Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#101

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Δεκ 27, 2019 11:26 pm Άσκηση 33

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\displaystyle \int_0^{\pi /2} (\sin ^2 (\sin x) + \cos ^2 (\cos x) )\,dx}$

(Αρκετά απλή. Την βάζω εδώ μόνο και μόνο επειδή με πρώτη ματιά τρομάζει.)

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\frac{{1 - \cos (2\sin x) + 1 + \cos (2\cos x)}}{2}dx} \right)} = \frac{\pi }{2} + \frac{1}{2}\left( {\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos (2\cos x)dx - } \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos (2\sin x)dx} } \right)$

Χρησιμοποιώντας διαδοχικά τους μετασχηματισμούς $\displaystyle \cos x = u,\sin x = t$ έχω:

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos (2\cos x)dx = \int_1^0 {\frac{{\cos 2u}}{{ - \sqrt {1 - {u^2}} }}} } du = \int_0^1 {\frac{{\cos 2t}}{{\sqrt {1 - {t^2}} }}} dt = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos (2\sin x)dx}$

Άρα, $\displaystyle{\displaystyle \int_0^{\pi /2} (\sin ^2 (\sin x) + \cos ^2 (\cos x) )\,dx}=\dfrac{\pi}{2}$

harrisp · #102

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Δεκ 27, 2019 11:26 pm Άσκηση 33

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\displaystyle \int_0^{\pi /2} (\sin ^2 (\sin x) + \cos ^2 (\cos x) )\,dx}$

(Αρκετά απλή. Την βάζω εδώ μόνο και μόνο επειδή με πρώτη ματιά τρομάζει.)

Διαφορετικά με αλλαγή μεταβλητής $u=\dfrac {\pi}{2}-x$ το ολοκλήρωμα γίνεται:

$\displaystyle{\displaystyle I=\int_0^{\pi /2} (\sin ^2 (\cos x) + \cos ^2 (\sin x)) \,dx}$

Άρα $2I=\displaystyle{\displaystyle\int_0^{\pi /2} (\sin ^2 (\sin x) + \cos ^2 (\cos x) )\,dx}+\displaystyle{\displaystyle \int_0^{\pi /2} (\sin ^2 (\cos x) + \cos ^2 (\sin x) )\,dx}=\displaystyle{\displaystyle \int_0^{\pi /2} 2\,dx}=\pi$

Άρα $I=\pi /2$

#103

KARKAR έγραψε: Σάβ Δεκ 28, 2019 8:19 am Άσκηση 34
Βρείτε τον μικρότερο θετικό ακέραιο , για τον οποίον : $\displaystyle\int_{0}^{k}\frac{\sqrt{x}}{e^{\sqrt{x}}}dx>3$

Με τον μετασχηματισμό $\displaystyle x = {u^2}$ και με διαδοχικές παραγοντικές ολοκληρώσεις καταλήγω στο

$\displaystyle \int_0^k {\frac{{\sqrt x }}{{{e^{\sqrt x }}}}} dx = \left[ { - 2{u^2}{e^{ - u}} - 4u{e^{ - u}} - 4{e^{ - u}}} \right]_0^{\sqrt k } = 4 - \frac{{2k + 4\sqrt k + 4}}{{{e^{\sqrt k }}}} > 3 \Leftrightarrow$

$\displaystyle 2k + 4\sqrt k + 4 < {e^{\sqrt k }},$ όπου με τη βοήθεια λογισμικού βρίσκω k>15,3696,

άρα η απάντηση είναι $\boxed{k=16}$

Tolaso J Kos · #104

Άσκηση 35

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_1^2 \frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x^2+1}}}$
Αντιμετωπίζεται εύκολα χωρίς τριγωνομετρικά!

#105

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Δεκ 28, 2019 1:05 pm Άσκηση 35

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_1^2 \frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x^2+1}}}$
Αντιμετωπίζεται εύκολα χωρίς τριγωνομετρικά!

