κριτήριο ισότητας τριγώνων;

#21

gbaloglou έγραψε: Τρί Νοέμ 26, 2019 2:21 pm
gbaloglou έγραψε: Δευ Νοέμ 25, 2019 1:24 pm
gbaloglou έγραψε: Δευ Νοέμ 25, 2019 12:42 am Γιώργο μια αλγεβρικογεωμετρική ματιά βασιζόμενη στο σχήμα σου:

Από Νόμο Συνημιτόνων στα τρίγωνα και οδηγούμαστε στο σύστημα

$\dfrac{b^2}{4}+c^2-(cos\theta)bc=m^2$

$b^2+\dfrac{c^2}{4}-(cos\theta)bc=n^2,$

που αντιστοιχεί στην (πιθανή) τομή δύο ελλείψεων: για μοναδική λύση στο αρχικό γεωμετρικό πρόβλημα θέλουμε μία και μόνη λύση με , , κάτι για το οποίο δεν βλέπω προς στιγμήν κάποια ικανή συνθήκη.
Σε πρώτη φάση ... δίνω μία αναγωγή του παραπάνω συστήματος σε μία διτετράγωνη ως προς , με $c=2(cos\theta)b\pm2\sqrt{(cos^2\theta)b^2-b^2+n^2}$ :

$(225-144cos^2\theta)b^4+8\left[(4n^2-m^2)(24cos^2\theta-15)-72n^2cos^2\theta\right]b^2+16(4n^2-m^2)^2=0.$

[Τα παραπάνω έχουν ελεγχθεί και επαληθεύονται στην περίπτωση του παραδείγματος που έδωσα στην αμέσως προηγούμενη δημοσίευση.]
Η διτετράγωνη μας δίνει, μέσω διακρίνουσας, μία αναγκαία συνθήκη για την κατασκευασιμότητα (όχι μοναδικότητα) του τριγώνου:

$cos^2\theta\geq -\dfrac{(4m^2-n^2)(4n^2-m^2)}{4(m^2-n^2)^2}.$

[Ας παρατηρηθεί ότι η συμμετρική αυτή συνθήκη ισχύει 'πάντοτε' για ορθογώνια τρίγωνα: από την στιγμή δηλαδή που το αριστερό σκέλος της ανισότητας είναι μηδέν ( $\theta=90^0$ ), αρκεί οι διάμεσοι μας να ικανοποιούν τις συνθήκες $2m\leq n$ , $2n\leq m$ ... που είναι εύκολο να δειχθεί ότι ισχύουν σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο.]

Δίνω στο συνημμένο και ένα παράδειγμα -- σχετιζόμενο και με την αμέσως προηγούμενη δημοσίευση (αλλά και με το αρχικό μου παράδειγμα) -- που δείχνει πως η συνθήκη από μόνη της δεν εξασφαλίζει την ύπαρξη τριγώνου (καθώς καμία από τις 4 λύσεις του συστήματος δεν ικανοποιεί ταυτόχρονα τις , ): $\theta=120^0$ , $m=2\sqrt{10}$ , (που ικανοποιούν την συνθήκη με $\dfrac{1}{4}>\dfrac{151}{961}$ ).

Ικανοποιείται βεβαίως και η 'άλλη' συνθήκη ύπαρξης ριζών διτετράγωνης (θετικότητα b^2

), καθώς ισχύει πάντοτε η $|cos\theta|\leq \dfrac{5}{4}$ .

Παρ' όλα αυτά, εξακολουθεί να μην υπάρχει τρίγωνο με $\theta=120^0$ , $m=2\sqrt{10}$ , n=3

καθώς απαιτείται και η θετικότητα του $c=2(cos\theta)b\pm2\sqrt{(cos^2\theta)b^2-b^2+n^2}$ : εδώ τα πράγματα είναι πιο μπλεγμένα, θα επανέλθω όταν μπορώ...

ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ 29-11-2019 9 μμ: τροποποιήθηκαν τα της δεύτερης συνθήκης ύπαρξης ριζών.

