}$
για κάθε ζεύγος $2 \times 2$ συμμετρικών πραγματικών πινάκων τέτοιο ώστε .

Δεν έχω απάντηση!!- Ευχαριστώ Σταύρο

Χρησιμοποιώντας την σχέση AB=BA

από τις ιδιότητες της εκθετικής έχουμε

$\displaystyle exp{\frac{A+B}{2}}=exp{\frac{A}{2}}exp{\frac{B}{2}}$

Κάνοντας πράξεις βρίσκουμε

$\displaystyle \frac{\exp A +\exp B}{2}-\exp \left ( \frac{A+B}{2} \right )=\frac{1}{2}(exp {\frac{A}{2}}-exp {\frac{B}{2}})^{2}$

Θέτουμε $\displaystyle M= exp {\frac{A}{2}}-exp {\frac{B}{2}}$

πρέπει να αποδείξουμε ότι $M^{2}\geq 0$

Αλλά αφού οι A,B

είναι συμμετρικοί και οι $\displaystyle exp {\frac{A}{2}},exp {\frac{B}{2}}$ είναι .

Αρα και ο

συμμετρικός.

Εχουμε $x^{\top }M^{2}x=x^{\top }M^{\top }Mx=\left \| Mx \right \|^{2}$

και τελειώσαμε.

Φυσικά ότι οι πίνακες είναι $2 \times 2$ δεν χρειάζεται.

Για τις ιδιότητες της εκθετικής βλέπε

https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_exponential

#3

Να προσθέσω ότι αν $AB \neq BA$ τότε η ανισότητα δεν ισχύει απαραίτητα.

Κυρτότητα εκθετικής συνάρτησης

Κυρτότητα εκθετικής συνάρτησης

Re: Κυρτότητα εκθετικής συνάρτησης

Re: Κυρτότητα εκθετικής συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση