Τέλειο τετράγωνο

#1

Για ποιους φυσικούς αριθμούς

ο $\displaystyle{2^n + 2^{11}+16^2}$ είναι τέλειο τετράγωνο;

Ας την αφήσουμε

ώρες για τους μαθητές Γυμνασίου.

Ορέστης Λιγνός · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 03, 2019 10:43 pm
Για ποιους φυσικούς αριθμούς ο $\displaystyle{2^n + 2^{11}+16^2}$ είναι τέλειο τετράγωνο;

Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές Γυμνασίου.

Με το χέρι βλέπουμε ότι αν $n \leqslant 8$ δεν έχουμε κάποια λύση.

Αν $n \geqslant 9$ τώρα, έστω n=m+8

με $m \geqslant 1$ , οπότε ο $2^n+2^{11}+16^2=2^8(2^m+2^3+1)$ , είναι τέλειο τετράγωνο.

Αφού όμως ο 2^8=(2^4)^2

είναι τέλειο τετράγωνο, πρέπει και ο 2^m+2^3+1=2^m+9

να είναι τέλειο τετράγωνο.

Έστω, $2^m+9=k^2 \Rightarrow 2^m=(k-3)(k+3)$ , άρα k-3=2^A, k+3=2^B

με

φυσικούς.

Αν $A,B \geqslant 2$ , τότε αφαιρώντας τις 2 προηγούμενες κατά μέλη έχω, 2^B-2^A=6

, και τότε το δεξί μέλος διαιρείται από το

ενώ το αριστερό όχι, άτοπο.

Επίσης, $2^B=2^A+6 \geqslant 7 \Rightarrow B>2$ , άρα θα πρέπει A=0

ή

.

Εύκολα έχουμε ότι δεκτή είναι μόνο η περίπτωση A=1, k=5

που δίνει

και $\boxed{n=12}$ .

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 03, 2019 10:43 pm
Για ποιους φυσικούς αριθμούς ο $\displaystyle{2^n + 2^{11}+16^2}$ είναι τέλειο τετράγωνο;

Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές Γυμνασίου.

Λίγο διαφορετικά.
Έχουμε:

$2^{n}+2^{11}+16^{2}=m^{2} \Leftrightarrow 2^{n}+2^{8}9=m^{2} \Leftrightarrow m^{2}-(2^{4}3)^{2}=2^{n} \Leftrightarrow (m-2^{4}3)(m+2^{4}3)=2^{n} \Leftrightarrow (m-48)(m+48)=2^{n}$

Άρα υπάρχουν $k,l \in \mathbb {N}$ ,έστω k>l

, ώστε $m-48=2^{l}$ και $m+48=2^{k}$ και
k+l=n

.Με αφαίρεση των σχέσεων κατά μέλη προκύπτει ότι:

$96=m+48-(m-48)=2^{k}-2^{l}=2^{l}(2^{k-l}-1)$ όπου προφανώς ο $2^{k-l}-1$ περιττός. Οπότε έχουμε:

$2^{k-l}-1=3 \Leftrightarrow k=l+2$
$2^{l}=32 \Leftrightarrow l=5$ και k=5+2=7

. Επομένως n=k+l=7+5=12

.

#4

+

Τέλειο τετράγωνο

Τέλειο τετράγωνο

Re: Τέλειο τετράγωνο

Re: Τέλειο τετράγωνο

Re: Τέλειο τετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση