Απόδειξη σχέσης μεταξυ τιμών f', g'

Nikos127 · #1

Έστω

παραγωγισιμες στο x_0=0

και ισχυει: f(0)=g(0)

και $f(x) \leq g(x) + \sin x \forall x \in \mathbb{R}$ να δειχθεί ότι f'(0)=g'(0)+1

Tolaso J Kos · #2

Nikos127 έγραψε: Κυρ Σεπ 29, 2019 6:29 pm Έστω παραγωγισιμες στο και ισχυει: και $f(x) \leq g(x) + \sin x \forall x \in \mathbb{R}$ να δειχθεί ότι

Οι συναρτήσεις f, g

είναι παραγωγίσιμες στο

άρα υπάρχουν τα όρια $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}}$ , $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} \frac{g(x)-g(0)}{x-0} }$ . Η αρχική σχέση γράφεται ως:

$\displaystyle{\begin{aligned} f(x) \leq g(x) + \sin x &\overset{f(0)=g(0)}{=\! =\! =\! =\! \Rightarrow} f(x) - f(0) \leq g(x) - g(0) + \sin x \end{aligned}}$
Διακρίνουμε περιπτώσεις:

Για είναι:

$\displaystyle{\begin{aligned} f(x) - f(0) \leq g(x) - g(0) + \sin x &\Rightarrow \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \leq \frac{g(x)-g(0) + \sin x}{x-0} \\ &\Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \leq \lim_{x\rightarrow 0^+} \left ( \frac{g(x)-g(0)+\sin x}{x-0} \right ) \\ &\Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \leq \lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{g(x)-g(0)}{x-0} + \lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{\sin x}{x} \\ &\Rightarrow f'(0) \leq g'(0) +1 \end{aligned}}$
Για είναι:

$\displaystyle{\begin{aligned} f(x) - f(0) \leq g(x) - g(0) + \sin x &\Rightarrow \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \leq \frac{g(x)-g(0) + \sin x}{x-0} \\ &\Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0^-} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \geq \lim_{x\rightarrow 0^-} \left ( \frac{g(x)-g(0)+\sin x}{x-0} \right ) \\ &\Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0^-} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \geq \lim_{x\rightarrow 0^-} \frac{g(x)-g(0)}{x-0} + \lim_{x\rightarrow 0^-} \frac{\sin x}{x} \\ &\Rightarrow f'(0) \geq g'(0) +1 \end{aligned}}$

Τελικά,

.

#3

Nikos127 έγραψε: Κυρ Σεπ 29, 2019 6:29 pm Έστω παραγωγισιμες στο και ισχυει: και $f(x) \leq g(x) + \sin x \forall x \in \mathbb{R}$ να δειχθεί ότι

Είναι απλή εφαρμογή του θεωρήματος Fermat στην h(x)=f(x)-g(x)-sinx

, οπότε

, μια και το h(0)

είναι ολικό μέγιστο, λόγω της $h(x)\leq 0= h(0) , \forall x \in \mathbb R$

Μπ

Μάρκος Βασίλης · #4

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: Δευ Σεπ 30, 2019 5:23 pm
Nikos127 έγραψε: Κυρ Σεπ 29, 2019 6:29 pm Έστω παραγωγισιμες στο και ισχυει: και $f(x) \leq g(x) + \sin x \forall x \in \mathbb{R}$ να δειχθεί ότι
Είναι απλή εφαρμογή του θεωρήματος Fermat στην , οπότε , μια και το είναι ολικό μέγιστο, λόγω της $h(x)\leq 0= h(0) , \forall x \in \mathbb R$

Μπ

Νομίζω ότι και η απόδειξη του Τόλη είναι «απλή εφαρμογή» της απόδειξης του θεωρήματος του Fermat. :Ρ

Tolaso J Kos · #5

... τουλάχιστον έχουμε επιλογές ως προς τι δρόμο θα επιλέξουμε ...

#6

Ισχύει το εξής θεώρημα παρεμβολής για παραγώγους:

Έστω $f_1,f_2,f_3:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ και $a \in \mathbb{R}$ ώστε $f_1(x) \leqslant f_2(x) \leqslant f_3(x)$ για κάθε $x \in I$ όπου

κάποιο ανοικτό διάστημα που περιέχει το

. Αν

και οι

είναι παραγωγίσιμες στο

, τότε και η f_2

είναι παραγωγίσιμη στο

με

.

Αυτό αποδεικνύεται με παρόμοιο τρόπο όπως στην ανάρτηση του Τόλη.

Εδώ εφαρμόζεται το θεώρημα με a=0

και $f_1(x) = f(x), f_2(x) = g(x) + \sin{x}, f_3(x) = \begin{cases} g(x)+x & x \geqslant 0 \\ g(x) + 2\sin(x)-x & x < 0 \end{cases}$ .

Tolaso J Kos · #7

Δημήτρη δε καταλαβαίνω! Μπορείς να το εξηγήσεις και πώς το εφαρμόζεις το λήμμα ;

#8

Συγνώμη για την καθυστέρηση αλλά ξεχάστηκα.

Ο έλεγχος είναι σχετικά απλός.

Το $f_1(x) \leqslant f_2(x)$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ μας έχει δοθεί.
Το $f_2(x) \leqslant f_3(x)$ για κάθε $x \geqslant 0$ είναι ισοδύναμο με το $\sin{x} \leqslant x$ για $x \geqslant 0$ που είναι γνωστό.
Το $f_2(x) \leqslant f_3(x)$ για κάθε x < 0

είναι ισοδύναμο με το $\sin{x} \geqslant x$ για x < 0

που επίσης είναι γνωστό.
Προφανώς f_1(0) = f_2(0) = f_3(0) = f(0)

.
H

μας έχει δοθεί ότι είναι παραγωγίσιμη στο

. Για την

έχουμε

$\displaystyle \lim_{x\to 0^+} \frac{f_3(x) - f_3(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0^+} \frac{g(x) + x - g(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0^+} \left[\frac{g(x) - g(0)}{x-0} + 1\right] = g'(0)+1$

Ομοίως έχουμε και $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} \frac{f_3(x) - f_3(0)}{x-0} =g'(0)+1$

Άρα από το λήμμα έχουμε ότι και η f_2

είναι παραγωγίσιμη στο

και έχει την ίδια παράγωγο. Δηλαδή ίση και με f'(0)

και με

.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