#22

gbaloglou έγραψε: Πέμ Νοέμ 28, 2019 12:56 am
Παρ' όλα αυτά, εξακολουθεί να μην υπάρχει τρίγωνο με $\theta=120^0$ , $m=2\sqrt{10}$ , καθώς απαιτείται και η θετικότητα του $c=2(cos\theta)b\pm2\sqrt{(cos^2\theta)b^2-b^2+n^2}$ : εδώ τα πράγματα είναι πιο μπλεγμένα, θα επανέλθω όταν μπορώ...

Καλημέρα Γιώργο!

Η μη ύπαρξη του τριγώνου επαληθεύεται και γεωμετρικά (Την γενική κατασκευή έδωσα στο #14 και υπάρχει και διερεύνηση).

: ΚΙΤδ;.png (10.01 KiB) Προβλήθηκε 282 φορές

Το κόκκινο τόξο έχει κατασκευαστεί με χορδή $BM=2\sqrt{10}$ που δέχεται γωνία $120^\circ$ και έχει κέντρο

Το

χωρίζει την

σε λόγο

και ο κύκλος $(G,\dfrac{n}{3}=1)$ τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου

σε δύο σημεία εξωτερικά του κόκκινου τόξου. Άρα, το πρόβλημα δεν έχει λύση.

Όπως έχουμε ήδη πει πιο πάνω, στην περίπτωση της αμβλείας, αν υπάρχει λύση τότε είναι μοναδική.

#23

george visvikis έγραψε: Πέμ Νοέμ 28, 2019 8:50 am
gbaloglou έγραψε: Πέμ Νοέμ 28, 2019 12:56 am
Παρ' όλα αυτά, εξακολουθεί να μην υπάρχει τρίγωνο με $\theta=120^0$ , $m=2\sqrt{10}$ , καθώς απαιτείται και η θετικότητα του $c=2(cos\theta)b\pm2\sqrt{(cos^2\theta)b^2-b^2+n^2}$ : εδώ τα πράγματα είναι πιο μπλεγμένα, θα επανέλθω όταν μπορώ...
Καλημέρα Γιώργο!

Η μη ύπαρξη του τριγώνου επαληθεύεται και γεωμετρικά (Την γενική κατασκευή έδωσα στο #14 και υπάρχει και διερεύνηση). ΚΙΤδ;.png
Το κόκκινο τόξο έχει κατασκευαστεί με χορδή $BM=2\sqrt{10}$ που δέχεται γωνία $120^\circ$ και έχει κέντρο Το χωρίζει την σε λόγο και ο κύκλος $(G,\dfrac{n}{3}=1)$ τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου σε δύο σημεία εξωτερικά του κόκκινου τόξου. Άρα, το πρόβλημα δεν έχει λύση.

Όπως έχουμε ήδη πει πιο πάνω, στην περίπτωση της αμβλείας, αν υπάρχει λύση τότε είναι μοναδική.

Γιώργο σ' ευχαριστώ, φυσικά και θυμάμαι την συνεισφορά σου, άλλωστε (αμέσως μετά) από αυτήν ξεκίνησε και η δική μου (#15): στόχος μου πλέον είναι η αλγεβροποίηση των συνθηκών ύπαρξης και μοναδικότητας -- κάτι που μπορεί να γίνει είτε μέσω αναγωγής σε τομή δύο ελλείψεων και διερεύνησης αντίστοιχου συστήματος και διτετράγωνης (κάτι που συνεχίζω απτόητος) είτε μέσω της δικής σου κατασκευαστικής προσέγγισης (κάτι που είχα κατά νου να επιχειρήσω αργότερα, δες το κι εσύ αν σ' ενδιαφέρει). [Το πόσο 'ελκυστικές' θα είναι οι προκύπτουσες συνθήκες, ώστε να 'δικαιολογείται' και η σχετική ενασχόληση, είναι άγνωστο προς το παρόν...]

κριτήριο ισότητας τριγώνων;

Re: κριτήριο ισότητας τριγώνων;

Re: κριτήριο ισότητας τριγώνων;

Re: κριτήριο ισότητας τριγώνων;

Μέλη σε σύνδεση