Μήκος τοξου

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Nikos127
Δημοσιεύσεις: 11
Εγγραφή: Τετ Αύγ 07, 2019 1:40 pm

Μήκος τοξου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nikos127 » Τετ Ιαν 08, 2020 9:38 pm

Να βρεθεί το μήκος του τόξου της f για x \in (0,1] αν f(x)=xsin(1/x)



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4175
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Μήκος τοξου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Ιαν 08, 2020 10:01 pm

Nikos127 έγραψε:
Τετ Ιαν 08, 2020 9:38 pm
Να βρεθεί το μήκος του τόξου της f για x \in (0,1] αν f(x)=xsin(1/x)

Σίγουρα υπολογίζεται το ολοκλήρωμα που προκύπτει στοιχειωδώς ;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2897
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μήκος τοξου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Ιαν 08, 2020 10:55 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Ιαν 08, 2020 10:01 pm
Nikos127 έγραψε:
Τετ Ιαν 08, 2020 9:38 pm
Να βρεθεί το μήκος του τόξου της f για x \in (0,1] αν f(x)=xsin(1/x)

Σίγουρα υπολογίζεται το ολοκλήρωμα που προκύπτει στοιχειωδώς ;
Τόλη η ερώτηση είναι λίγο παραπλανητική.
Λέει να βρεθεί.Οχι να υπολογιστεί.
Αρα .......


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1882
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Μήκος τοξου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Πέμ Ιαν 09, 2020 7:48 am

Nikos127 έγραψε:
Τετ Ιαν 08, 2020 9:38 pm
Να βρεθεί το μήκος του τόξου της f για x \in (0,1] αν f(x)=xsin(1/x)
Καλημέρα από τα Γρεβενά...
Ώρα 7 το πρωί και το θερμόμετρο στο μπαλκόνι μου δείχνει -10 βαθμούς!
Λίγο πιο έξω από την αστική περιοχή θα δείχνει σίγουρα -12 βαθμούς!


Για το μήκος της καμπύλης αυτής έκανα χρήση λογισμικού στο ακόλουθο σχήμα:
Μήκος τόξου 1.png
Μήκος τόξου 1.png (16.14 KiB) Προβλήθηκε 352 φορές
Για το μήκος χρησιμοποίησα τον τύπο:

\displaystyle{S_{OA}=\int_{0.01}^{1}ds=\int_{0.01}^{1}\sqrt{1+[f'(x)]^2]}dx \  \ (1) }

όπου:

\displaystyle{f'(x)=sin(\frac{1}{x})-\frac{1}{x}cos(\frac{1}{x})}

Τελικά ο τύπος (1) έδωσε ως αποτέλεσμα:

\displaystyle{S_{OA}=\int_{0.01}^{1}ds=3.3891}

με προσέγγιση τεσσάρων δεκαδικών ψηφίων και μάλιστα στο διάστημα \displaystyle{I=[0.01, 1]}

Στο συνημμένο δυναμικό αρχείο μπορείτε να δείτε περισσότερες λεπτομέρειες.

Μήκος τόξου 1.ggb
(16.29 KiB) Μεταφορτώθηκε 5 φορές

Κώστας Δόρτσιος


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11919
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μήκος τοξου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιαν 09, 2020 9:01 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Ιαν 08, 2020 10:55 pm
Τόλη η ερώτηση είναι λίγο παραπλανητική.
Λέει να βρεθεί.Οχι να υπολογιστεί.
Αρα .......
Αν και ο Σταύρος έδωσε τον τόνο ότι κάτι άλλο να περιμένεις, φαίνεται ότι δεν έγινε κατανοητός.

Επανέρχομαι λοιπόν.

Η παραπάνω συνάρτηση είναι το στάνταρ παράδειγμα καμπύλης που έχει άπειρο μήκος. Η σχετική θεωρία υπάρχει σε όλες
τις Αναλύσεις στο κεφάλαιο των συναρτήσεων φραγμένης κύμανσης. Η εν λόγω είναι παράδεγμα περίπτωσης μη
φραγμένης κύμανσης.

Δίνω υπόδειξη μόνο για να μας γράψει ο θεματοθέτης Nikos127 λύση, αν και μάλλον ματαιοπονώ γιατί σε άλλες περιπτώσεις (βλέπε εδώ) μας αγνόησε: Ρωτάει δηλαδή την λύση άσκησης που συνάντησε σε μαθήματα που παρακολουθεί αλλά που δεν κατάφερε να λύσει (μέχρι εδώ όλα καλά) αλλά μετά ... εξαφανίζεται.

Υπόδειξη για Nikos127: Δείξε ότι η ζιγκ-ζαγκ γραμμή με κόμβους στα σημεία (x_n, f(x_n)) όπου x_n=\frac {2}{n\pi} έχει μήκος μικρότερο ή ίσο της δοθείσας. Χρησιμοποίησε τώρα το γεγονός ότι η σειρά \sum \frac {1}{n}, αποκλίνει.


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1882
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Μήκος τοξου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Πέμ Ιαν 09, 2020 9:48 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Ιαν 09, 2020 9:01 am
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Ιαν 08, 2020 10:55 pm
Τόλη η ερώτηση είναι λίγο παραπλανητική.
Λέει να βρεθεί.Οχι να υπολογιστεί.
Αρα .......
Αν και ο Σταύρος έδωσε τον τόνο ότι κάτι άλλο να περιμένεις, φαίνεται ότι δεν έγινε κατανοητός.

Επανέρχομαι λοιπόν.

Η παραπάνω συνάρτηση είναι το στάνταρ παράδειγμα καμπύλης που έχει άπειρο μήκος.
...........................................................................................................
Μιχάλη έχεις δίκιο!
Εγώ στην προσπάθειά μου να μετρήσω ένα μέρος του μήκους της καμπύλης αυτής, χρησιμοποιώντας αρχικά με το λογισμικό του Geogebra,
συνάντησα δυσκολία που θα περιγράψω στη συνέχεια και που πιστεύω ότι οφείλεται σ' αυτό που αναφέρεις.

Στην αρχική μου ανάρτηση έβγαλα το μήκος της καμπύλης αυτής ανάμεσα από τις τιμές:

\displaystyle{x=0.01} έως και την τιμή \displaystyle{x=1} με αποτέλεσμα να προκύψει:

\displaystyle{S_{OA}=3.3891} με προσέγγιση τέσσερα δεκαδικά ψηφία.

Στην προσπάθεια να πλησιάσω την αφετηρία "πιο κοντά" στο μηδέν διέκρινα ότι δεν μπορούσα να πάρω αποτελέσματα από το λογισμικό αυτό.

Στη συνέχεια προσπάθησα με πιο ισχυρό λογισμικό, όπως είναι το Maple και κατάφερα τα παρακάτω αποτελέσματα
που φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα:
Μήκος τόξου 2.png
Μήκος τόξου 2.png (12.45 KiB) Προβλήθηκε 263 φορές
Από ό,τι φαίνεται έχω πλησιάσει κοντά στο μηδέν μέχρι το \displaystyle{x=0.0007} όπου προέκυψαν σαφώς μεγαλύτερες τιμές του μήκους
και αυτό μάλλον οφείλεται φαινομενικά ασήμαντες διακυμάνσεις κοντά στο μηδέν οι οποίες αυξάνουν αισθητά τα αποτελέσματα.

Προχωρώντας από περιέργεια να μετρήσω ξεκινώντας από πιο κοντινές τιμές του \displaystyle{x}, για παράδειγμα,

\displaystyle{x=0.0006, \  \x=0.0005, \  \ x=0.0001}

δεν έλαβα απάντηση και από το λογισμικό αυτό!

Τι περίεργες συμπεριφορές του απείρου μπορεί να παρατηρήσει κανείς!

Σε ένα διάστημα από το \displaystyle{0} μέχρι και το \displaystyle{0.0007} το μήκος της καμπύλης αυτής να είναι άπειρο!

Κώστας Δόρτσιος


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11919
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μήκος τοξου

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιαν 09, 2020 10:48 pm

Κώστα, ωραιότατα αυτά που γράφεις. Δείχνουν μεταξύ άλλων ότι τα λογισμικά (για τα οποία έχω άπειρη εκτίμηση) έχουν κάθε τόσο τους περιορισμούς τους, οπότε πρέπει να είμαστε προσεκτικοί όταν τα χρησιμοποιούμε.

Θυμάμαι ότι κάπου 10-12 χρόνια πριν, όταν τα λογισμικά ήταν καινούργια και είχε γίνει της μόδας η συζήτηση για αξιοποίησή τους στη έρευνα και στην διαδασκαλία μας, είχε οργανώσει το Βαρβάκειο μία σχετική ημερίδα. Ο εγκέφαλος από πίσω ήταν το μέλος μας, ο Ζήνων Λυγάτσικας (απολαύστε το site του εδώ).

Ήμουν εκεί ως ένας από τους ομιλητές. Το θέμα μου ήταν ακριβώς οι περιορισμοί των (κατά τα άλλα υπέροχων) λογισμικών. Συγκεκριμένα, είχα βρει μερικά ωραιότατα παραδείγματα όπου είτε το λογισμικό τα θαλασσώνει, είτε λέει μεν την σωστή απάντηση αλλά εμείς δεν την αποκωδικοποιούμε σωστά. Όπου τα έχω πει, ο κόσμος ενθουσιάζεται...

