Ουρανοκατέβατο μέγιστο

KARKAR · #1

: Ουρανοκατέβατο μέγιστο.png (8.99 KiB) Προβλήθηκε 604 φορές

Το σημείο

είναι σταθερό $\left{( }$ το (0,4)

$\riht{ )}$ , ενώ το

κινείται στον ημιάξονα

.

Η ευθεία x=-1

τέμνει τον x'x

στο

και τη διχοτόμο της $\widehat{BAO}$ στο

.

Βρείτε τη μέγιστη τιμή του

και την τιμή του

για την οποία επιτυγχάνεται .

#2

Καλησπέρα σε όλους.

: 17-09-2019 Γεωμετρία.jpg (42.88 KiB) Προβλήθηκε 594 φορές

Από την ομοιότητα των AST, AOK

είναι $\displaystyle ST = \frac{{a + 1}}{a}OK$ .

Στο OAB

, από Θ. Διχοτόμων είναι $\displaystyle OK = \frac{{OA \cdot OB}}{{OA + AB}} = \frac{{4a}}{{a + \sqrt {{a^2} + 16} }}$

Οπότε $\displaystyle ST = \frac{{4\left( {a + 1} \right)}}{{a + \sqrt {{a^2} + 16} }}$ .

Με τη βοήθεια της παραγώγισης βρίσκουμε ότι η συνάρτηση $\displaystyle f\left( a \right) = \frac{{4\left( {a + 1} \right)}}{{a + \sqrt {{a^2} + 16} }},\;\;a > 0$ έχει μέγιστο ίσο με $\displaystyle \frac{17}{8}$ για $\displaystyle a = \frac{{15}}{2}$ .

Θα προσπαθήσω για το μέγιστο με Αλγεβρικά εργαλεία.

edit(21:10) Δεν βλέπω κάτι άμεσο με αλγεβρικά εργαλεία πλην της μεθόδους της "πεσούσης δρυός":

Η συνάρτηση $\displaystyle f\left( a \right) = \frac{{4\left( {a + 1} \right)}}{{a + \sqrt {{a^2} + 16} }},\;\;a > 0$ έχει μέγιστο όταν η συνάρτηση $\displaystyle g\left( a \right) = \frac{{a + \sqrt {{a^2} + 16} }}{{a + 1}},\;\;a > 0$ έχει ελάχιστο.

Είναι $\displaystyle \frac{{a + \sqrt {{a^2} + 16} }}{{a + 1}} = 1 + \frac{{\sqrt {{a^2} + 16} - 1}}{{a + 1}} \ge \frac{{32}}{{17}}$

$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{a^2} + 16} - 1}}{{a + 1}} \ge \frac{{15}}{{17}} \Leftrightarrow 17\sqrt {{a^2} + 16} \ge 15a + 32$

$\displaystyle \Leftrightarrow 4{a^2} - 120a + 225 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {2a - 15} \right)^2} \ge 0$ , που ισχύει με το ελάχιστο για $\displaystyle a = \frac{{15}}{2}$ .

#3

: Ουρανοκατέβατο μέγιστο 1.png (16.69 KiB) Προβλήθηκε 548 φορές

Ας είναι

η προβολή του

στην

. Επειδή $y = ST = SK \leqslant SB$ το μέγιστο επιτυγχάνεται αν το

ταυτιστεί με το

,

Τότε ας είναι

το σημείο τομής των $BS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AT$ . Θέτω CT = x

και ταυτόχρονα θα ισχύουν :

: Ουρανοκατέβατο μέγιστο_3.png (13.93 KiB) Προβλήθηκε 548 φορές

$\left\{ \begin{gathered} T{A^2} = B{A^2} = B{O^2} + O{A^2} \hfill \\ B{O^2} = OC \cdot OA \hfill \\ \frac{{ST}}{{BO}} = \frac{{CT}}{{CO}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {\left( {a + 1} \right)^2} = B{A^2} = {4^2} + {a^2}\,\,(1) \hfill \\ {4^2} = (x + 1) \cdot a\,\,\,(2) \hfill \\ \frac{y}{4} = \frac{x}{{x + 1}}\,\,(1) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Από την (1)

έχω: $\boxed{a = \frac{{15}}{2}}$ έτσι η (2)

δίδει : $\boxed{x = \frac{{17}}{{15}}}$

και η (3)

μετά : $\boxed{y = S{T_{\max }} = \frac{{17}}{8}}$

Παρατήρηση

Στην με αναλυτική Γεωμετρία λύση το προσδιορίζεται ως τομή ευθείας και παραβολής .

: Ουρανοκατέβατο μέγιστο_2.png (27.93 KiB) Προβλήθηκε 546 φορές

Ουρανοκατέβατο μέγιστο

Ουρανοκατέβατο μέγιστο

Re: Ουρανοκατέβατο μέγιστο

Re: Ουρανοκατέβατο μέγιστο

Μέλη σε σύνδεση