Ανάπτυξη με παραγοντικά

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Να δείξετε ότι κάθε x>0

πραγματικός γράφεται μονοσήμαντα ως
$\displaystyle x=\sum_{k=1}^{\infty }\frac{a_{k}}{k!}$
όπου
$\displaystyle a_{k}\in \mathbb{N}$

και για $k\geq 2$ είναι

$\displaystyle 0\leq a_{k}\leq k-1$

και δεν υπάρχει

ώστε

για κάθε $k \geqslant n$ .

Μέχρι 29-11-2019

#2

Σταύρο, για τη μοναδικότητα νομίζω θέλουμε την επιπλέον συνθήκη: Δεν υπάρχει

ώστε

για κάθε $k \geqslant n$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Demetres έγραψε: Σάβ Νοέμ 30, 2019 12:56 pm Σταύρο, για τη μοναδικότητα νομίζω θέλουμε την επιπλέον συνθήκη: Δεν υπάρχει ώστε για κάθε $k \geqslant n$ .

Εχεις δίκιο πρέπει να προστεθεί στην εκφώνηση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Επαναφορά.
Για όλους.

#5

Ύπαρξη: Ορίζουμε a_1 = [x]

. Έχοντας ορίσει τα $a_1,\ldots,a_n$ τότε ορίζουμε $a_{n+1}$ ως τον μέγιστο φυσικό με $a_{n+1} \in \{0,1,\ldots,n\}$ και $\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1} \frac{a_k}{k!} \leqslant x$

Έστω $\displaystyle x_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{k!}.$ Ισχυρίζομαι ότι $0 \leqslant x-x_n < \frac{1}{n!}$ για κάθε φυσικό

. (*)

Από τον ορισμό του a_1

η (*) είναι αληθής για n=1

. Επίσης, αν είναι αληθής για n=m

τότε θα είναι αληθής και για n = m+1

αφού είτε $a_{m+1} = m$ οπότε

$\displaystyle 0 \leqslant x - x_{m+1} = (x-x_m) + (x_m-x_{m+1}) < \frac{1}{m!} - \frac{m}{(m+1)!} = \frac{1}{(m+1)!}$

είτε $a_{m+1} = k < m$ οπότε

$\displaystyle x_{m+1} + \frac{1}{(m+1)!} > x \geqslant x_{m+1}$

αφού απαγορεύεται να επιλέξουμε $a_{m+1} = k+1$ .

Είναι απλό τώρα ότι η (x_n)

συγκλίνει στο

. Άρα έχουμε το ζητούμενο αρκεί να δείξουμε επιπλέον ότι δεν υπάρχει

ώστε

για $k \geqslant n$ . Αν όμως υπήρχε, θα είχαμε:

$\displaystyle x-x_{n-1} = \sum_{k=n}^{\infty} \frac{a_k}{k!} = \sum_{k=n}^{\infty} \frac{k-1}{k!} = \sum_{k=n}^{\infty} \left( \frac{1}{(k-1)!}-\frac{1}{k!}\right) = \frac{1}{(n-1)!}$

Αυτό όμως είναι άτοπο από την (*).

Μοναδικότητα:

Έστω ότι $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a_k}{k!} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{b_k}{k!}$ με τις ακολουθίες (a_n),(b_n)

να είναι διαφορετικές και να ικανοποιούν τις συνθήκες. Έστω

ελάχιστο ώστε $a_m \neq b_m$ και έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι a_m > b_m

. Τότε όμως

$\displaystyle 0 = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a_k}{k!} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{b_k}{k!} \geqslant \frac{1}{m!} + \sum_{k=m+1}^{\infty} \frac{a_k-b_k}{k!} \geqslant \frac{1}{m!} - \sum_{k=m+1}^{\infty} \frac{k-1}{k!} = 0$

Αυτό είναι άτοπο εκτός και αν έχουμε ισότητα. Η ισότητα λαμβάνεται αν και μόνο αν a_m - b_m=1

και

για κάθε $k \geqslant m$ . Τότε όμως θα είναι και b_k = k-1

για κάθε $k \geqslant m$ , άτοπο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Είναι η άσκηση 1.17 σελ26 από
το Mathematical Analysis του T.Apostol
second edition.
Βέβαια εκεί την έχει για ρητούς αφού δεν έχει ορίσει ακόμα σειρές.

Η απόδειξη είναι σχεδόν όμοια με το δεκαδικό ανάπτυγμα.
Εύκολα μπορούμε να δούμε ότι
$a_{n}=[n!x]-n[(n-1)!x],n\geq 2$

Την έχω χρησιμοποιήσει πολλές φορές.
Την έβαλα γιατί έτσι μπορεί να κατασκευασθεί η συνάρτηση στο

viewtopic.php?f=200&t=65742

Ανάπτυξη με παραγοντικά

Ανάπτυξη με παραγοντικά

Re: Ανάπτυξη με παραγοντικά

Re: Ανάπτυξη με παραγοντικά

Re: Ανάπτυξη με παραγοντικά

Re: Ανάπτυξη με παραγοντικά

Re: Ανάπτυξη με παραγοντικά

Μέλη σε σύνδεση