Φράγμα ολοκληρώματος από παράγωγο

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω $\displaystyle f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$

δύο φορές παραγωγίσημη

Αν $\displaystyle f(0)=f(1)=0$
και
$\displaystyle M=sup\left \{ |f''(x)|:x\in [0,1] \right \}$
τότε
$\displaystyle \int_{0}^{1}|f(x)|dx\leq \frac{1}{12}M$

Μέχρι 31-8-19

Λάμπρος Κατσάπας · #2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Σάβ Αύγ 24, 2019 1:28 pm Εστω $\displaystyle f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$

δύο φορές παραγωγίσημη

Αν $\displaystyle f(0)=f(1)=0$
και
$\displaystyle M=sup\left \{ |f''(x)|:x\in [0,1] \right \}$
τότε
$\displaystyle \int_{0}^{1}|f(x)|dx\leq \frac{1}{12}M$

Για να κλείσει.

Ισχύει ότι για κάθε $x\in(0,1)$ υπάρχει $\xi \in(0,1)$ ώστε $f(x)-P(x)=\dfrac{{f}''(\xi )}{2}x(x-1)$ $(\bigstar )$

όπου P(x)

το πολυώνυμο παρεμβολής (εδώ το μηδενικό). Ο τύπος γενικεύεται αν παρεμβάλλουμε μεταξύ των

και

περισσότερα σημεία. Η απόδειξή του πάει συνοπτικά ως εξής:

Για κάθε $x\in(0,1)$ ορίζουμε (σταθερά) $k_x=\dfrac{f(x)-P(x)}{x(x-1)}$ . Έπειτα παίρνουμε τη συνάρτηση

g(t)=f(t)-P(t)-k_xt(t-1)

στο

για την οποία ισχύει g(0)=g(x)=g(1)

και από Rolle

καταλήγουμε ότι η 2η παράγωγος έχει ρίζα στο (0,1)

. Η $(\bigstar )$ τώρα είναι άμεση. Η απόδειξη στη

γενική περίπτωση είναι όμοια.

Παίρνοντας τώρα απόλυτες τιμές στην $(\bigstar )$ , χρησιμοποιώντας την $|f''(x)|\leq M$ και έπειτα

ολοκληρώνοντας στο [0,1]

έχουμε το ζητούμενο.

Φράγμα ολοκληρώματος από παράγωγο

Φράγμα ολοκληρώματος από παράγωγο

Re: Φράγμα ολοκληρώματος από παράγωγο

Μέλη σε σύνδεση