Πόσα ακόμη 0 υπάρχουν;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Θεωρούμε τον αριθμό

$A=\sqrt{100000001}-\sqrt{99999999}$

Αν τον υπολογίσουμε σε ένα κομπιουτεράκι θα μας δώσει

ότι A=0,0001

Φυσικά δεν μπορεί το αποτέλεσμα να είναι ακριβές.

Το ερώτημα είναι πόσα τουλάχιστον μηδενικά υπάρχουν μετά το

;
Π.χΑν

υπάρχουν τουλάχιστον

μηδενικά.

mick7 · #2

Μαθηματική απόδειξη δεν έχω....έχω υπολογιστική σε Python...

from decimal import *
getcontext().prec = 1000
print(Decimal(100000001).sqrt()-Decimal(99999999).sqrt())

To αποτέλεσμα ειναι με ακρίβεια 1000 ψηφίων...Τροποποίηση της 2ης γραμμής του κώδικα δίνει μεγαλύτερη προσέγγιση...

0.000100000000000000001250000000000000054687500000000003222656250000000218200683593750016017913818359376239848136901855568380653858184822685474064201117256945435656234681701975387113639697108944801585042904487225712314140919794507315395525767076079557466950471457419875867662357952115432615242974081408316722009237478388672911519129329589162712177424491221190531632739838386037691639780679956125920041308862793186897931248709484577477221565457225393081351858106445660583716559463719121123270922144860260076403520142275724486812364695209136905371593136432504563907273159301392821118933622879704475899702905126068658965291495720460486191090161844165205569982186358201693065998819434321919393682298954601481960132270701509446195129427736488338261243039103230034334679675162287607850848276956201193447842134755771547720191308898955756853017068102131219247776544680088021646342879689397552011750640169053376106647926299691016941607116506070241863155790494044476072699023739693191182712601521487222232178

KARKAR · #3

Με την ευκαιρία βρείτε με προσέγγιση χιλιοστού την τετραγωνική ρίζα του : 12345678910

#4

Για $x \geqslant 1$ ισχύει ότι:

$\displaystyle \sqrt{x+1} - \sqrt{x-1} - \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{2}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}} - \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{2f(x) - f(x+1) - f(x-1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1})}$

όπου $f(x) = \sqrt{x}$ .

Από γενίκευση του Θεωρήματος Μέσης Τιμής (δείτε εδώ) έχουμε

$\displaystyle f(x+1) + f(x-1) - 2f(x) = f''(\xi) = -\frac{1}{4\xi^{3/2}}$ για κάποιο $\xi \in (x-1,x+1)$ .

Θέτοντας x=10^8

έχουμε

$\displaystyle \sqrt{100000001} - \sqrt{99999999} - 0.0001 = \frac{1}{4\xi^{3/2}\sqrt{10^8}(\sqrt{10^8+1} + \sqrt{10^8-1})}$

Το δεξί μέλος είναι το πολύ $\displaystyle \frac{1}{8(10^8-1)^{5/2}} \leqslant \frac{1}{7 \cdot 10^{20}}$ και τουλάχιστον $\displaystyle \frac{1}{4(10^8+1)^{5/2}} \geqslant \frac{1}{9 \cdot 10^{20}}$

Άρα υπάρχουν ακριβώς άλλα

μηδενικά μετά το

.

#5

To δοθέν γράφεται $\displaystyle{\sqrt {10^8+1}-\sqrt {10^8-1} = 10^4 \left ( \sqrt {1+ 10^{-8}}-\sqrt {1-10^{-8}} \right )}$

'Ομως από το ανάπτυγμα διωνύμου για μικρά

είναι $\displaystyle{(1+h) ^{1/2} = 1 + \frac {1}{2} h - \frac {1}{8} h^2+ + \frac {1}{16} h^3 +... }$

που για $h=\pm 10^{-8}$ στο παραπάνω (οι άρτιες δυνάμεις του

απλοποιούνται), λαμβάνουμε ότι ισούται με

$\displaystyle{10^4\left ( h + \frac {1}{8} h^3+ ... \right ) = 10^{-4}+ \frac {1}{8} 10^{-20} +... = 10^{-4}+ 125 \cdot 10^{-23} +... }$

Άρα έχουμε

στην τέταρτη θέση και 125

αρχίζοντας από την 21η θέση μετά την υποδιαστολή, με μηδενικά στο ενδιάμεσο και πολλά μηδενικά παρακάτω.

Αν παίρναμε και τον όρο h^5

θα μπορούσαμε να βρούμε και τον επόμενο μη μηδενικό όρο (είναι περίπου 16 θέσεις μετά το δεύτερο 1$).

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem

Είναι $A=\sqrt{10^{8}+1}-\sqrt{10^{8}-1}=10^{4}(\sqrt{1+10^{-8}}-\sqrt{1-10^{-8}})$ (1)

Από το γενικευμένο διωνυμικό ανάπτυγμα για |t|< 1

είναι
$\sqrt{1+t}=1+\frac{1}{2}t-\frac{1}{8}t^{2}+\frac{1}{16}t^{3}-\frac{5}{128}t^{4}+\frac{7}{256}t^{5}-....$

Ετσι παίρνουμε ότι

$\sqrt{1+t}-\sqrt{1-t}=t+\frac{1}{8}t^{3}+\frac{7}{128}t^{5}+....$

Για $t=10^{-8}$ με βάση την τελευταία η (1) δίνει

$A=\sqrt{10^{8}+1}-\sqrt{10^{8}-1}=10^{4}(10^{-8}+\frac{1}{8}10^{-24}+\frac{7}{128}10^{-40}+....)=10^{-4}+\frac{1}{8}10^{-20}+\frac{7}{128}10^{-36}+....$

Δηλαδή A=0,0001000000000000000012500..

Ενας πιο στοιχειώδης τρόπος είναι να γράψουμε

$A=\sqrt{10^{8}+1}-\sqrt{10^{8}-1}=\sqrt{10^{8}+1}-10^{4}+10^{4}-\sqrt{10^{8}-1}=\frac{1}{\sqrt{10^{8}+1}+10^{4}}+\frac{1}{\sqrt{10^{8}-1}+10^{4}}=$
$10^{-4}+\frac{1}{\sqrt{10^{8}+1}+10^{4}}-\frac{1}{2}10^{-4}+\frac{1}{\sqrt{10^{8}-1}-10^{4}}-\frac{1}{2}10^{-4}$

και μετά να εκτιμήσουμε τα τελευταία ως εξής:

$\frac{1}{\sqrt{10^{8}+1}+10^{4}}-\frac{1}{2}10^{-4}=\frac{10^{4}-\sqrt{10^{8}+1}}{2.10^{4}\sqrt{10^{8}+1}+10^{4}}=-\frac{1}{2.10^{4}(\sqrt{10^{8}+1}+10^{4})^{2}}$
και όμοια για το άλλο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

KARKAR έγραψε: Τετ Σεπ 25, 2019 8:25 pm Με την ευκαιρία βρείτε με προσέγγιση χιλιοστού την τετραγωνική ρίζα του :

είναι $(111111)^{2}=12345654321$

Ετσι $12345678910=(111111)^{2}+24589$

$\sqrt{12345678910}=(111111)\sqrt{1+\frac{24589}{(111111)^{2}}}=111111(1+\frac{1}{2}\frac{24589}{(111111)^{2}}-\frac{1}{8}\frac{(24589)^{2}}{(111111)^{4}}+....)$
Ετσι με προσέγγιση χιλιοστου και ακόμα παραπάνω η τετραγωνική ρίζα είναι

$111111+\frac{1}{2}\frac{24589}{(111111)}$

Θανάση δεν είπες σε δεκαδική μορφή.

KARKAR · #8

$=111111+\dfrac{24589}{222222}=111111,11065\simeq111111,111$ , σε δεκαδική μορφή !