Υπολογίζω πρώτα το αόριστο ολοκλήρωμα με $\displaystyle u = \sqrt {{x^2} + 1} \Rightarrow udu = xdx$

$\displaystyle \int {\frac{{dx}}{{x\sqrt {{x^2} + 1} }}} = \int {\frac{{udu}}{{{x^2}u}}} = \int {\frac{{du}}{{{u^2} - 1}}} = \frac{1}{2}\left( {\int {\frac{{du}}{{u - 1}} - \int {\frac{{du}}{{u + 1}}} } } \right) = \frac{1}{2}\left( {\ln \frac{{|u - 1|}}{{u + 1}}} \right) + c$

Και τελικά μετά τις πράξεις, $\boxed{J = \frac{1}{2}\ln \frac{{(3 - \sqrt 5 )(3 + 2\sqrt 2 )}}{2}}$

KARKAR · #106

Άσκηση 36

Υπολογίστε το : $\displaystyle \int \left (\frac{x}{xcosx-sinx} \right )^2dx$

#107

KARKAR έγραψε: Σάβ Δεκ 28, 2019 3:14 pm Άσκηση 36

Υπολογίστε το : $\displaystyle \int \left (\frac{x}{xcosx-sinx} \right )^2dx$

Έστω $\displaystyle g(x) = x\cos x - \sin x \Rightarrow {\left( {\frac{1}{{g(x)}}} \right)^\prime } = \frac{{x\sin x}}{{{{(x\cos x - \sin x)}^2}}}$

$\displaystyle \int {\frac{{{x^2}}}{{{{(x\cos x - \sin x)}^2}}}} dx = \int {\frac{x}{{\sin x}}} {\left( {\frac{1}{{g(x)}}} \right)^\prime }dx = \frac{x}{{\sin x(x\cos x - \sin x)}} - {\int {\left( {\frac{x}{{\sin x}}} \right)} ^\prime }\frac{1}{{g(x)}}dx =$

$\displaystyle \frac{x}{{\sin x(x\cos x - \sin x)}} + \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx = \frac{x}{{\sin x(x\cos x - \sin x)}} - \frac{{\cos x}}{{\sin x}} + c$ και τελικά:

$\boxed{\int {\frac{{{x^2}}}{{{{(x\cos x - \sin x)}^2}}}} dx = \frac{{x\sin x + \cos x}}{{x\cos x - \sin x}} + c}$

#108

Άσκηση 37

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{ \int \sqrt { \frac{e^x-1}{e^x+1}}}\,dx$

(Μπορείτε να θεωρήσετε γνωστό το $\int \dfrac{1}{\sqrt {1-t^2}}\,dt = \arcsin t+c$ του οποίου θα χρειαστείτε μία παραλλαγή).

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #109

george visvikis έγραψε: Σάβ Δεκ 28, 2019 1:04 pm
KARKAR έγραψε: Σάβ Δεκ 28, 2019 8:19 am Άσκηση 34
Βρείτε τον μικρότερο θετικό ακέραιο , για τον οποίον : $\displaystyle\int_{0}^{k}\frac{\sqrt{x}}{e^{\sqrt{x}}}dx>3$
Με τον μετασχηματισμό $\displaystyle x = {u^2}$ και με διαδοχικές παραγοντικές ολοκληρώσεις καταλήγω στο

$\displaystyle \int_0^k {\frac{{\sqrt x }}{{{e^{\sqrt x }}}}} dx = \left[ { - 2{u^2}{e^{ - u}} - 4u{e^{ - u}} - 4{e^{ - u}}} \right]_0^{\sqrt k } = 4 - \frac{{2k + 4\sqrt k + 4}}{{{e^{\sqrt k }}}} > 3 \Leftrightarrow$

$\displaystyle 2k + 4\sqrt k + 4 < {e^{\sqrt k }},$ όπου με τη βοήθεια λογισμικού βρίσκω άρα η απάντηση είναι $\boxed{k=16}$

Δεν καταλαβαίνω τι θα πει με Λογισμικό.
Με λογισμικό πολλά από τα θέματα στο

είναι άνευ σημασίας.
Και σε κάθε περίπτωση το Λογισμικό είναι καθαρά υποκειμενικό.

Ο τερματισμός από ότι βλέπω είναι γενικός.

Δεν έχω κανένα πρόβλημα με τα Λογισμικά.
Ισα ίσα αυτά είναι το μέλλον.
Αλλά ότι γράφεται θα πρέπει θα πρέπει να έχει απάντηση χωρίς Λογισμικό.
Ασχετα ότι κάποιοι θα ''κλέβουν'' με τα Λογισμικά.

