Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

[Mihalis_Lambrou]

Άσκηση 24 Δείξτε ότι δεν υπάρχει τρόπος να βάλουμε από έναν φυσικό αριθμό στα κυκλάκια έτσι ώστε το άθροισμα των τεσσάρων αριθμών σε κάθε ευθεία του σχήματος να είναι περιττός αριθμός.

Ας την αφήσουμε ώρες για τα παιδιά του Δημοτικού.
.

Ανοικτή σε όλους. Το σχήμα είναι το αστέρι στο ποστ #95 λίγο πιο πάνω.

[Mihalis_Lambrou]

Άσκηση 24 Δείξτε ότι δεν υπάρχει τρόπος να βάλουμε από έναν φυσικό αριθμό στα κυκλάκια έτσι ώστε το άθροισμα των τεσσάρων αριθμών σε κάθε ευθεία του σχήματος να είναι περιττός αριθμός.

Ας την αφήσουμε ώρες για τα παιδιά του Δημοτικού.
.

Ξεχάστηκε από τους μαθητές. Για να κλείνει:

Το σχήμα είναι στο ποστ #.

Αν υπήρχε τρόπος να βάλουμε φυσικούς στα κυκλάκια έτσι ώστε το άθροισμα των αριθμών σε κάθε ευθεία του σχήματος να είναι περιττός αριθμός, τότε το συνολικό άθροισμα θα ήταν περιττός αφού οι ευθείες είναι πέντε (περιττός). Αυτό όμως δεν γίνεται διότι στο συνολικό άθροισμα ο κάθε αριθμός προσμετράται ακριβώς δύο φορές (το κάθε κυκλάκι, χωρίς εξαίρεση, βρίσκεται σε ακριβώς δύο ευθείες) και άρα το άθροισμά τους πρέπει είναι άρτιος ως άθροισμα άρτιων. Η αντίφαση δίνει το ζητούμενο.

[KARKAR]

Άσκηση 25

Χρησιμοποιώντας από μία φορά τα ψηφία σχηματίστε δύο τετραψήφιους

αριθμούς . Ποια είναι η μικρότερη δυνατή ( θετική ) διαφορά μεταξύ των δύο αυτών αριθμών ;

[Mihalis_Lambrou]

Άσκηση 25

Χρησιμοποιώντας από μία φορά τα ψηφία σχηματίστε δύο τετραψήφιους

αριθμούς . Ποια είναι η μικρότερη δυνατή ( θετική ) διαφορά μεταξύ των δύο αυτών αριθμών ;

Ξεχάστηκε. Γράφω λύση αλλά δεν βλέπω ποια είναι η συνάφεια του ερωτήματος με τον φάκελο "μονά-ζυγά". Ίσως κάποια άλλη λύση;

Επειδή υπάρχουν περιπτώσεις όπου η διαφορά είναι μικρότερη του (εύκολο αλλά βλέπε παρακάτω) οι δύο τετραψήφιοι
πρέπει να είναι της μορφής και . Δηλαδή οι αριθμοί είναι εκατέρωθεν του . Θέλουμε ο πρώτος να είναι
μεν μεγαλύτερος του αλλά να είναι όσο πιο κοντά γίνεται, και ανάλογα για τον δεύτερο που είναι μικρότερος. Οι καλύτερες εκδοχές είναι και , αντίστοιχα. Περισσεύουν οι . Με απλές δοκιμές (είναι λίγες) διαπιστώνουμε ότι η μικρότερη διαφορά είναι η
καθώς και η ίση της .

[Mihalis_Lambrou]

Άσκηση 26. Σε έναν τετράγωνο γράφουμε από έναν φυσικό αριθμό έτσι ώστε το άθροισμα των πέντε αριθμών σε κάθε γραμμή και το άθροισμα των πέντε αριθμών σε κάθε στήλη να είναι άρτιος αριθμός. Ποιο είναι ο μεγαλύτερο δυνατό πλήθος περιττών αριθμών που μπορεί να περιέχει ο πίνακας;

Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές μας. Απευθύνομαι κυρίως σε μαθητές μεγάλων τάξεων του Δημοτικού ή τάξεων του Γυμνασίου.

Έκανα τυπογραφική διόρθωση. Άλλαξα σε κάποιο σημείο την λέξη περιττός σε άρτιος.

[stranger]

Άσκηση 26. Σε έναν τετράγωνο γράφουμε από έναν φυσικό αριθμό έτσι ώστε το άθροισμα των πέντε αριθμών σε κάθε γραμμή και το άθροισμα των πέντε αριθμών σε κάθε στήλη να είναι περιττός αριθμός. Ποιο είναι ο μεγαλύτερο δυνατό πλήθος περιττών αριθμών που μπορεί να περιέχει ο πίνακας;

Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές μας. Απευθύνομαι κυρίως σε μαθητές μεγάλων τάξεων του Δημοτικού ή τάξεων του Γυμνασίου,

Η απάντηση είναι 25. Δηλαδή να είναι όλοι περιττοί.

