Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος

Nikos127 · #1

Εστω $f: \mathhbb{R} \to (0,+\infty)$ για την οποία ισχύει $f^3(x)+x^2f(x) = 1 \forall x \in \mathbb{R}$ Να δειχθεί ότι $\lim_{x\to0}f(x)= 1$ και f'(0)=0

#2

Nikos127 έγραψε: Τετ Οκτ 23, 2019 8:01 pm Εστω $f: \mathhbb{R} \to (0,+\infty)$ για την οποία ισχύει $f^3(x)+x^2f(x) = 1 \forall x \in \mathbb{R}$ Να δειχθεί ότι $\lim_{x\to0}f(x)= 1$ και

$1=f^3(x)+x^2f(x) \ge f^3(x)+0$ άρα $f(x)\le 1$ . Επίσης, με χρήση αυτού, $\displaystyle{1\ge f(x) = \frac {1}{f^2(x)+x^2} \ge \frac {1}{1+x^2} }$ . Παίρνοντας όριο στο

έχουμε από ισοσυγκλίνουσες $\displaystyle{1\ge \lim_{x\to0}f(x) \ge \frac {1}{1+0} }$ , από όπου το ζητούμενο.

Επίσης, η αρχική στο

δίνει

. Άρα για την παράγωγο στο

έχουμε

$\displaystyle{\dfrac {f(x)-f(0)}{x-0} = \dfrac {f(x)-1}{x} = \dfrac {f^3(x)-1}{x(f^2(x)+f(x)+1)} =$

$\displaystyle{ \dfrac {-x^2f(x)}{x(f^2(x)+f(x)+1)} = -x\cdot \dfrac {f(x)}{f^2(x)+f(x)+1}\to 0 \cdot \dfrac {1}{1^2+1+1}=0}$

Ratio · #3

Σε περίπτωση που δεν υπάρχει εξοικείωση με τις ανισοτικές σχέσεις που είναι κομψότατες και σύντομες , θα προσθέσω μια πιο "φλύαρη" προσέγγιση γενικεύοντας και τη συνέχεια σε όλο το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

Με προϋπόθεση, λοιπόν ότι θα μπορούσε να ζητάει την απόδειξη συνέχειας σε όλο το $R^{*,+}$ , θα μπορούσε να έχει και την εξής αντιμετώπιση.
Για το τυχαίο $x_{0}\in R^{*,+}$ έχουμε:
f^3(x)+x^2f(x)=1

και $f^3(x_{0})+x_{0}^2f(x_{0})=1$
Αφαιρώντας κατά μέλη

$f^3(x)+x^2f(x)=f^3(x_{0})+x_{0}^2f(x_{0})\Leftrightarrow f^3(x)-f^3(x_{0})=x_{0}^2f(x_{0})-x^2f(x)\Leftrightarrow$
$\\(f(x)-f(x_{0}))(f^2(x)+f(x)f(x_{0})+f^2(x_{0}))=x_{0}^2f(x_{0})-x^2f(x)\Leftrightarrow\\\\$

$f(x)-f(x_{0})=\frac{x_{0}^2f(x_{0})-x^2f(x)}{f^2(x)+f(x)f(x_{0})+f^2(x_{0})} (1)$

με παρονομαστή κλάσματος πάντα $\neq 0$ , ώς άθροισμα θετικών.

Παίρνοντας όρια στα δύο μέλη της τελευταίας σχέσης προκύπτει ότι $\lim_{x \to x_{0}}(f(x)-f(x_{0}))=0 \Leftrightarrow \lim_{x \to x_{0}}f(x)=f(x_0)$
Θέτοντας στην αρχική σχέση όπου x=0

προκύπτει $f^3(0)=1 \Leftrightarrow f(0)=1$

Άρα για τη συνέχεια από τη σχέση (1)

έχουμε $\lim_{x \to 0}f(x)=f(0)=1$

sot arm · #4

Ratio έγραψε: Πέμ Οκτ 24, 2019 11:09 am
$f(x)-f(x_{0})=\frac{x_{0}^2f(x_{0})-x^2f(x)}{f^2(x)+f(x)f(x_{0})+f^2(x_{0})} (1)$

με παρονομαστή κλάσματος πάντα $\neq 0$ , ώς άθροισμα θετικών.

