Όριο αναδρομικής ακολουθίας.

#1

Δίνεται αναδρομικά $\displaystyle{a_{n+1} = \sqrt {a_n} + \dfrac {1}{n+1}, \, n\in \mathbb N}$ , όπου a_o>0

δοθέν.

Να βρεθεί το $\displaystyle{\lim _{n\to \infty } a_n}$ .

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τετ Οκτ 23, 2019 7:46 pm Δίνεται αναδρομικά $\displaystyle{a_{n+1} = \sqrt {a_n} + \dfrac {1}{n+1}, \, n\in \mathbb N}$ , όπου δοθέν.

Να βρεθεί το $\displaystyle{\lim _{n\to \infty } a_n}$ .

Καταληκτική ημερομηνία;

#3

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: Σάβ Οκτ 26, 2019 12:52 am Καταληκτική ημερομηνία;

Και τώρα καλά είναι.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τετ Οκτ 23, 2019 7:46 pm Δίνεται αναδρομικά $\displaystyle{a_{n+1} = \sqrt {a_n} + \dfrac {1}{n+1}, \, n\in \mathbb N}$ , όπου δοθέν.

Να βρεθεί το $\displaystyle{\lim _{n\to \infty } a_n}$ .

Θα την λύσω υποθέτοντας μόνο ότι $a_{n}> 0$
και ότι η αναδρομική σχέση ισχύει για $n\geq n_{0}$

βήμα 1.
Αν η ακολουθία συγκλίνει τότε εύκολα βλέπουμε ότι τα πιθανά όρια είναι τα $0,1,\infty$

Θέτω $a_{n}=x_{n}^{2}$ οπότε

$x_{n+1}^{2}=x_{n}+\frac{1}{n+1}$

βήμα 2.
Δεν μπορεί να είναι $x_{n}\rightarrow \infty$

Ο λόγος είναι ότι τότε θα υπήρχε
$m> n_{0}$
ώστε
$x_{m+1}> x_{m}> 10$
και θα είχαμε ΑΤΟΠΟ από την αναδρομική σχέση.

βήμα 3
Υπάρχει

με $x_{m}> 1$

Διαφορετικά θα ήταν
$0<x_{n}\leq 1,n\geq n_{0}$
Τότε θα είχαμε
$x_{n+1}\geq x_{n+1}^{2}=x_{n}+\frac{1}{n+1}$
Θα είχαμε σαν συμπέρασμα ότι
$x_{n+k}\geq x_{n}+\sum_{i=1}^{k}\frac{1}{n+k}$
που λόγω απόκλισης της αρμονικής σειράς οδηγεί σε ΑΤΟΠΟ.

βήμα 4
Αν είναι για κάποιο

είναι $x_{m+1}< x_{m}$
τότε η $(x_{n})_{n\geq m}$
θα ήταν φθίνουσα.

Προκύπτει με επαγωγή και την σχέση
$(x_{n+1}-x_{n})(x_{n+1}+x_{n})=x_{n}-x_{n-1}-\frac{1}{n(n+1)}$

βήμα 5
Αν $1< x_{m}$ τότε για n>m

είναι $1< x_{n}$

Επαγωγική απόδειξη

Από το βήμα 3 θα υπάρχει

με $1< x_{m}$ .
Αν για n>m

είναι $x_{n+1}\geq x_{n}$
τότε αναγκαστικά
$x_{n}\rightarrow \infty$
ΑΤΟΠΟ από βήμα 2.
Αρα υπάρχει

με $x_{n+1}< x_{n}$
Τότε όμως από το βήμα 4 θα είναι τελικά γνησίως φθίνουσα και θα συνέκλινε.
Λόγω του βήματος 5 το όριο της θα είναι

Όριο αναδρομικής ακολουθίας.

Όριο αναδρομικής ακολουθίας.

Re: Όριο αναδρομικής ακολουθίας.

Re: Όριο αναδρομικής ακολουθίας.

Re: Όριο αναδρομικής ακολουθίας.

Μέλη σε σύνδεση