#110

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Κυρ Δεκ 29, 2019 1:34 am
george visvikis έγραψε: Σάβ Δεκ 28, 2019 1:04 pm
KARKAR έγραψε: Σάβ Δεκ 28, 2019 8:19 am Άσκηση 34
Βρείτε τον μικρότερο θετικό ακέραιο , για τον οποίον : $\displaystyle\int_{0}^{k}\frac{\sqrt{x}}{e^{\sqrt{x}}}dx>3$
Με τον μετασχηματισμό $\displaystyle x = {u^2}$ και με διαδοχικές παραγοντικές ολοκληρώσεις καταλήγω στο

$\displaystyle \int_0^k {\frac{{\sqrt x }}{{{e^{\sqrt x }}}}} dx = \left[ { - 2{u^2}{e^{ - u}} - 4u{e^{ - u}} - 4{e^{ - u}}} \right]_0^{\sqrt k } = 4 - \frac{{2k + 4\sqrt k + 4}}{{{e^{\sqrt k }}}} > 3 \Leftrightarrow$

$\displaystyle 2k + 4\sqrt k + 4 < {e^{\sqrt k }},$ όπου με τη βοήθεια λογισμικού βρίσκω άρα η απάντηση είναι $\boxed{k=16}$
Δεν καταλαβαίνω τι θα πει με Λογισμικό.
Με λογισμικό πολλά από τα θέματα στο
είναι άνευ σημασίας.
Και σε κάθε περίπτωση το Λογισμικό είναι καθαρά υποκειμενικό.

Ο τερματισμός από ότι βλέπω είναι γενικός.

Δεν έχω κανένα πρόβλημα με τα Λογισμικά.
Ισα ίσα αυτά είναι το μέλλον.
Αλλά ότι γράφεται θα πρέπει θα πρέπει να έχει απάντηση χωρίς Λογισμικό.
Ασχετα ότι κάποιοι θα ''κλέβουν'' με τα Λογισμικά.

Θα ήθελα να δω μια λύση της ανίσωσης $\displaystyle 2k + 4\sqrt k + 4 < {e^{\sqrt k }},$ χωρίς λογισμικό.

Tolaso J Kos · #111

Άσκηση 38

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_0^{\sqrt{3}} \sqrt{t^4+ t^2} \, \mathrm{d}t}$

panagiotis iliopoulos · #112

Γίνεται $J=\int_{0}^{\sqrt{3}}x\sqrt{x^2+1}dx$ αφού $x\geq 0$ . Οπότε θέτοντας $\sqrt{x^2+1}=y\geq 0$ έχουμε $J=\int_{1}^{2}y^{2}dy=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$ .

Απλώς από βιασύνη αντί για

έβαλα

.

#113

Άσκηση 39

Έστω $f:[0,1]\longrightarrow \mathbb R$ συνάρτηση που για κάθε $x\in [0,1]$ ικανοποιεί $f(x^2)+\sqrt x f(x^2\sqrt x) = e^x$ .

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{ \int _0^1 f(x) \,dx$ .

(Άλλαξα ύφος άσκησης αν και δεν έχω τελειώσει με τα διάφορα ολοκλητώματα που έχω σκοπό να θέσω. Κάνω προσωρινή ανάπαυλα χάριν ποικιλίας.)

(Υπόψη η

μένει αναπάντητη. )

#114

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Δεκ 28, 2019 10:43 pm Άσκηση 37

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{ \int \sqrt { \frac{e^x-1}{e^x+1}}}\,dx$

(Μπορείτε να θεωρήσετε γνωστό το $\int \dfrac{1}{\sqrt {1-t^2}}\,dt = \arcsin t+c$ του οποίου θα χρειαστείτε μία παραλλαγή).