Παίρνοντας όρια στα δύο μέλη της τελευταίας σχέσης προκύπτει ότι $\lim_{x \to x_{0}}(f(x)-f(x_{0}))=0 \Leftrightarrow \lim_{x \to x_{0}}f(x)=f(x_0)$
Θέτοντας στην αρχική σχέση όπου προκύπτει $f^3(0)=1 \Leftrightarrow f(0)=1$

Ίσως χάνω κάτι προφανές, πώς από την τελευταία παίρνοντας όρια προκύπτει αυτό;

Ratio · #5

sot arm έγραψε: Πέμ Οκτ 24, 2019 12:58 pm
Ratio έγραψε: Πέμ Οκτ 24, 2019 11:09 am
$f(x)-f(x_{0})=\frac{x_{0}^2f(x_{0})-x^2f(x)}{f^2(x)+f(x)f(x_{0})+f^2(x_{0})} (1)$

με παρονομαστή κλάσματος πάντα $\neq 0$ , ώς άθροισμα θετικών.

Παίρνοντας όρια στα δύο μέλη της τελευταίας σχέσης προκύπτει ότι $\lim_{x \to x_{0}}(f(x)-f(x_{0}))=0 \Leftrightarrow \lim_{x \to x_{0}}f(x)=f(x_0)$
Θέτοντας στην αρχική σχέση όπου προκύπτει $f^3(0)=1 \Leftrightarrow f(0)=1$

Ίσως χάνω κάτι προφανές, πώς από την τελευταία παίρνοντας όρια προκύπτει αυτό;

$|\frac{x_{0}^2f(x_{0})-x^2f(x)}{f^2(x)+f(x)f(x_{0})+f^2(x_{0})}|\leq |x_{0}^2f(x_{0})-x^2f(x)|$
ή
$\lim_{x\to x_{0}}}( f(x)-f(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}}}\frac{x_{0}^2f(x_{0})-x^2f(x)}{f^2(x)+f(x)f(x_{0})+f^2(x_{0})}=0$

sot arm · #6

Ratio έγραψε: Πέμ Οκτ 24, 2019 1:31 pm
sot arm έγραψε: Πέμ Οκτ 24, 2019 12:58 pm
Ratio έγραψε: Πέμ Οκτ 24, 2019 11:09 am
$f(x)-f(x_{0})=\frac{x_{0}^2f(x_{0})-x^2f(x)}{f^2(x)+f(x)f(x_{0})+f^2(x_{0})} (1)$

με παρονομαστή κλάσματος πάντα $\neq 0$ , ώς άθροισμα θετικών.

Παίρνοντας όρια στα δύο μέλη της τελευταίας σχέσης προκύπτει ότι $\lim_{x \to x_{0}}(f(x)-f(x_{0}))=0 \Leftrightarrow \lim_{x \to x_{0}}f(x)=f(x_0)$
Θέτοντας στην αρχική σχέση όπου προκύπτει $f^3(0)=1 \Leftrightarrow f(0)=1$

Ίσως χάνω κάτι προφανές, πώς από την τελευταία παίρνοντας όρια προκύπτει αυτό;
$|\frac{x_{0}^2f(x_{0})-x^2f(x)}{f^2(x)+f(x)f(x_{0})+f^2(x_{0})}|\leq |x_{0}^2f(x_{0})-x^2f(x)|$
ή
$\lim_{x\to x_{0}}}( f(x)-f(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}}}\frac{x_{0}^2f(x_{0})-x^2f(x)}{f^2(x)+f(x)f(x_{0})+f^2(x_{0})}=0$

Δεν ισχύει η ανισότητα αυτή, δεν είναι ο παρονομαστής μεγαλύτερος του 1 απαραίτητα.

Ακόμα και να ίσχυε, το όριο του δεξιά δεν κάνει 0,δεν γνωριζω καν υπαρξη του ορίου στο $x_{0}$ για την

.

#7

Nikos127 έγραψε: Τετ Οκτ 23, 2019 8:01 pm Εστω $f: \mathhbb{R} \to (0,+\infty)$ για την οποία ισχύει $f^3(x)+x^2f(x) = 1 \forall x \in \mathbb{R}$ Να δειχθεί ότι $\lim_{x\to0}f(x)= 1$ και

Και άλλη μία λύση (μόνο τα βήματα), για να υπάρχει. Σωστή μεν αλλά χωρίς ενδιαφέρον:

Μπορούμε να λύσουμε την τριτοβάθμια ως προς

, οπότε θα βρούμε

$\displaystyle{ f(x) = \dfrac {1}{6}\sqrt [3] {108+12\sqrt {12x^6+81 }} - \dfrac {2x^2}{\sqrt [3] {108+12\sqrt {12x^6+81 }} }$

(για να γλιτώσω χρόνο και για να μην κάνω λάθος στις πράξεις, χρησιμοποίησα λογισμικό).