Δυστυχώς δεν μπορώ να τα γράψω εδώ γιατί η πληκτρολόγιση είναι επίπονη και διότι αυτό τον καιρό έχω απίστευτο φόρτο εργασίας και ευθύνη: Δουλεύω 16-ωρα κάθε μέρα (πέρα από τις συμβατικές μου υποχρεώσεις σε διδασκαλία κλπ) ετοιμάζοντας τον επόμενο διαγωνισμό Καγκουρό, που μου τραβά όλη την ενέργεια. Μπαίνω στο mathematica μόνο για ... ξεκούραση, εδώ και εκεί.

Στο θέμα μας.

Το μήκος της παραπάνω καμπύλης από το \dfrac {1}{N} έως το 1 συμπεριφέρεται ως (σταθερά επί) \log N. Οπότε η απόκλιση είναι αργή. Για παράδειγμα το N=10 000 έχει λογάριθμο 9,21. Αν το διπλασιάσουμε σε N=20 000, ο λογάριθμος γίνεται 9,9, δηλαδή μία αύξηση ούτε 0,8.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11919
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μήκος τοξου

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 11, 2020 6:15 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Ιαν 09, 2020 10:48 pm
Συγκεκριμένα, είχα βρει μερικά ωραιότατα παραδείγματα όπου είτε το λογισμικό τα θαλασσώνει, είτε λέει μεν την σωστή απάντηση αλλά εμείς δεν την αποκωδικοποιούμε σωστά.
Ας δούμε ένα παράδειγμα όπου το λογισμικό μας τα θαλασσώνει.

Ας υποθέσουμε ότι δουλεύουμε με ακρίβεια 6 δεκαδικών ψηφίων. Για παράδειγμα, αντί για \dfrac {1}{3} το λογισμικό μας γράφει 0,333333.

Έχουμε την αναδρομική σχέση x_1= \dfrac {1}{3} και για n\ge 1 είναι x_{n+1}= 10x_n-3.

α) Δείξτε (χωρίς λογισμικό) ότι η λύση της παραπάνω είναι η x_n= \dfrac {1}{3} για κάθε n.

β) Εργαστείτε τώρα (χειρονακτικά) με ακρίβεια 6 δεκαδικών ψηφίων. Τι θα βρείτε ως τιμές των, ας πούμε, x_5, \, x_{10}; Πόσο καλές τιμές είναι αυτές;

γ) Βρείτε το όριο \displaystyle{\lim _{n\to \infty} x_n} χωριστά, στην περίπτωση που δουλεύετε με ή χωρίς λογισμικό.

(Υπόψη, το γεγονός ότι δουλεύουμε με μόνο 6 δεκαδικά ψηφία, δεν αλλάζει την ουσία. Θα εμφανιστεί το ίδιο φαινόμενο
με όση -δεδομένη- ακρίβεια και αν δουλέψουμε. Π.χ. με 1000 δεκαδικά).


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1882
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Μήκος τοξου

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Σάβ Ιαν 11, 2020 10:21 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Ιαν 11, 2020 6:15 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Ιαν 09, 2020 10:48 pm
Συγκεκριμένα, είχα βρει μερικά ωραιότατα παραδείγματα όπου είτε το λογισμικό τα θαλασσώνει, είτε λέει μεν την σωστή απάντηση αλλά εμείς δεν την αποκωδικοποιούμε σωστά.
Ας δούμε ένα παράδειγμα όπου το λογισμικό μας τα θαλασσώνει.
Μιχάλη, με αφορμή τη σχέση των λογισμικών, που ακόμα στην χώρα μας, νομίζω ότι είναι "εκτός παιχνιδιού",
καθώς και με την ομορφιά που ανάδειξε η αρχική καμπύλη των ανωτέρω αναρτήσεων, φάνηκε ότι
η χρήση τους είναι μια σοβαρή ιστορία και η οποία προχωρά πολύ μακριά!


Συγκεκριμένα για την ακολουθία που αναφέρεις και η οποία έχει ως όριο τον αριθμό \displaystyle{\frac{1}{3}}
η προσπάθεια υπολογισμού των όρων της με συγκεκριμένο αριθμό δεκαδικών ψηφίων παρατηρούμε τα ακόλουθα:

Λογισμικό Geogebra

1η εικόνα:
Λογισμικό Geogebra 1.png
Λογισμικό Geogebra 1.png (20.52 KiB) Προβλήθηκε 148 φορές
Στην εικόνα αυτή εμφανίζονται οι πέντε πρώτοι όροι της ακολουθίας αυτής με τη μορφή που
τα έχουμε εισάγει.