Θέτω $\displaystyle u = \sqrt {\frac{{{e^x} + 1}}{{{e^x} - 1}}} \Rightarrow {e^x} = \frac{{{u^2} + 1}}{{{u^2} - 1}}$ και $\displaystyle dx = - \frac{{4u}}{{({u^2} - 1)({u^2} + 1)}},$ άρα το ολοκλήρωμα γράφεται:

$\displaystyle - 4\int {\frac{{du}}{{({u^2} - 1)({u^2} + 1)}}} = - 4\int {\left( {\frac{1}{{2({u^2} - 1)}} - \frac{1}{{2({u^2} + 1)}}} \right)} du = 2arc\tan (u) - 2\int {\frac{{du}}{{{u^2} - 1}}} =$

$\displaystyle 2\arctan (u) - \int {\left( {\frac{1}{{u - 1}} - \frac{1}{{u + 1}}} \right)} du = \ln \frac{{u + 1}}{{u - 1}} + 2\arctan (u) + c$

Τα υπόλοιπα είναι αντικατάσταση με τελικό αποτέλεσμα $\boxed{\ln \left( {{e^x} + \sqrt {{e^{2x}} - 1} } \right) + 2\arctan \sqrt {\frac{{{e^x} + 1}}{{{e^x} - 1}}} + c}$

#115

george visvikis έγραψε: Κυρ Δεκ 29, 2019 5:33 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Δεκ 28, 2019 10:43 pm Άσκηση 37

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{ \int \sqrt { \frac{e^x-1}{e^x+1}}}\,dx$

(Μπορείτε να θεωρήσετε γνωστό το $\int \dfrac{1}{\sqrt {1-t^2}}\,dt = \arcsin t+c$ του οποίου θα χρειαστείτε μία παραλλαγή).
Θέτω $\displaystyle u = \sqrt {\frac{{{e^x} + 1}}{{{e^x} - 1}}} \Rightarrow {e^x} = \frac{{{u^2} + 1}}{{{u^2} - 1}}$ και $\displaystyle dx = - \frac{{4u}}{{({u^2} - 1)({u^2} + 1)}},$ άρα το ολοκλήρωμα γράφεται:

$\displaystyle - 4\int {\frac{{du}}{{({u^2} - 1)({u^2} + 1)}}} = - 4\int {\left( {\frac{1}{{2({u^2} - 1)}} - \frac{1}{{2({u^2} + 1)}}} \right)} du = 2arc\tan (u) - 2\int {\frac{{du}}{{{u^2} - 1}}} =$

$\displaystyle 2\arctan (u) - \int {\left( {\frac{1}{{u - 1}} - \frac{1}{{u + 1}}} \right)} du = \ln \frac{{u + 1}}{{u - 1}} + 2\arctan (u) + c$

Τα υπόλοιπα είναι αντικατάσταση με τελικό αποτέλεσμα $\boxed{\ln \left( {{e^x} + \sqrt {{e^{2x}} - 1} } \right) + \arctan \sqrt {\frac{{{e^x} + 1}}{{{e^x} - 1}}} + c}$

Λίγο αλλιώς. Γράφω λύση γιατί οδηγεί σε $\arcsin$ αντί $\arctan$ της λύσης του Γιώργου.

Θέτουμε e^x=t

οπότε το ολοκλήρωμα γίνεται

$\displaystyle{ \int \sqrt { \dfrac{t-1}{t+1}}\cdot \dfrac{1}{t} \,dt = \int \dfrac{t-1}{t\sqrt {t^2-1} } \,dt = \int \dfrac{1}{\sqrt {t^2-1} } \,dt- \int \dfrac{1}{t\sqrt {t^2-1} } \,dt=$

$\displaystyle{= \ln (t+\sqrt {t^2-1}) \,dt- \int \dfrac{1/t^2}{\sqrt {1-1/t^2} } \,dt = \ln (t+\sqrt {t^2-1}) + \int \dfrac{1}{\sqrt {1-u^2}}\,du =$

$= \ln (t+\sqrt {t^2-1}) - \arcsin u +c = \ln (t+\sqrt {t^2-1}) + \arcsin \dfrac {1}{t} +c =$

$= \ln (e^x+\sqrt {e^{2x}-1}) + \arcsin (e^{-x}) +c$

#116

Άσκηση 40

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\displaystyle{ \int \dfrac{x^{1514}}{x^{2020}+1}}}\,dx}$ για x>0

.

(Απλή αν δεν έχεις αριθμοφοβία με τα "μεγάλα" νούμερα όπως το 2020

. Προσοχή όμως, οδηγεί σε arctan

, αλλά σε μορφή που το είδαμε εδώ πολλές φορές).