Από εκεί και πέρα είναι θέμα (και πάλι) ρουτίνας. Για παράδειγμα για το όριο στο

η παράσταση τείνει στο

$\displaystyle{ \dfrac {1}{6}\sqrt [3] {108+12\sqrt {0+81 }} -0 = 1}$ . Και λοιπά.

Σχολιάζω ότι το πλεονέκτημα είναι ότι βρήκαμε ακριβώς την

αλλά με τίμημα την επίπονη διαδικασία ρουτίνας.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Οκτ 24, 2019 5:37 pm
Nikos127 έγραψε: Τετ Οκτ 23, 2019 8:01 pm Εστω $f: \mathhbb{R} \to (0,+\infty)$ για την οποία ισχύει $f^3(x)+x^2f(x) = 1 \forall x \in \mathbb{R}$ Να δειχθεί ότι $\lim_{x\to0}f(x)= 1$ και
Και άλλη μία λύση (μόνο τα βήματα), για να υπάρχει. Σωστή μεν αλλά χωρίς ενδιαφέρον:

Μπορούμε να λύσουμε την τριτοβάθμια ως προς , οπότε θα βρούμε

$\displaystyle{ f(x) = \dfrac {1}{6}\sqrt [3] {108+12\sqrt {12x^6+81 }} - \dfrac {2x^2}{\sqrt [3] {108+12\sqrt {12x^6+81 }} }$

(για να γλιτώσω χρόνο και για να μην κάνω λάθος στις πράξεις, χρησιμοποίησα λογισμικό).

Από εκεί και πέρα είναι θέμα (και πάλι) ρουτίνας. Για παράδειγμα για το όριο στο η παράσταση τείνει στο

$\displaystyle{ \dfrac {1}{6}\sqrt [3] {108+12\sqrt {0+81 }} -0 = 1}$ . Και λοιπά.

Σχολιάζω ότι το πλεονέκτημα είναι ότι βρήκαμε ακριβώς την αλλά με τίμημα την επίπονη διαδικασία ρουτίνας.

Χωρίς λογισμικό παίρνοντας τον τύπο του Cardano βγαίνει

$\displaystyle f(x) =\sqrt [3] {\frac{1}{2}+\sqrt {\frac{1}{27}x^6+\frac{1}{4} }}+\sqrt [3] {\frac{1}{2}-\sqrt {\frac{1}{27}x^6+\frac{1}{4} }}$
που νομίζω ότι είναι πιο εύχρηστο.
Πάντως τα ίδια ισχύουν αν πάρουμε την

να ικανοποιεί την

$f^5(x)+x^2f(x) = 1 \forall x \in \mathbb{R}$

που σε αυτή νομίζω ότι τα λογισμικά δεν δουλεύουν.

Τα πάντα όλα για τις τριτοβάθμιες βρίσκονται στο

https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation

Ratio · #9

sot arm έγραψε: Πέμ Οκτ 24, 2019 1:48 pm

$|\frac{x_{0}^2f(x_{0})-x^2f(x)}{f^2(x)+f(x)f(x_{0})+f^2(x_{0})}|\leq |x_{0}^2f(x_{0})-x^2f(x)|$
ή
$\lim_{x\to x_{0}}}( f(x)-f(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}}}\frac{x_{0}^2f(x_{0})-x^2f(x)}{f^2(x)+f(x)f(x_{0})+f^2(x_{0})}=0$

Δεν ισχύει η ανισότητα αυτή, δεν είναι ο παρονομαστής μεγαλύτερος του 1 απαραίτητα.

Ακόμα και να ίσχυε, το όριο του δεξιά δεν κάνει 0,δεν γνωριζω καν υπαρξη του ορίου στο $x_{0}$ για την

.
[/quote]

Ας υποθέσουμε ότι το όριο δεν υπάρχει και ας πάρουμε την περίπτωση απόκλισης των δύο πλευρικών ορίων.
Υποθέτουμε λοιπόν ότι $\lim_{x\to x_{0+}} f(x)=k$ και $\lim_{x\to x_{0+}} f(x)=l$ με $k\neq l$

Τότε k^3=1-x_0^2k

και

Με επίλυση ως προς $x_0^2=\frac{1-k^3}{k}=\frac{1-l^3}{l}\Leftrightarrow$ ύστερα απο πράξεις
lk(k-l)(k+l)+(k-l)=0

$\Leftrightarrow (k-l)(lk(k+l)+1)=0 \Leftrightarrow k=l$

#10

Ratio έγραψε: Πέμ Οκτ 24, 2019 11:04 pm
$\Leftrightarrow (k-l)(lk(k+l)+1)=0 \Leftrightarrow k=l$

Ratio, για δες το πάλι γιατί μου φαίνεται ότι πολλά πράγματα δεν πάνε καλά. Ένα από αυτά (και όχι το μόνο) είναι ότι η παραπάνω εξίσωση έχει πολλές λύσεις, όπως για παράδειγμα την $k= - \frac {1}{2} \sqrt [3] {4}, \, l= \sqrt [3] {4}$ , που βέβαια ικανοποιεί $k\ne l$ .

