Σχέση πινάκων

ChrP · #1

Καλησπέρα στο mathematica ! A,B

ειναι $m\times n$
α) Αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας $P \in \mathbb{F}^{m\times m}$ τέτοιος ώστε B=PA

δείξε ότι για $x \in \mathbb{F}^{n\times1}$ ισχύει $Ax=0 \iff Bx=0$
b) Αν για $x \in \mathbb{F}^{n\times 1}$ ισχύει η ισοδυναμία $Ax=0 \iff Bx=0$ δείξε οτι υπάρχει αντιστρέψιμος πινακας $P \in \mathbb{F}^{m\times m}$ τέτοιος ώστε B=PA

#2

ChrP έγραψε: Παρ Δεκ 20, 2019 1:44 am Καλησπέρα στο mathematica !
α) Αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας $P \in \mathbb{F}^{m\times m}$ τέτοιος ώστε δείξε ότι για $x \in \mathbb{F}^{n\times1}$ ισχύει $Ax=0 \iff Bx=0$
b) Αν για $x \in \mathbb{F}^{n\times 1}$ ισχύει η ισοδυναμία $Ax=0 \iff Bx=0$ δείξε οτι υπάρχει αντιστρέψιμος πινακας $P \in \mathbb{F}^{m\times m}$ τέτοιος ώστε

Κάπου έχεις μπλέξει τα

και

. Τα θεωρώ όλα

.

Επειδή η άσκηση είναι πολύ απλή και επειδή καλό είναι να την λύσεις μός σου, θα δώσω μόνο υπόδειξη:

Το β) λέει ότι οι A,B

έχουν τον ίδιο πυρήνα. Ποιο θεώρημα σου θυμίζει η λέξη πυρήνας; Επίσης, αν δύο διανυσματικοι υπόχωροι έχουν την ίδια διάσταση, μπορείς να βρεις αντιστρέψιμο από τον ένα στον άλλο;

ChrP · #3

Καλημέρα! Μάλλον υπάρχει κάποιο κενό στην θεωρία μου... Θα κάνω μια αναζήτηση στη θεωρία και θα επανέλθω!

ChrP · #4

Αν και καθυστεριμένα : (και με μια διόρθωση για τους πίνακες A,B

)
$L_A,L_B: \mathbb{F} n\times 1 \rightarrow \mathbb{F} m\times 1$ με L_A(x)=AX ,L_B(X)=BX

παίρνοντας μια βάση του των Ker έστω $\{v_1,\cdots ,v_k\}$ και την επεκτείνουμε σε μια του $\mathbb{F} n\times 1$
$\{v_1,\cdots ,v_k,v_{k+1},\cots ,v_n\}$ .Γνωρίζουμε ότι L_A(v_i)

γραμμικά ανεξάρτητα για $k+1 \leq i\leq n$
Διαλέγω τυχαία αντιστρέψιμη γραμμική απεικόνιση $T: \mathbb{F} m\times 1 \rightarrow \mathbb{F} m\times 1 : T(L_A(X))=L_B(X)$ $\forall x \in \{v_{k+1},\cdots v_n\}$ Δείχνω οτι ισχύει $\forall x \in \mathbb{F} n\times 1$
Έστω

να ειναι ο $m\times m$ αντιστρέψιμος πίνακας για τον οποίο T(Y)=PY

$\forall Y \in \mathbb {F} n\times 1$
Άρα PA=B

με τις ζητούμενες ιδιότητες

#5

ChrP έγραψε: Δευ Ιαν 06, 2020 11:14 pm $L_A,L_B: \mathbb{F} n\times 1 \rightarrow \mathbb{F} m\times 1$ με

Για ξαναδές το παραπάνω.

ChrP έγραψε: Δευ Ιαν 06, 2020 11:14 pm
Διαλέγω τυχαία αντιστρέψιμη γραμμική απεικόνιση $T: \mathbb{F} n\times 1 \rightarrow \mathbb{F} m\times 1 : T(L_A(X))=L_B(X)$ $\forall x \in \{v_{k+1},\cdots v_n\}$ Δείχνω οτι ισχύει $\forall x \in \mathbb{F} n\times 1$

Είσαι σίγουρος ότι γίνεται αυτό; Π.χ. αν n=1,m=2

μπορείς να βρεις αντιστρέψιμο από έναν μονοδιάστατο σε έναν διδιάστατο χώρο; Μήπως πρέπει να διορθώσεις κάτι;

ChrP · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Ιαν 07, 2020 12:02 am
ChrP έγραψε: Δευ Ιαν 06, 2020 11:14 pm $L_A,L_B: \mathbb{F} n\times 1 \rightarrow \mathbb{F} m\times 1$ με
Για ξαναδές το παραπάνω.

ChrP έγραψε: Δευ Ιαν 06, 2020 11:14 pm
Διαλέγω τυχαία αντιστρέψιμη γραμμική απεικόνιση $T: \mathbb{F} n\times 1 \rightarrow \mathbb{F} m\times 1 : T(L_A(X))=L_B(X)$ $\forall x \in \{v_{k+1},\cdots v_n\}$ Δείχνω οτι ισχύει $\forall x \in \mathbb{F} n\times 1$
Είσαι σίγουρος ότι γίνεται αυτό; Π.χ. αν μπορείς να βρεις αντιστρέψιμο από έναν μονοδιάστατο σε έναν διδιάστατο χώρο; Μήπως πρέπει να διορθώσεις κάτι;

Έχετε δίκιο το διόρθωσα !σε $T: \mathbb{F} m\times 1 \rightarrow \mathbb{F} m\times 1$

Σχέση πινάκων

Σχέση πινάκων

Re: Σχέση πινάκων

Re: Σχέση πινάκων

Re: Σχέση πινάκων

Re: Σχέση πινάκων

Re: Σχέση πινάκων

Μέλη σε σύνδεση