Διαφορική εξίσωση πρωτότυπη

#1

Να βρεθεί συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ , παραγωγίσιμη, με συνεχή παράγωγο, ώστε
$f(x)=max\{f^\prime(x),x+1\}$
Εθνική Ολυμπιάδα Ρουμανίας του 1994
Φιλικά

#2

s.kap έγραψε:Να βρεθεί συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ , παραγωγίσιμη, με συνεχή παράγωγο, ώστε
$f(x)=max\{f^\prime(x),x+1\}$
Εθνική Ολυμπιάδα Ρουμανίας του 1994
Φιλικά

Ως γνωστό η $\displaystyle{f(x)=Ae^x}$ $\displaystyle{(A\geq 1)}$ είναι μια τέτοια συνάρτηση,

αφού $\displaystyle{f(x)=f'(x)=Ae^x\geq e^x \geq x+1}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ .

Μια άλλη είναι η συνάρτηση με

$\displaystyle{f(x)=e^x}$ αν $\displaystyle{x \leq 0}$ και

$\displaystyle{f(x)=x+1}$ , αν $\displaystyle{x\geq 0}$ .

**********************************************************************************
Γενικά, μια τέτοια συνάρτηση θα πρέπει να ικανοποιεί τις σχέσεις:

$\displaystyle{f(x)\geq f(0)e^x}$ (1) για κάθε $\displaystyle{x\leq 0}$

και

$\displaystyle{x+1\leq f(x)\leq f(0)e^x}$ (2) για κάθε $\displaystyle{x\geq 0}$ , οπότε $\displaystyle{f(0)\geq 1}$ (3),

διότι η συνάρτηση $\displaystyle{x\mapsto e^{-x}f(x)}$ πρέπει να είναι φθίνουσα.

Από τη δοθείσα σχέση και τις (1), (3), έπεται ότι $\displaystyle{f'(x)=f(x)}$ για κάθε $\displaystyle{x\leq 0}$ , κι άρα

$\displaystyle{f(x)=f(0)e^x}$ για κάθε $\displaystyle{x\leq 0}$ .

Αν $\displaystyle{f(x_0)>x_0+1}$ για κάποιο $\displaystyle{x_0>0}$ , τότε υπάρχει ένα διάστημα $\displaystyle{a<x_0<b}$ , τέτοιο ώστε $\displaystyle{f(x)>x+1}$ για κάθε $\displaystyle{a<x<b}$ .
Έτσι, $\displaystyle{f(x)=Ce^x}$ για κάθε $\displaystyle{a<x<b}$ .

Λόγω συνέχειας και της συνθήκης για την $\displaystyle{f}$ θα πρέπει $\displaystyle{f(x)=Ce^x}$ για κάθε 0<x

. κ.ο.κ.

**********************************************************************************

Φιλικά,

Αχιλλέας

Μάκης Χατζόπουλος · #3

Πάλι έγραψες Αχιλλέα!

Σπύρο όντως πρωτότυπη άσκηση, μου έδωσες ιδέα να βρούμε αντίστοιχες ασκήσεις, επιπέδου Γ Λυκείου (όχι επίπεδο Ολυμπιάδων) και να τις παρουσιάσουμε... Τι λες;

#4

Αχιλλέα ευχαριστώ

Θα προσπαθήσω να τα γράψω λιγακι πιο αναλυτικά ώστε να είναι προσιτά και σε όσους μαθητές θελήσουν να μελετήσουν την άσκηση
Υπάρχουν τρία ενδεχόμενα
Ι) Υπάρχουν $x_0 \in \matbb{R}$ με $f^\prime(x_0)<x_0+1$ και $x_1\in \mathbb{R}$ με
$f^\prime(x_1)>x_1+1$
ΙΙ) Για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύει $f^\prime(x)>x+1$ και
ΙΙΙ) Για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύει $f^\prime(x)<x+1$
Στην περίπτωση που αληθεύει το πρώτο ενδεχόμενο, τότε λόγω της συνἐχειας της $g(x)=f^\prime(x)-x-1$ θα υπάρχει ανοικτό διάστημα

με $f^\prime(x)<x+1 \Rightarrow f(x)=x+1, \forall x\in D$ και
$f^\prime(x)=f(x), \forall x\in \mathbb{R}-D \Rightarrow f(x)=ce^x, \forall x\in \mathbb{R}-D$ .Αν

είναι ένα άκρο του

με $a\in \mathbb{R}$ , τότε τα πλευρικά όρια της

στο

θα είναι

και

που λόγω της συνέχειας πρέπει να είναι ίσα, άρα ce^a=a+1

και επειδή πρέπει να είναι και η παράγωγος συνεχής στο

θα έχουμε

, δηλαδή

. Από το ενδεχόμενο αυτό παίρνουμε δύο λύσεις τις $f(x)=e^x, x\leq0, f(x)=x+1,x>0$ και $f(x)=e^x,x\geq0, f(x)=x+1,x<0$ .Η δεύτερη λύση απορρίπτεται για το λόγο που υπέδειξε ο Αχιλλέας πιο κάτω, δηλαδή δεν είναι δυνατό να έχουμε
$f(x)=x+1, \forall x<0$ , γιατί σε αυτή την περίπτωση δεν ισχύει η συνθήκη $x+1\geq f^\prime(x)=1$ . Στην περίπτωση που ισχύει το δεύτερο ενδεχόμενο θα έχουμε $f^\prime(x)=f(x),x\in \mathbb{R}$ , άρα
$f(x)=ce^x,x\in \mathbb{R}$ και
Το τρίτο ενδεχόμενο $f(x)=x+1, x\in \mathbb{R}$ , επίσης απορρίπτεται, γιατί θα έχουμε
$x+1\geq f^\prime(x)=1$ , το οποίο δεν ισχύει για x<0

Δηλαδή έχουμε συνολικά 2, λύσεις, εκ των οποίων η μία είναι οικογένεια λύσεων
Φιλικά

#5

Σπύρο,

Δε μπορεί να είναι $\displaystyle{f(x)=x+1}$ για $\displaystyle{x<0}$ , διότι τότε $\displaystyle{f'(x)=1>x+1}$ ( $\displaystyle{x<0}$ ) οπότε

$\displaystyle{x+1=f(x)=\max\{f'(x),x+1\}=1}$ για κάθε $\displaystyle{x<0}$ , άτοπο.

Όπως έδειξα παραπάνω, μια τέτοια $\displaystyle{f}$ πρέπει να είναι της μορφής $\displaystyle{f(x)=f(0)e^x}$ για αρνητικά

.

Κάνω κάπου λάθος;

Φιλικά,

Αχιλλέας

#6

Αχιλλέα έχεις απόλυτο δίκιο. Δεν το προσεξα. Το διορθώνω αμέσως
Ευχαριστώ

Διαφορική εξίσωση πρωτότυπη

Διαφορική εξίσωση πρωτότυπη

Re: Διαφορική εξίσωση πρωτότυπη

Re: Διαφορική εξίσωση πρωτότυπη

Re: Διαφορική εξίσωση πρωτότυπη

Re: Διαφορική εξίσωση πρωτότυπη

Re: Διαφορική εξίσωση πρωτότυπη

Μέλη σε σύνδεση