ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΠΙΝΑΚΩΝ ΑΒ, ΒΑ

[Maidenas]

Έστω δύο τετραγωνικοί πίνακες A και Β με n γραμμες και n στήλες, και δίνεται οτι ο πίνακας Β ειναι και αντιστρέψιμος. Να αποδείξετε οτι οι πίνακες AB και BA έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές.

Αυτό μπήκε στις εξετάσεις και ήταν το μοναδικό που δεν κατάφερα γιατι κόλλησα!

Δοκίμασα να ξεκινήσω με χαρακτηριστικά πολυώνυμα αλλά τίποτα.

Απο την σχέση BAu = λu κατέληξα απλώς στην σχέση Au = λ B^(-1) u , όπου u ιδιοδιάνυσμα του ΒΑ που ανιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ.

[Tolaso J Kos]

Έστω δύο τετραγωνικοί πίνακες και με γραμμες και στήλες, και δίνεται ότι ο πίνακας είναι και αντιστρέψιμος. Να αποδείξετε ότι οι πίνακες και έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές.

Επειδή το δε δουλεύει για κάποιο λόγο γράφω το ποστ χωρίς αυτό. Έστω ιδιοτιμή του . Τότε υπάρχει τέτοιο ώστε ABx = λχ όπως πολύ σωστά έγραψες. Θέσε y=Bx. Τότε y ... 0 . Και άρα BAy = BABx = .... !! Σχεδόν τελείωσες.


Υ.Σ: Καλό είναι τα Ελληνικά να γράφονται με τόνους.

[Maidenas]

Πωωωω! Ήταν τόσο απλό τελικά!!! Ευχαριστώ πάρα πολύ!!!!!!

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Πωωωω! Ήταν τόσο απλό τελικά!!! Ευχαριστώ πάρα πολύ!!!!!!

Πιο απλό από ότι νομίζεις
Οι πίνακες είναι όμοιοι.
Έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό το ίδιο ελάχιστο κλπ

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Ετσι όπως το έκανες δουλεύει και για μη αντιστρέψιμους.

Το είναι ιδιοτιμή του και

Αν ιδιοτιμή με του

τότε

Αρα και

Αλλά που δείχνει ότι το ιδιοτιμή του.

Λόγω συμμετρίας έχουν τις ιδιες ιδιοτιμές.
Μπορεί να αποδειχθεί οτι έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό.
Δεν έχουν όμως πάντα το ίδιο ελάχιστο.

[Maidenas]

Πιο απλό από ότι νομίζεις
Οι πίνακες είναι όμοιοι.
Έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό το ίδιο ελάχιστο κλπ

AB=B^{-1}BAB

Ευφυέστατος ο τρόπος αυτός!!! Με εντυπωσίασε η απλότητά του!!! Ευχαριστώ πολύ για τον χρόνο σας!