#9

KARKAR έγραψε: Πέμ Σεπ 26, 2019 9:10 pm $=111111+\dfrac{24589}{222222}=111111,11065\simeq111111,111$ , σε δεκαδική μορφή !

Για να συνοψίσουμε (τα νούμερα τα κλέβω από τους προλαλήσαντες) εύκολα βλέπουμε
πολλαπλασιάζοντας με το χέρι ότι

$\displaystyle{ 111111,11^2= 12345678765,4321 < 12345678910 < 12345678987,654321= 111111,111^2}$

άρα με ακρίβεια χιλιοστού η ζητούμενη τετραγωνική ρίζα είναι

Τον πολλαπλασιασμό πραγματικά τον έκανα με το χέρι. Ειδικά για τους αριθμούς 11111...1111

είναι πολύ απλός δεδομένου ότι απλά προσθέτουμε μονάδες σε στήλες όταν κάνουμε τον γνωστό αλγόριθμο πολλαπλασιασμού. Για να πεισθείτε, δοκιμάστε π.χ. $1111\times 1111$ .

#10

KARKAR έγραψε: Τετ Σεπ 25, 2019 8:25 pm Με την ευκαιρία βρείτε με προσέγγιση χιλιοστού την τετραγωνική ρίζα του :

Αλλιώς, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο εξαγωγής της τετραγωνικής ρίζας χρησιμοποιώντας παρόμοιο πινακάκι με της διαίρεσης. (Κάποτε το μαθαίναμε στο σχολείο.)

Τυχαίνει στη συγκεκριμένη περίπτωση η εξαγωγή να είναι αρκετά εύκολη.

$\begin{array}{l|l} 123456789.0000000000 & 11111.11106 \\ \cline{2-2} 1 & {\color{red} 1} \\ \cline{1-1} \phantom{1}23 & 2{\color{red} 1}\\ \phantom{1}21 & \phantom{2}{\color{red} 1}\\ \cline{1-1} \phantom{12}245 & 22{\color{red} 1}\\ \phantom{12}221 & \phantom{22}{\color{red} 1}\\ \cline{1-1} \phantom{123}2467 & 222{\color{red} 1}\\ \phantom{123}2221 & \phantom{222}{\color{red} 1}\\ \cline{1-1} \phantom{1234}24689 & 2222{\color{red} 1}\\ \phantom{1234}22221 & \phantom{2222}{\color{red} 1}\\ \cline{1-1} \phantom{12345}246800 & 22222{\color{red} 1}\\ \phantom{12345}222221 & \phantom{22222}{\color{red} 1}\\ \cline{1-1} \phantom{123456}2457900 & 222222{\color{red} 1}\\ \phantom{123456}2222221 & \phantom{222222}{\color{red} 1}\\ \cline{1-1} \phantom{1234567}23567900 & 2222222{\color{red} 1}\\ \phantom{1234567}22222221 & \phantom{2222222}{\color{red} 1}\\ \cline{1-1} \phantom{12345678}134567900 & 22222222{\color{red} 0}\\ \phantom{1234567822222221}0 & \phantom{22222222}{\color{red} 0}\\ \cline{1-1} \phantom{12345678}13456790000 & 222222220{\color{red} 6}\\ \phantom{12345678}13333333236 & \phantom{222222220}{\color{red} 6}\\ \end{array}$

Πόσα ακόμη 0 υπάρχουν;

Πόσα ακόμη 0 υπάρχουν;

Re: Πόσα ακόμη 0 υπάρχουν;

Re: Πόσα ακόμη 0 υπάρχουν;

Re: Πόσα ακόμη 0 υπάρχουν;

Re: Πόσα ακόμη 0 υπάρχουν;

Re: Πόσα ακόμη 0 υπάρχουν;

Re: Πόσα ακόμη 0 υπάρχουν;

Re: Πόσα ακόμη 0 υπάρχουν;

Re: Πόσα ακόμη 0 υπάρχουν;

Re: Πόσα ακόμη 0 υπάρχουν;

Μέλη σε σύνδεση