Διχοτόμηση και διαφορά

KARKAR · #1

: Διχοτόμηση και διαφορά.png (10.1 KiB) Προβλήθηκε 1086 φορές

Τμήμα

διαιρείται με σημείο

σε δύο τμήματα AD=d,DB=t

, με

.

α) Πάνω στην κάθετη στο

επιλέξτε σημείο

, ώστε η

να διχοτομεί την $\widehat{ACB}$ .

β) Η κάθετη προς την

στο

, τέμνει την προέκταση της

στο σημείο

.

Υπολογίστε τη διαφορά : SC-SA

.

#2

Μάλλον απλή για ΟΛυμπιάδες Seniors.

a) Από Θ. διχοτόμου με CA=x

έχουμε

, δηλαδή $\displaystyle{ \dfrac {x}{\sqrt {x^2+(d+t)^2}} = \dfrac {d}{t}$ . Λύνοντας $\displaystyle{ x=d \sqrt {\dfrac {t+d}{t-d}}}$ .

β) Αφού το SCD

είναι ορθογώνιο τρίγωνο με ύψος

έχουμε $CA= \dfrac {CA^2}{AB}$ , ίσον όλα γνωστά. Και λοιπά.

#3

KARKAR έγραψε: Πέμ Δεκ 12, 2019 7:54 pm Διχοτόμηση και διαφορά.pngΤμήμα διαιρείται με σημείο σε δύο τμήματα , με .

α) Πάνω στην κάθετη στο επιλέξτε σημείο , ώστε η να διχοτομεί την $\widehat{ACB}$ .

β) Η κάθετη προς την στο , τέμνει την προέκταση της στο σημείο .

Υπολογίστε τη διαφορά : .

: Διχοτόμηση και διαφορά.png (15.31 KiB) Προβλήθηκε 1050 φορές

Βρίσκω το αρμονικό συζυγές, έστω

, του

ως προς τα $A\,\,,\,\,B$ και είναι :

$\boxed{FD = \frac{{2dt}}{{t - d}}}$

Με διάμετρο

γράφω ημικύκλιο που τέμνει στο

την κάθετη στο

επί την

Η ακτίνα του ημικυκλίου έστω $\boxed{R = \frac{{dt}}{{t - d}}}$ .

Επειδή η

εφάπτεται του ημικυκλίου στο

το $x = SA = R - d \Rightarrow \boxed{x = \frac{{{d^2}}}{{t - d}}}$ .

Και χωρίς υπολογισμούς, η διαφορά που ζητώ είναι

Γιώργος Μήτσιος · #4

Καλησπέρα!Τα ίδια-όπως βλέπω- με τη λύση του Νίκου με μικρές διαφορές και άλλα λόγια

: Διχοτόμηση και διαφορά.PNG (8.8 KiB) Προβλήθηκε 1044 φορές

Το

ανήκει στον Απολλώνιο κύκλο με διάμετρο

όπου ισχύει $\dfrac{EA}{EB}=\dfrac{DA}{DB}=\dfrac{d}{t}$ και βεβαίως στην κάθετη προς την

στο

.

Έστω

το κέντρο του κύκλου . Τότε $\varphi +\omega +\theta =\widehat{ECD}=90^{0}$ αλλά και $2\varphi +\omega =90^{0}$ .

Προκύπτει $\varphi =\theta$ δηλ. $\widehat{OCB}=90^{0}$ , όμως και $\widehat{SCB}=90^{0}$ οπότε $O\equiv S$ ως σημεία της

.

Τέλος SC-SA=OD-SA=AD=d

.Φιλικά, Γιώργος.

KARKAR · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Δεκ 12, 2019 10:27 pm Μάλλον απλή για Ολυμπιάδες Seniors .

Ο φάκελος "Μαθηματικοί Διαγωνισμοί" έχει τρία επίπεδα : Επίπεδο Θαλή - Ευκλείδη , Επίπεδο Αρχιμήδη

και Προχωρημένο Επίπεδο .

Αυτή , αν και σχετικά εύκολη , νομίζω ότι για τον "Θαλή" είναι μια χαρά ...

#6

KARKAR έγραψε: Παρ Δεκ 13, 2019 7:18 am
Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Δεκ 12, 2019 10:27 pm Μάλλον απλή για Ολυμπιάδες Seniors .
Ο φάκελος "Μαθηματικοί Διαγωνισμοί" έχει τρία επίπεδα : Επίπεδο Θαλή - Ευκλείδη , Επίπεδο Αρχιμήδη

και Προχωρημένο Επίπεδο .

Αυτή , αν και σχετικά εύκολη , νομίζω ότι για τον "Θαλή" είναι μια χαρά ...