2η εικόνα
Λογισμικό Geogebra 2.png
Λογισμικό Geogebra 2.png (28.02 KiB) Προβλήθηκε 148 φορές
Στη δεύτερη εικόνα εμφανίζονται οι τιμές αυτών των όρων διατηρώντας σε όλη την πορεία την πραγματική αρχική τιμή
και δίνει ορθότατα αποτελέσματα σε όλη την αλυσίδα των όρων της ακολουθίας χωρίς όμως δεκαδική μορφή.

Λογισμικό Maple
Λογισμικό Maple 1.png
Λογισμικό Maple 1.png (10.35 KiB) Προβλήθηκε 148 φορές
Εδώ τα πράγματα είναι διαφορετικά!

Στην πρώτη γραμμή έχει εισαχθεί ο αριθμός \displaystyle{x_1=\frac{1}{3}} με την εντολή να γραφεί σε δεκαδική μορφή με έξι δεκαδικά ψηφία.
Το αποτέλεσμα που προέκυψε δόθηκε για υπολογισμό του δεύτερου όρου κλπ. Το αποτέλεσμα είναι εντελώς διαφορετικό και όχι αυτό
που θα ανέμενε κανείς!

Παρόλα αυτά, προσωπικά πιστεύω ότι οι μηχανές αυτές βοηθούν. Στην εργασία μας, στο σχολείο, στην έρευνα, ....

Κώστας Δόρτσιος


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11919
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μήκος τοξου

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 11, 2020 10:51 pm

KDORTSI έγραψε:
Σάβ Ιαν 11, 2020 10:21 pm

Παρόλα αυτά, προσωπικά πιστεύω ότι οι μηχανές αυτές βοηθούν. Στην εργασία μας, στο σχολείο, στην έρευνα, ....
Θα συμφωνήσω.

Είναι πραγματικά ένα εξαιρετικό ανακαλυπτικό εργαλείο, άσε την απόλαυση που εισπράττεις παίζοντας με τα λογισμικά.

Στην ομιλία μου που αναφέρθηκα παραπάνω είχα μερικά έξοχα χειροπιαστά παραδείγματα όπου με χρήση λογισμικού
είχα ανακαλύψει την οδό ή το κύριο βήμα για ενδιαφέροντα και δύσκολα προβλήματα. Επίσης αναφέρθηκα σε μερικά ενδιαφέροντα ιστορικά παραδείγματα του Αρχιμήδη, Γαλιλαίου, Gauss και Euler, όπου με χρήση ανορθόδοξου υπολογισμού (με το χέρι ή αλλιώς) είχαν ανακαλύψει σημαντικά θεωρήματα ή αποτελέσματα. Θα βρω ευκαιρία να ξανακάνω κάπου εκείνη την ομιλία, την οποία έκανα μόνο μία φορά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11919
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μήκος τοξου

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 11, 2020 10:56 pm

KDORTSI έγραψε:
Σάβ Ιαν 11, 2020 10:21 pm

Λογισμικό Maple


Εδώ τα πράγματα είναι διαφορετικά!

Στην πρώτη γραμμή έχει εισαχθεί ο αριθμός \displaystyle{x_1=\frac{1}{3}} με την εντολή να γραφεί σε δεκαδική μορφή με έξι δεκαδικά ψηφία.
Το αποτέλεσμα που προέκυψε δόθηκε για υπολογισμό του δεύτερου όρου κλπ. Το αποτέλεσμα είναι εντελώς διαφορετικό και όχι αυτό
που θα ανέμενε κανείς!
Ακριβώς. Ας συμπληρώσω ότι αν κάνεις δεκαδική προσέγγιση, όσο καλή και αν είναι, στο συγκεκριμένο παράδειγμα η σταθερή ακολουθία x_n=\dfrac {1}{3} φέρεται να αποκλίνει στο πλην άπειρο. Χάος, δηλαδή.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11919
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μήκος τοξου

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιαν 16, 2020 10:40 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Ιαν 09, 2020 9:01 am
Δίνω υπόδειξη μόνο για να μας γράψει ο θεματοθέτης Nikos127 λύση, αν και μάλλον ματαιοπονώ γιατί σε άλλες περιπτώσεις (βλέπε εδώ) μας αγνόησε: Ρωτάει δηλαδή την λύση άσκησης που συνάντησε σε μαθήματα που παρακολουθεί αλλά που δεν κατάφερε να λύσει (μέχρι εδώ όλα καλά) αλλά μετά ... εξαφανίζεται.
Νίκο, κάποια πρόοδος εδώ;


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: BAGGP93 και 0 επισκέπτες