Συνάρτηση σε ρητούς και άρρητους

#1

Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις $\displaystyle{f:\mathbb R \longrightarrow \mathbb R}$ με $f(x)=f(x+1)=f(x+\sqrt 3)$ για κάθε πραγματικό

.

Aς την αφήσουμε

ώρες για τους φοιτητές μας. Θα μπορούσε να είναι άσκηση στον SEEMOUS, όμως από τις απλές για εκεί.

sot arm · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Νοέμ 22, 2019 9:42 pm Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις $\displaystyle{f:\mathbb R \longrightarrow \mathbb R}$ με $f(x)=f(x+1)=f(x+\sqrt 3)$ για κάθε πραγματικό .

Aς την αφήσουμε ώρες για τους φοιτητές μας. Θα μπορούσε να είναι άσκηση στον SEEMOUS, όμως από τις απλές για εκεί.

Καλησπέρα κύριε Μιχάλη, είναι μόνο οι σταθερές.

Από την δοσμένη επαγωγικά (εύκολο) προκύπτει πως:

$\displaystyle{f(0)=f(m+n\sqrt{3}), m,n \in \mathbb{Z}}$

Από το θεώρημα του Kronecker,αφού το $\sqrt{3}$ άρρητος, το σύνολο $A=\{m+n\sqrt{3}, m,n \in \mathbb{Z} \}$ είναι πυκνό στο $\mathbb{R}$ άρα για το τυχόν $x_{0} \in \mathbb{R}$ υπάρχει ακολουθία $(x_{n})_{n=1}^{\infty}$ στοιχείων του A με: $x_{n} \rightarrow x_{0}$ .

Άρα: $f(x_{0}) = \lim_{n\rightarrow +\infty}f(x_{n})=\lim_{n\rightarrow +\infty}f(0)=f(0)$ από την αρχή μεταφοράς, άρα $f(x_{0})=f(0)$ και συνεπώς $f(x)=f(0), \forall x \in \mathbb{R}$ .

#3

Ας δούμε τώρα και το ξαδελφάκι της:

Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις $\displaystyle{f:\mathbb R \longrightarrow \mathbb R}$ με $f(x)=f(x+\sqrt 2)=f(x+\sqrt 3)$ για κάθε πραγματικό

.

Συνάρτηση σε ρητούς και άρρητους

Συνάρτηση σε ρητούς και άρρητους

Re: Συνάρτηση σε ρητούς και άρρητους

Re: Συνάρτηση σε ρητούς και άρρητους

Μέλη σε σύνδεση