Δύναμη του τρία;

Al.Koutsouridis · #1

Μπορεί η τιμή της έκφρασης 2x^2+3xy+y^2

για τους θετικούς ακέραιους

και

, να ισούται με $3^{2019}$ ;

Για "Θαλή"

Summand · #2

Καλησπέρα!

Η απάντηση είναι όχι!

Η προς απόδειξη σχέση γράφεται $(x+y)(2x+y)=3^{2019}$ .

Χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό w=x+y

καταλήγουμε στην $w(w+x)=3^{2019}$ άρα πρέπει καθένας εκ των w,w+x

να είναι δύναμη του

.

Αφού x,y>0

είναι

και

.

Έστω, λοιπόν, $w=3^n,w+x=3^{n+k}$ για κάποιους $n,k\in \mathbb{N}$ $(\ast )$

Από την (*)

έχουμε ότι $x=3^{n+k}-3^n\Leftrightarrow x=3^n(3^k-1)$ $(\bigstar )$

Όμως x+y=w

άρα από τις $(\bigstar )$ , $(\ast )$ έχουμε ότι $3^n(3^k-1)+y=3^n\Leftrightarrow y=3^n(2-3^k)<0$

που είναι άτοπο αφού από την εκφώνηση x,y>0

Γενικά για κάθε εξίσωση της μορφής t(t+s)=3^m

με

για κάποιους $m,r,s,t \in \mathbb{N}$ δεν έχουμε ακέραιες

λύσεις αφού για $t=3^a, t+s=3^{a+j}$ με $a,j\in \mathbb{N}$ καταλήγουμε ότι s<0

ανεξάρτητα από την τιμή του

.

Φιλικά,
Γιάννης Ν.

#3

Summand έγραψε: Δευ Σεπ 16, 2019 5:26 am Καλησπέρα!

Η απάντηση είναι όχι!

Η προς απόδειξη σχέση γράφεται $(x+y)(2x+y)=3^{2019}$ .

Κάπως πιο σύντομα από εδώ. Πρέπει τα x+y,2x+y

να είναι και τα δύο δυνάμεις του

. Αλλά

, άτοπο.