[Mihalis_Lambrou]

Άσκηση 26. Σε έναν τετράγωνο γράφουμε από έναν φυσικό αριθμό έτσι ώστε το άθροισμα των πέντε αριθμών σε κάθε γραμμή και το άθροισμα των πέντε αριθμών σε κάθε στήλη να είναι περιττός αριθμός. Ποιο είναι ο μεγαλύτερο δυνατό πλήθος περιττών αριθμών που μπορεί να περιέχει ο πίνακας;

Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές μας. Απευθύνομαι κυρίως σε μαθητές μεγάλων τάξεων του Δημοτικού ή τάξεων του Γυμνασίου,

Η απάντηση είναι 25. Δηλαδή να είναι όλοι περιττοί.

Έκανα λάθος στην εκφώνηση: Μία λέξη "περιττός" πρέπει να αλλάξει σε "άρτιος". Βλέπε το αρχικό ποστ. Έτσι όπως το είχα η άσκηση είναι απόλυτα τετριμμένη, που δεν αξίζει το μελάνι στο οποίο είναι γραμμένη.

Νέα αρχή.

[stranger]

H απάντηση είναι 20.Στη διαγώνιο όλοι άρτιοι και εκτός της διαγωνίου όλοι περιττοί.

[Mihalis_Lambrou]

H απάντηση είναι 20.Στη διαγώνιο όλοι άρτιοι και εκτός της διαγωνίου όλοι περιττοί.

Επειδή η άσκηση απευθύνεται σε μαθητές Δημοτικού, ας συμπληρώσω τα στοιχεία που λείπουν:

Δεν μπορεί σε κάποια γραμμή να υπάρχουν περιττοί γιατί το άθροισμά τους θα ήταν περιττό. Με άλλα λόγια σε κάθε γραμμή υπάρχουν το πολύ περιττοί, άρα συνολικά οι περιττοί είναι το πολύ . Ευτυχώς μπορούμε να βρούμε παράδειγμα με περιττούς (όπως ωραιότατα το περιγράφει ο stranger παραπάνω), άρα το ζητούμενο μέγιστο πλήθος είναι .

[Mihalis_Lambrou]

.

αριθμοί στην σειρά.png (6.62 KiB) Προβλήθηκε 383 φορές

.
Άσκηση 27. Στον πίνακα είναι γραμμένοι στην σειρά ορισμένοι αριθμοί, όπως δείχνει η εικόνα. Ξεκινώντας από τον τρίτο όρο, κάθε αριθμός στον πίνακα είναι ίσος με το άθροισμα των δύο αμέσως προηγούμενών του. Πόσοι περιττοί αριθμοί υπάρχουν στους πρώτους αριθμούς του πίνακα;

Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές μας. Απευθύνομαι κυρίως σε μαθητές των μεγάλων τάξεων του Δημοτικού.

[Mihalis_Lambrou]

Ανοικτή σε όλους.

[Nikitas K.]

.
αριθμοί στην σειρά.png
.
Άσκηση 27. Στον πίνακα είναι γραμμένοι στην σειρά ορισμένοι αριθμοί, όπως δείχνει η εικόνα. Ξεκινώντας από τον τρίτο όρο, κάθε αριθμός στον πίνακα είναι ίσος με το άθροισμα των δύο αμέσως προηγούμενών του. Πόσοι περιττοί αριθμοί υπάρχουν στους πρώτους αριθμούς του πίνακα;

Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές μας. Απευθύνομαι κυρίως σε μαθητές των μεγάλων τάξεων του Δημοτικού.

Με εξαίρεση τους δύο άσσους στην αρχή παρατηρούμε ότι κάθε αριθμός αυτής της λίστας προκύπτει από το άθροισμα των δύο προηγούμενων. (Αυτή η λίστα είναι γνωστή ως ακολουθία Φιμπονάτσι).

Μετασχηματίζοντας την αρχική λίστα σε δηλαδή κάθε περιττός μετατράπηκε σε άσσο και κάθε άρτιος σε μηδέν.

Αρκεί να αθροίσουμε τους αρχικούς αριθμούς της λίστας που παράξαμε για να καταγράψουμε το ζητούμενο πλήθος των περιττών.

Μάλιστα μας διευκολύνει να τους ομαδοποιήσουμε σε τριάδες καθώς συνεχώς επαναλαμβάνεται το μοτίβο διότι το άθροισμα περιττών είναι άρτιος αριθμός, ενώ το άθροισμα περιττού με άρτιου —και άρτιου με περιττού— είναι περιττός αριθμός.

Έχουμε τέτοιες τριάδες και μας έμεινε ένας αριθμός που θα τον συμπληρώσει ο αρχικός αριθμός της επόμενης τριάδας.

Άρα