Εύρεση τύπου

Aladdin · #1

Αν για τη συνάρτηση $\displaystyle f$ ισχύουν $\displaystyle 8f'(x) = f(x)\left( {{f^2}(x) - 4} \right),x \in R$ και $\displaystyle f(0) = \sqrt 2$ να δείξετε ότι $\displaystyle f(x) = \frac{2}{{\sqrt {{e^x} + 1} }}$

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Aladdin έγραψε: Παρ Ιαν 10, 2020 11:34 pm Αν για τη συνάρτηση $\displaystyle f$ ισχύουν $\displaystyle 8f'(x) = f(x)\left( {{f^2}(x) - 4} \right),x \in R$ και $\displaystyle f(0) = 1$ να δείξετε ότι $\displaystyle f(x) = \frac{2}{{\sqrt {{e^x} + 1} }}$

Είμαστε σίγουροι ότι ανήκει σε αυτό τον φάκελο;

Επιπλέον δεν επαληθεύει την αρχική συνθήκη.

Aladdin · #3

Διόρθωσα την αρχική τιμή.

#4

Aladdin έγραψε: Παρ Ιαν 10, 2020 11:34 pm Αν για τη συνάρτηση $\displaystyle f$ ισχύουν $\displaystyle 8f'(x) = f(x)\left( {{f^2}(x) - 4} \right),x \in R$ και $\displaystyle f(0) = \sqrt 2$ να δείξετε ότι $\displaystyle f(x) = \frac{2}{{\sqrt {{e^x} + 1} }}$

...μια απάντηση με ένα επιπλέον δεδομένο...ο δημιουργός έχει το λόγο...

Με την προϋπόθεση $f(x)\ne 0,\,\,\,x\in R$ θεωρώντας την συνάρτηση $g(x)=\frac{4}{{{f}^{2}}(x)}$ είναι

${g}'(x)=-\frac{8f(x){f}'(x)}{{{f}^{4}}(x)}$ και από την αρχική έχουμε ισοδύναμα

$8{f}'(x)f(x)={{f}^{2}}(x)\left( {{f}^{2}}(x)-4 \right)\Leftrightarrow \frac{8{f}'(x)f(x)}{{{f}^{4}}(x)}=1-\frac{4}{{{f}^{2}}(x)}$

οπότε και

$-{g}'(x)=1-g(x)\Leftrightarrow {g}'(x)-g(x)=-1\Leftrightarrow {{e}^{-x}}{g}'(x)-{{e}^{-x}}g(x)=-{{e}^{-x}}\Leftrightarrow$

$({{e}^{-x}}g(x){)}'=({{e}^{-x}}{)}'\Leftrightarrow {{e}^{-x}}g(x)={{e}^{-x}}+c\Leftrightarrow g(x)=1+c{{e}^{x}}$ και επειδή

$g(0)=\frac{4}{{{f}^{2}}(0)}=2$ προκύπτει ότι c=1

επομένως $g(x)=1+{{e}^{x}}$ άρα $\frac{4}{{{f}^{2}}(x)}=1+{{e}^{x}}$

και εύκολα…. $\displaystyle f(x) = \frac{2}{{\sqrt {{e^x} + 1} }}$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Λάμπρος Κατσάπας · #5

Έχετε λύση εντός φακέλου; Δεν μου απαντήσατε...

Τοπικά, κοντά στο

, η συνάρτηση είναι αυτή:

$4\cdot 2{f}'(x)=f(x)\left ( f^2(x)-4 \right )\Rightarrow$

$4\cdot 2f(x){f}'(x)=f^2(x)\left ( f^2(x)-4 \right )\Rightarrow$

$4\left ( f^2(x) \right )'=f^2(x)\left ( f^2(x)-4 \right )\Rightarrow$

$4g'(x)=g(x)\left ( g(x)-4 \right )\Rightarrow$

$4\dfrac{{g}'(x)}{g(x)\left ( g(x)-4 \right )}=1\Rightarrow$

$4\dfrac{{g}'(x)}{g(x)\left ( 4-g(x) \right )}=-1\Rightarrow$

$-\left ( \ln \left ( 4-g(x) \right )-\ln g(x) \right )'=-1$

$\ln \dfrac{4-g(x)}{g(x)}=x+c$

$\dfrac{4-g(x)}{g(x)}=e^{x+c} \Rightarrow$

$\left ( 1+e^{x+c} \right )g(x)=4\Rightarrow$

$g(x)=\dfrac{4}{1+e^{x+c}}$ .

