Άθροισμα λόγων

Eustathia p. · #1

: Αθροισμα λόγων.png (5.44 KiB) Προβλήθηκε 1334 φορές

Δίδεται τρίγωνο ABC

. Ευθύγραμμο τμήμα

με

στις

αντίστοιχα διέρχεται από το βαρύκεντρο

του τριγώνου ABC

.

Δείξετε ότι, $\dfrac{{DB}}{{DA}} + \dfrac{{EC}}{{EA}} = 1$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Eustathia p. έγραψε: Παρ Αύγ 30, 2019 7:16 pm Αθροισμα λόγων.png

Δίδεται τρίγωνο . Ευθύγραμμο τμήμα με στις αντίστοιχα διέρχεται από το βαρύκεντρο του τριγώνου .

Δείξετε ότι, $\dfrac{{DB}}{{DA}} + \dfrac{{EC}}{{EA}} = 1$

Έστω $M\equiv BC\cap AG,N\equiv DE\cap BC$

Από το θεώρημα του Μενελάου στα $\overset{\Delta }{ABM},\overset{\Delta }{AMC}$ με διατέμνουσες $\overline{DGN},\overline{GEN}$ αντίστοιχα έχουμε :

$\left\{\begin{matrix} & \dfrac{BD}{DA}\cdot \dfrac{GA}{GM}\cdot \dfrac{MN}{BN}=1 & \\ \\ & \dfrac{CE}{EA}\cdot \dfrac{GA}{GM}\cdot \dfrac{MN}{CN}=1 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & \dfrac{BD}{DA}=\dfrac{BN}{2MN} & \\ \\ & \dfrac{EC}{AE} =\dfrac{CN}{2MN}& \end{matrix}\right.\Rightarrow \dfrac{BD}{DA}+ \dfrac{EC}{AE}=\dfrac{CN+BN}{2MN}=\dfrac{2CN+2BM}{2BM+2CN}=1$

: 120.PNG (15.03 KiB) Προβλήθηκε 1289 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Eustathia p. έγραψε: Παρ Αύγ 30, 2019 7:16 pm Αθροισμα λόγων.png

Δίδεται τρίγωνο . Ευθύγραμμο τμήμα με στις αντίστοιχα διέρχεται από το βαρύκεντρο του τριγώνου .

Δείξετε ότι, $\dfrac{{DB}}{{DA}} + \dfrac{{EC}}{{EA}} = 1$

Με $BF,CH \| AM$ η

είναι διάμεσος του τραπεζίου FBCH

$\dfrac{BD}{DA} + \dfrac{CE}{EA}= \dfrac{BF}{AG}+ \dfrac{CH}{AG} = \dfrac{BF+CH}{AG}= \dfrac{2GM}{AG} =1$

: Άθροισμα λόγων.png (50.99 KiB) Προβλήθηκε 1238 φορές

#4

Eustathia p. έγραψε: Παρ Αύγ 30, 2019 7:16 pm Αθροισμα λόγων.png

Δίδεται τρίγωνο . Ευθύγραμμο τμήμα με στις αντίστοιχα διέρχεται από το βαρύκεντρο του τριγώνου .

Δείξετε ότι, $\dfrac{{DB}}{{DA}} + \dfrac{{EC}}{{EA}} = 1$

Από το μέσο

της

φέρνω

και εύκολα βρίσκω AD=2MF, AE=2MZ.

: Άθροισμα λόγων..png (11.14 KiB) Προβλήθηκε 1214 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{BD}}{{DA}} = \dfrac{{BD}}{{2MF}} = \dfrac{{BH}}{{2MH}}\\ \\ \dfrac{{CE}}{{EA}} = \dfrac{{CE}}{{2MZ}} = \dfrac{{CH}}{{2MH}} \end{array} \right.\mathop \Rightarrow \limits^ \oplus \dfrac{{BD}}{{DA}} + \dfrac{{CE}}{{EA}} = \dfrac{{BH + CH}}{{2MH}} = 1$

Άθροισμα λόγων

Άθροισμα λόγων

Re: Άθροισμα λόγων

Re: Άθροισμα λόγων

Re: Άθροισμα λόγων

Μέλη σε σύνδεση