Συμφωνώ απόλυτα! Δυστυχώς, η έλλειψη κατάλληλων φακέλων υποχρεώνει τους θεματοθέτες να βάζουν στο ίδιο καζάνι θέματα με μεγάλη απόκλιση, όσον αφορά το επίπεδο της δυσκολίας. Στον ίδιο φάκελο μπαίνει μία άσκηση Ευκλείδη Γ' Λυκείου (δηλαδή ύλη Β' Λυκείου

α' τετράμηνο Γ' Λυκείου) με Θαλή Α' Λυκείου (δηλαδή ύλη Γ' Γυμνασίου).

#7

KARKAR έγραψε: Πέμ Δεκ 12, 2019 7:54 pm Διχοτόμηση και διαφορά.pngΤμήμα διαιρείται με σημείο σε δύο τμήματα , με .

α) Πάνω στην κάθετη στο επιλέξτε σημείο , ώστε η να διχοτομεί την $\widehat{ACB}$ .

β) Η κάθετη προς την στο , τέμνει την προέκταση της στο σημείο .

Υπολογίστε τη διαφορά : .

Έστω λυμένο το πρόβλημα

Φέρνω από το

κάθετη στην διχοτόμο

που την τέμνει στο

και την

στο

.

Επειδή στο $\vartriangle CDB$ για την εξωτερική του γωνία $\widehat {CDS} = \widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{\omega _{}}} + \widehat {{\phi _{}}} = \widehat {SCD}$ το τρίγωνο SCD

είναι ισοσκελές με κορυφή το

.

Αν

προφανώς $\boxed{SC - SA = SD - SA = AD = d}\,\,(1)$

Επίσης : $S{C^2} = SA \cdot SB \Leftrightarrow {(x + d)^2} = x(x + d + t) \Leftrightarrow \boxed{x = \frac{{{d^2}}}{{t - d}}}\,\,(2)$

: Διχοτόμηση και διαφορά_new.png (14.7 KiB) Προβλήθηκε 993 φορές

Κατασκευή

Το

προσδιορίζεται από το SA = x

που κατασκευάζεται ως τέταρτη ανάλογος των ευθυγράμμων τμημάτων : $t - d,\,\,d\,\,\kappa \alpha \iota \,\,d\,$

Μετά ο κύκλος διαμέτρου

τέμνει στο

την εις το

κάθετη επί την

.

Το δεύτερο ερώτημα έχει απαντηθεί λόγω της (1)

#8

KARKAR έγραψε: Πέμ Δεκ 12, 2019 7:54 pm Διχοτόμηση και διαφορά.pngΤμήμα διαιρείται με σημείο σε δύο τμήματα , με .

α) Πάνω στην κάθετη στο επιλέξτε σημείο , ώστε η να διχοτομεί την $\widehat{ACB}$ .

β) Η κάθετη προς την στο , τέμνει την προέκταση της στο σημείο .

Υπολογίστε τη διαφορά : .

: Διχοτόμηση και διαφορά.png (15.37 KiB) Προβλήθηκε 984 φορές

α) Κατασκευή του σημείου Ο κύκλος (D, d)

τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου DB=t

στο

Η κάθετη από το

στην

τέμνει την

στο ζητούμενο σημείο

β) $\displaystyle S\widehat CD = C\widehat DE = C\widehat DS \Leftrightarrow SC = SD \Leftrightarrow$ $\boxed{SC-SA=d}$

KARKAR · #9

Σας ευχαριστώ όλους για τις λύσεις και τα σχόλια , επιτρέψτε μου όμως

να χαρώ λίγο περισσότερο την τελευταία λύση του Γιώργου

Γιώργος Μήτσιος · #10

Χαιρετώ και πάλι. Για την ποικιλία μια ακόμη κατασκευή

: Διχοτόμηση..ΙΙ.PNG (6.68 KiB) Προβλήθηκε 965 φορές

Έστω ευθεία $\left ( \varepsilon \right )\perp AB$ στο

. Θεωρούμε τα $H,C \in\left ( \varepsilon \right )$ ώστε να είναι HD=t

και $\widehat{ABC}=\widehat{AHD}$ .

Να εξεταστεί αν αληθεύει ο ισχυρισμός: Η

είναι η διχοτόμος της $\widehat{ACB}$ , δηλ. το ζητούμενο .
Φιλικά Γιώργος.

#11

Οι κατασκευή του Γιώργου του Βισβίκη και η τελευταία του Γιώργου του Μήτσιου είναι πολύ ωραίες :

Διχοτόμηση και διαφορά

Διχοτόμηση και διαφορά

Re: Διχοτόμηση και διαφορά

Re: Διχοτόμηση και διαφορά

Re: Διχοτόμηση και διαφορά

Re: Διχοτόμηση και διαφορά

Re: Διχοτόμηση και διαφορά

Re: Διχοτόμηση και διαφορά

Re: Διχοτόμηση και διαφορά

Re: Διχοτόμηση και διαφορά

Re: Διχοτόμηση και διαφορά

Re: Διχοτόμηση και διαφορά

Μέλη σε σύνδεση