#117

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Δεκ 29, 2019 3:25 pm Άσκηση 39

Έστω $f:[0,1]\longrightarrow \mathbb R$ συνάρτηση που για κάθε $x\in [0,1]$ ικανοποιεί $f(x^2)+\sqrt x f(x^2\sqrt x) = e^x$ .

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{ \int _0^1 f(x) \,dx$ .

.
Υπόδειξη: Πολλαπλασιάστε την δοθείσα επί

και ολοκληρώστε.

Σταμ. Γλάρος · #118

Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Ιαν 02, 2020 1:14 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Δεκ 29, 2019 3:25 pm Άσκηση 39

Έστω $f:[0,1]\longrightarrow \mathbb R$ συνάρτηση που για κάθε $x\in [0,1]$ ικανοποιεί $f(x^2)+\sqrt x f(x^2\sqrt x) = e^x$ .

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{ \int _0^1 f(x) \,dx$ .
.
Υπόδειξη: Πολλαπλασιάστε την δοθείσα επί και ολοκληρώστε.

Καλημέρα και χρόνια πολλά

Μετά την υπόδειξη του κ. Μιχάλη ...
Έχουμε: $f(x^2)+\sqrt x f(x^2\sqrt x) = e^x$ $\Leftrightarrow$ $xf(x^2)+x\sqrt x f(x^2\sqrt x) =x e^x$ .
Θεωρώ $I_1=\displaystyle{ \int _0^1 xf(x^2) \,dx$ . Θέτω x^2=t

.
Άρα $I_1=\displaystyle{\frac{1}{2} \int _0^1 f(t) \,dx$ .
και θεωρώ $I_2=\displaystyle{ \int _0^1 x \sqrt x f(x^2\sqrt x) \,dx$ . Θέτω $x^2 \sqrt x=t$ .
Άρα $I_2=\displaystyle{\frac{2}{5} \int _0^1 f(x) \,dx$ .
Επίσης, εύκολα με παραγοντική ολοκλήρωση, βρίσκουμε $\displaystyle{\int _0^1 xe^x \,dx= 1$ .
Τελικά προκύπτει : I_1 +I_2 =1

από όπου έχουμε $\displaystyle{ \int _0^1 f(x) \,dx= \frac{10}{9}$ .
Πολύ ωραία άσκηση.
Καλή χρονιά !
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

KARKAR · #119

Άσκηση 41

i) Δείξτε ότι : $ln\dfrac{e+1}{2}>3-e$

ii) Δείξτε ότι υπάρχει τιμή του θετικού

, ώστε : $\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{e^{2x}-2a}{e^x+a}dx=0$

#120

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιαν 02, 2020 8:31 pm Άσκηση 41

i) Δείξτε ότι : $ln\dfrac{e+1}{2}>3-e$

ii) Δείξτε ότι υπάρχει τιμή του θετικού , ώστε : $\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{e^{2x}-2a}{e^x+a}dx=0$

i) $\ln\dfrac{e+1}{2}> \ln\dfrac{5/2+1}{2} = \ln\dfrac{7}{4} = \dfrac{1}{2}\ln\dfrac{49}{16} > \dfrac{1}{2}\ln 3 > \dfrac{1}{2}= 3-2,5 > 3-e$ .

ii) Για a=1/2

είναι $\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{e^{2x}-2a}{e^x+a}dx> \displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{e^0-2a}{e^1+a}dχ=0$ και για

a=e^2/2

είναι $\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{e^{2x}-2a}{e^x+a}dx< \displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{e^2-2a}{e^0+a}dχ=0$

Άρα κάπου στο ενδιάμεσο μηδενίζεται η παράσταση. Χρησιμοποιώ εδώ το γεγονός ότι η παράσταση είναι συνεχής ως προς

(απόδειξη απλή αλλά εκτός ύλης), πλην όμως το ολοκλήρωμα υπολογίζεται ούτως ή άλλως στοιχειωδώς, οπότε δεν έχουμε πρόβλημα. Το αόριστο ισούται $\displaystyle{(2-a)\ln (e^x+a) +e^x-2x}$ .

Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση