Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Σταμ. Γλάρος · #181

Tolaso J Kos έγραψε: Πέμ Ιαν 16, 2020 5:56 pm Άσκηση 62

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{\sqrt[5]{\ln 3}}^{\sqrt[5]{\ln 5}} \frac{x^4 \sin x^5}{\sin x^5 + \sin \left ( \ln 15 - x^5 \right )} \, \mathrm{d}x}$

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...

Θέτοντας όπου x^5=u

έχουμε :

$\displaystyle{\mathcal{J} = \frac{1}{5} \int_{{\ln 3}}^{{\ln 5}} \frac{\sin u}{\sin u + \sin \left ( \ln 15 - u \right )} \, \mathrm{d}u}$ .

Και ξανά ... θέτοντας $t= \ln15-u$ έχουμε :

$\displaystyle{\mathcal{J} =\frac{1}{5} \int_{{\ln 3}}^{{\ln 5}} \frac{\sin (\ln15-t)}{\sin t + \sin \left ( \ln 15 - t \right )} \, \mathrm{d}t}$ .

Τώρα προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε :

$\displaystyle{2\mathcal{J} =\frac{1}{5} \int_{{\ln 3}}^{{\ln 5}} \mathrm{d}x} =\frac{1}{10} \ln\frac{5}{3}$ .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

#182

Πολλές από τις ασκήσεις που είδαμε είναι ειδική περίπτωση της ακόλουθης, την οπόια θέτω προς επίλυση αν και ουσιστικά είναι τετριμμένη.
Δείτε όμως το παρακάτω σχόλιο.

Άσκηση 65

Έστω $\displaystyle{f:[a, b]\to \mathbb R}$ συνεχής (γενικότερα, ολοκληρώσιμη) συνάρτηση και έστω $\displaystyle{g(x) = f(x) + f(a+b-x)}$ . Τότε

$\displaystyle{ \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx = \frac {1}{2} \int _a^b g(x) dx}$ .

Σχόλιο: Γιατί τα λέω όλα αυτά;
Αν η

έχει εύκολο ολοκλήρωμα, τότε βγάζουμε το ολοκλήρωμα της

, που μπορεί να είναι πιο δύσκολο.

Για παράδειγμα η Άσκηση

(βλέπε ποστ # 159

) είναι η ειδική περίπτωση g(x)=0

. Αλλά και πολλές ασκήσεις εδώ έχουν λυθεί
με χρήση της παραπάνω Άσκησης

. Τέτοιες π.χ. είναι οι Ασκήσεις

(βλέπε ποστ # 102

),

(βλέπε ποστ # 143

),

(βλέπε ποστ # 145

),

(βλέπε ποστ # 179

), και πολλές ακόμη.

Tolaso J Kos · #183

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Ιαν 18, 2020 10:26 pm
Άσκηση 65

Έστω $\displaystyle{f:[a, b]\to \mathbb R}$ συνεχής (γενικότερα, ολοκληρώσιμη) συνάρτηση και έστω $\displaystyle{g(x) = f(x) + f(a+b-x)}$ . Τότε

$\displaystyle{ \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx = \frac {1}{2} \int _a^b g(x) dx}$ .

Με την αλλαγή μεταβλητής u=a+b-x

έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x &\overset{u = a+b-x}{=\! =\! =\! =\!=\!=\!} \int_{a}^{b} f \left ( a+b-x \right ) \, \mathrm{d}x \\ &=\frac{1}{2} \left ( \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x + \int_{a}^{b} f \left ( a+b-x \right ) \, \mathrm{d}x \right ) \\ &=\frac{1}{2} \int_a^b \big ( f(x) + f\left ( a+b-x \right ) \big )\, \mathrm{d}x \\ &=\frac{1}{2} \int_a^b g(x) \, \mathrm{d}x \end{aligned}}$

Tolaso J Kos · #184

Άσκηση 66

Έστω $g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ η οποία ορίζεται ως:

$\displaystyle{g(s)=\left\{\begin{matrix} 1 & , & s\geq \frac{1}{2} \\\\ 0 & , & s<\frac{1}{2} \end{matrix}\right.}$
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\bigintsss_0^1 g\left ( \cos \pi x \right )\, \mathrm{d}x$ .

Tolaso J Kos · #185

Tolaso J Kos έγραψε: Δευ Ιαν 20, 2020 8:19 pm Άσκηση 66

Έστω $g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ η οποία ορίζεται ως:

$\displaystyle{g(s)=\left\{\begin{matrix} 1 & , & s\geq \frac{1}{2} \\\\ 0 & , & s<\frac{1}{2} \end{matrix}\right.}$
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\bigintsss_0^1 g\left ( \cos \pi x \right )\, \mathrm{d}x$ .

Όχι , ε;

Λάμπρος Κατσάπας · #186

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Ιαν 25, 2020 8:18 pm
Όχι , ε;

Όχι. Είσαι εκτός φακέλου.

Tolaso J Kos · #187

Άσκηση 67

Να υπολογιστεί το

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_1^e x^{1/\ln x} \, \mathrm{d}x}$

Σταμ. Γλάρος · #188

Tolaso J Kos έγραψε: Κυρ Φεβ 02, 2020 10:25 am Άσκηση 67

Να υπολογιστεί το

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_1^e x^{1/\ln x} \, \mathrm{d}x}$

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια ...

Είναι : $\mathcal{J} = \displaystyle{ \int_1^e e^{lnx^{\frac{1}{lnx}}} dx$ $=\displaystyle{ \int_1^e e^{\frac{1}{lnx}\cdot lnx} dx =$ $\displaystyle{ \int_1^e e dx =$ e^2 -e

.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

#189

Σταμ. Γλάρος έγραψε: Κυρ Φεβ 02, 2020 1:43 pm
Tolaso J Kos έγραψε: Κυρ Φεβ 02, 2020 10:25 am Άσκηση 67

Να υπολογιστεί το

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_1^e x^{1/\ln x} \, \mathrm{d}x}$
Είναι : $\mathcal{J} = \displaystyle{ \int_1^e e^{lnx^{\frac{1}{lnx}}} dx$ $=\displaystyle{ \int_1^e e^{\frac{1}{lnx}\cdot lnx} dx =$ $\displaystyle{ \int_1^e e dx =$ .

Σωστά, αλλά η εκφώνηση έχει μικρό πρόβλημα σε επίπεδο Λυκείου: Για x=1

δεν ορίζεται 1/ln x

. Διορθώνεται εύκολα αν θεωρήσουμε την συνάρτηση $x^{1/\ln x}$ για $\ne 1$ και το όριό της (ίσον

) καθώς $x\to 1$ στο

.

KARKAR · #190

Άσκηση 68

α) Δείξτε ότι η συνάρτηση : $f(x)=\left\{\begin{matrix} \dfrac{xlnx}{x-1} & , x>1\\ & \\ 1& , x=1 \end{matrix}\right.$ , είναι συνεχής στο $x_{0}=1$

β) Δείξτε ότι : $\dfrac{3\sqrt{e}-4}{2}<\displaystyle \int_{1}^{\sqrt{e}}f(x)dx<\dfrac{\sqrt{e^3}-1}{3}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #191

KARKAR έγραψε: Τρί Φεβ 04, 2020 9:51 pm Άσκηση 68

α) Δείξτε ότι η συνάρτηση : $f(x)=\left\{\begin{matrix} \dfrac{xlnx}{x-1} & , x>1\\ & \\ 1& , x=1 \end{matrix}\right.$ , είναι συνεχής στο $x_{0}=1$

β) Δείξτε ότι : $\dfrac{3\sqrt{e}-4}{2}<\displaystyle \int_{1}^{\sqrt{e}}f(x)dx<\dfrac{\sqrt{e^3}-1}{3}$

Χρησιμοποιώντας την
$1-\frac{1}{x}\leq \ln x\leq x-1$
και ολοκληρώνοντας το ολοκλήρωμα είναι μεταξύ των
$\sqrt{e}-1,\frac{e-1}{2}$
Ειναι τετριμμένο να δείξουμε ότι
$\frac{3\sqrt{e}-4}{2}< \sqrt{e}-1,\frac{e-1}{2}< \frac{\sqrt{e^{3}}-1}{3}$
που δίνουν το ζητούμενο.

Μου μένει η απορία πως προέκυψαν τα αρχικά φράγματα.

KARKAR · #192

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Τρί Φεβ 04, 2020 11:54 pm
Μου μένει η απορία πως προέκυψαν τα αρχικά φράγματα.

Σταύρο , όταν ανέβασα την άσκηση σκέφτηκα να γράψω και το : "Φυσικά μπορείτε να βρείτε καλύτερα

φράγματα " . Η σχέση που χρησιμοποίησες παράγεται από Θ.Μ.Τ για την f(x)=lnx

στο

$( 1<\dfrac{xlnx}{x-1}<x )$ . Αλλά ας δούμε πως προέκυψαν τα προταθέντα : Εφαρμόζοντας Θ.Μ.Τ

στο ίδιο διάστημα για την : $f(x)=\dfrac{lnx}{x}$ , προκύπτει : $\dfrac{1-lnx}{x^2}<\dfrac{lnx}{x(x-1)}<1$ ,

η οποία γίνεται : $1-lnx<\dfrac{xlnx}{x-1}<x^2$ , οπότε προκύπτουν τα αναγραφόμενα .

