Ορθογώνιο και ισοσκελές

Eustathia p. · #1

Σε τρίγωνο ABC

έστω

το περίκεντρο και

το μέσο της πλευράς

.

Αν $A{M^2} + A{K^2} = AB \cdot AC$ να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Eustathia p. έγραψε: Τρί Σεπ 03, 2019 8:10 pm Σε τρίγωνο έστω το περίκεντρο και το μέσο της πλευράς .

Αν $A{M^2} + A{K^2} = AB \cdot AC$ να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές

Η δοθείσα σχέση χρησιμοποιώντας το θεώρημα διαμέσων και το θεώρημα των ημιτόνων γράφεται.

$2R^{2}+(b-c)^{2}=\frac{a^{2}}{2}=2R^{2}(\sin A)^{2}$

Αρα $\sin A=1$ και b=c

που δίνει το ζητούμενο

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Διαφορετικά, στο ίδιο πνεύμα, χωρίς τριγωνομετρία.
Είναι γνωστό ότι

$bc=2R\upsilon _{a}$

Ετσι έχουμε

$(\mu _{a})^2+R^2=bc=2R\upsilon _{a}\leq R^2+(\upsilon _{a})^2$

αλλά $\mu _{a}\geq \upsilon _{a}$

οπότε στην προηγούμενη έχουμε παντού ισότητες.

Που σημαίνει ότι $\mu _{a}=\upsilon _{a}=R$

Δηλαδή το τρίγωνο είναι ισοσκελες και ορθογώνιο.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

Eustathia p. έγραψε: Τρί Σεπ 03, 2019 8:10 pm Σε τρίγωνο έστω το περίκεντρο και το μέσο της πλευράς .

Αν $A{M^2} + A{K^2} = AB \cdot AC$ να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές

Ισχύει $b^2+c^2= 2m_{a} ^{2} + \dfrac{ a^{2} }{2}$ και $2bc=2m_{a} ^{2} + 2R^2$

Με αφαίρεση παίρνουμε 2(b-c)^2+4R^2-a^2=0

κι επειδή $2R \geq a$ θα είναι $b-c=0 \Leftrightarrow b=c$ και $4R^2=a^2 \Leftrightarrow a=2R$ ,

άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές

: o-i.png (12.01 KiB) Προβλήθηκε 960 φορές

Ορθογώνιο και ισοσκελές

Ορθογώνιο και ισοσκελές

Re: Ορθογώνιο και ισοσκελές

Re: Ορθογώνιο και ισοσκελές

Re: Ορθογώνιο και ισοσκελές

Μέλη σε σύνδεση