Ratio · #11

'Εχετε απόλυτο δίκιο αλλά δεδομένου ότι $0<f(x)\leq 1$ δεν θα περιορίσουμε και τις δεκτές τιμές των k,l

εντός αυτού του συνόλου;

#12

Ratio έγραψε: Παρ Οκτ 25, 2019 6:28 am 'Εχετε απόλυτο δίκιο αλλά δεδομένου ότι $0<f(x)\leq 1$ δεν θα περιορίσουμε και τις δεκτές τιμές των εντός αυτού του συνόλου;

To παράδειγμα ήταν για να δείξει ότι ο συλλογισμός στην ισοδυναμία

Ratio έγραψε: Πέμ Οκτ 24, 2019 11:04 pm
$\Leftrightarrow (k-l)(lk(k+l)+1)=0 \Leftrightarrow k=l$

είναι λάθος. Υπόψη ότι πουθενά δεν χρησιμοποίησες, ούτε σε αυτό το βήμα ούτε στα υπόλοιπα της λύσης σου, το συμπέρασμα $0<f(x)\leq 1$ .

Στην λύση που δίνεις υποθέτεις ότι τα πλευρικά όρια υπάρχουν. Η έξτρα αυτή υπόθεση είναι πολύ ισχυρή, σχεδόν ισοδύναμη με το ζητούμενο. Η ουσία της άσκησης είναι να δείξεις ότι το όριο υπάρχει χωρίς να υποθέσεις κάτι τόσο ισχυρό.

Ratio · #13

Το σύνολο τιμών της συνάρτησης αλλά και την ύπαρξη του ορίου τα θεώρησα προφανή και αυτονόητα αντίστοιχα σύμφωνα με την πρώτη επίλυση .
Το μεν πρώτο γιατί ήδη έχει αναφερθεί το δε δεύτερο ως άμεση συνέπεια σε περίπτωση που επιλύσουμε την δεδομένη σχέση ως προς $f(x)=\frac{1}{x^2+f^(x)}$ . Αν υποθέσουμε ότι για κάποιο $x_{0}$ θα έχουμε $\lim_{x\to x_0} f(x)=\lim_{x\to x_0}\frac{1}{x^2+f^{2}(x)}$
Αν έστω για κάποιο πλευρικό όριο $\lim_{x\to x_0} f(x)=\pm \infty$ η παράσταση δεξιά έχει $\lim_{x\to x_0}\frac{1}{x^2+f^{2}(x)}=0$ . Γι' αυτό και έκανα αποκλεισμό της περίπτωσης χωρίς κάποια αναφορά.

Κακώς ίσως αλλά πιστεύω ότι όποιος μας παρακολουθεί διατηρεί και την αλληλουχία των συμπερασμάτων. Όπως και να έχει σας ευχαριστώ και θα το κοιτάξω

#14

Ratio έγραψε: Παρ Οκτ 25, 2019 9:57 am
Αν έστω για κάποιο πλευρικό όριο $\lim_{x\to x_0} f(x)=\pm \infty$ η παράσταση δεξιά έχει $\lim_{x\to x_0}\frac{1}{x^2+f^{2}(x)}=0$ . Γι' αυτό και έκανα αποκλεισμό της περίπτωσης χωρίς κάποια αναφορά.

Νομίζω ότι χάνουμε την ουσία.

Όταν ένα όριο δεν υπάρχει, δεν σημαίνει ότι είναι $\pm \infty$ ή ότι τα πλευρικά όρια υπάρχουν αλλά είναι άνισα. Οι περιπτώσεις αυτές ΔΕΝ ΕΞΑΝΤΛΟΥΝ τις εκδοχές. Για παράδειγμα το όριο $\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\sin \frac {1}{x} }$ δεν υπάρχει αλλά δεν εμπίπτει στις περιπτώσεις που γράφεις. Τα πράγματα είναι πιο σύνθετα.

Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος

Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος

Re: Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος

Re: Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος

Re: Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος

Re: Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος

Re: Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος

Re: Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος

Re: Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος

Re: Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος

Re: Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος

Re: Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος

Re: Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος

Re: Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος

Re: Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος

Μέλη σε σύνδεση