Για x=0

παίρνουμε

και επομένως $g(x)=\dfrac{4}{1+e^x}$ .

Οπότε λαμβάνοντας υπόψιν την αρχική συνθήκη για μια ακόμα φορά και τη συνέχεια καταλήγουμε στην

$f(x)=\dfrac{2}{\sqrt{1+e^x}}.$

panagiotis iliopoulos · #6

Βέβαια μπορεί να λυθεί και με τη μέθοδο του αορίστου ολοκληρώματος , κάτι το οποίο είναι εκτός σχολικής ύλης. Για παράδειγμα στη δεδομένη

περίπτωση έχουμε θέτοντας y=f(x)

:

$\int \frac{dy}{y(y-2)(y+2)}=\int \frac{1}{8}dx$ .

Μετά όμως πρέπει να πάρουμε περιπτώσεις για τα απόλυτα μέσα στο λογάριθμο και βρίσκουμε δύο συναρτήσεις εκ των οποίων η μία απορρίπτεται Έτσι

προκύπτει ο ζητούμενος τύπος.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

KAKABASBASILEIOS έγραψε: Σάβ Ιαν 11, 2020 1:58 am
Aladdin έγραψε: Παρ Ιαν 10, 2020 11:34 pm Αν για τη συνάρτηση $\displaystyle f$ ισχύουν $\displaystyle 8f'(x) = f(x)\left( {{f^2}(x) - 4} \right),x \in R$ και $\displaystyle f(0) = \sqrt 2$ να δείξετε ότι $\displaystyle f(x) = \frac{2}{{\sqrt {{e^x} + 1} }}$

...μια απάντηση με ένα επιπλέον δεδομένο...ο δημιουργός έχει το λόγο...

Με την προϋπόθεση $f(x)\ne 0,\,\,\,x\in R$ θεωρώντας την συνάρτηση $g(x)=\frac{4}{{{f}^{2}}(x)}$ είναι

${g}'(x)=-\frac{8f(x){f}'(x)}{{{f}^{4}}(x)}$ και από την αρχική έχουμε ισοδύναμα

$8{f}'(x)f(x)={{f}^{2}}(x)\left( {{f}^{2}}(x)-4 \right)\Leftrightarrow \frac{8{f}'(x)f(x)}{{{f}^{4}}(x)}=1-\frac{4}{{{f}^{2}}(x)}$

οπότε και

$-{g}'(x)=1-g(x)\Leftrightarrow {g}'(x)-g(x)=-1\Leftrightarrow {{e}^{-x}}{g}'(x)-{{e}^{-x}}g(x)=-{{e}^{-x}}\Leftrightarrow$

$({{e}^{-x}}g(x){)}'=({{e}^{-x}}{)}'\Leftrightarrow {{e}^{-x}}g(x)={{e}^{-x}}+c\Leftrightarrow g(x)=1+c{{e}^{x}}$ και επειδή

$g(0)=\frac{4}{{{f}^{2}}(0)}=2$ προκύπτει ότι επομένως $g(x)=1+{{e}^{x}}$ άρα $\frac{4}{{{f}^{2}}(x)}=1+{{e}^{x}}$

και εύκολα…. $\displaystyle f(x) = \frac{2}{{\sqrt {{e^x} + 1} }}$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

KAKABASBASILEIOS έγραψε: Σάβ Ιαν 11, 2020 1:58 am Με την προϋπόθεση $f(x)\ne 0,\,\,\,x\in R$

Δεν είναι απαραίτητο να δοθεί.
Παίρνοντας συνάρτηση ώστε

$\displaystyle g'(x)=f^{2}(x)-4$

εχουμε διαδοχικά

$\displaystyle f'(x)-f(x)g'(x)=0\Rightarrow e^{-g(x)}f'(x)-e^{-g(x)}f(x)g'(x)=0$
$\Rightarrow (e^{-g(x)}f(x))'=0\Rightarrow f(x)=ce^{g(x)}$

Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να δείξουμε ότι

$f(x)\neq 2,-2,x\in \mathbb{R}$

Aladdin · #8

Δεν είχα λύση στο φάκελο, και η εκφώνηση δεν έδινε περιορισμό.. Ευχαριστώ για τις λύσεις

Εύρεση τύπου

Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Μέλη σε σύνδεση