Αναζητώντας καλύτερο άνω φράγμα , μπορεί κανείς να παρατηρήσει , ότι : $\dfrac{xlnx}{x-1}<\sqrt{x} ,$

$(x\neq 1 , x>0 )$ . ( Δεν είναι τόσο απλό ! ) . Τότε : $\displaystyle \int_{1}^{\sqrt{e}}f(x)dx<\dfrac{2e^{\frac{3}{4}}-2}{3}$

Οι προσεγγιστικές τιμές των προτεινόμενων φραγμάτων είναι διαδοχικά : 1,16..., 0,859 .... 0,7446

,

με την τελευταία να μην απέχει πολύ από την τιμή του ολοκληρώματος , που είναι : 0,7416

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #193

KARKAR έγραψε: Τετ Φεβ 05, 2020 12:08 pm Η σχέση που χρησιμοποίησες παράγεται από Θ.Μ.Τ για την στο

Η σχέση που χρησιμοποίησα βγαίνει με πολλούς άλλους τρόπους.
π.χ κυρτότητα.
Συνήθως την χρησιμοποιούμαι για να βρούμε την παράγωγο της $\ln x$ .
Ετσι η απόδειξη της με Θ.Μ.Τ κυρτότητα κ.λ.π οδηγεί σε κύκλο.
Η σωστή απόδειξη της πρέπει να γίνει είτε από τον αυστηρό ορισμό του $\ln x$ είτε του e^x

.
(και υπάρχουν αρκετοί τέτοιοι)

KARKAR έγραψε: Τετ Φεβ 05, 2020 12:08 pm Οι προσεγγιστικές τιμές των προτεινόμενων φραγμάτων είναι διαδοχικά : ,

με την τελευταία να μην απέχει πολύ από την τιμή του ολοκληρώματος , που είναι :

Δεν είναι αυτή η τιμή του ολοκληρώματος.
Η έκφραση ''απέχει πολύ από την τιμή'' η λίγο το ίδιο είναι δεν είναι μαθηματική έκφραση.
Σε κάποιες εφαρμογές σφάλμα της τάξης 0,001

θεωρείται απαγορευτικό.

Το ολοκλήρωμα είναι

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{(n+1)^{2}}(\sqrt{e}-1)^{n+1}(\sqrt{e}-\frac{\sqrt{e}-1}{(n+2)})$

οπότε μπορούμε να το προσεγγίσουμε όσο καλά θέλουμε.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #194

Tolaso J Kos έγραψε: Δευ Ιαν 20, 2020 8:19 pm Άσκηση 66

Έστω $g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ η οποία ορίζεται ως:

$\displaystyle{g(s)=\left\{\begin{matrix} 1 & , & s\geq \frac{1}{2} \\\\ 0 & , & s<\frac{1}{2} \end{matrix}\right.}$
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\bigintsss_0^1 g\left ( \cos \pi x \right )\, \mathrm{d}x$ .

Για $x\in (0,1)$

έχουμε
$\cos \pi x\geq \frac{1}{2}\Leftrightarrow \pi x\leq \frac{\pi }{3}\Leftrightarrow x\leq \frac{1}{3}$

Ετσι το ολοκλήρωμα είναι

$\int_{0}^{\frac{1}{3}}1dx=\frac{1}{3}$

Tolaso J Kos · #195

Άσκηση 69

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \bigintsss_{0}^{2} \frac{\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-5x+7}}{\sqrt{x^2-x+1} + \sqrt{x^2-3x+3}} \, \mathrm{d}x}$

#196

Tolaso J Kos έγραψε: Παρ Φεβ 07, 2020 3:04 pm Άσκηση 69

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \bigintsss_{0}^{2} \frac{\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-5x+7}}{\sqrt{x^2-x+1} + \sqrt{x^2-3x+3}} \, \mathrm{d}x}$

Καλό.

Η αλλαγή μεταβλητής y=2-x

δίνει

$\displaystyle{\sqrt{x^2+x+1} = \sqrt{(2-y)^2+(2-y)+1} = \sqrt{y^2-5y+7}}$ που είναι το δεύτερο ριζικό στον αριθμητή. Όμοια ο δεύτερος γίνεται όσο ο πρώτος. Το ίδιο και οι παρονομαστές, μετασχηματίζονται ο ένας στον άλλον. Έτσι έχουμε την περίπτωση

$\displaystyle{ I = \int _0^2 \dfrac {A-B}{C+D} dx = \int _0^2 \dfrac {B-A}{C+D} dy = -I}$ .

'Αρα I=0

KARKAR · #197

Άσκηση 70

Δείξτε ότι : $\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sqrt{\sin(x)} dx>\frac{2\pi}{3}$

Tolaso J Kos · #198

KARKAR έγραψε: Σάβ Φεβ 08, 2020 6:33 pm Άσκηση 70

Δείξτε ότι : $\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sqrt{\sin(x)} dx>\frac{2\pi}{3}$

Από τη βασική ανισότητα $\displaystyle{\sin x \geq \frac{2x}{\pi}\; , \; x \in \left[0, \frac{\pi}{2} \right]}$ έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{\pi} \sqrt{\sin x} \, \mathrm{d}x &= 2\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{\sin x} \, \mathrm{d}x \\ &> 2\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{\frac{2x}{\pi}} \, \mathrm{d}x\\ &= \frac{2\pi}{3} \end{aligned}}$

Tolaso J Kos · #199

Άσκηση 71

Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 x}{\sin \left ( x + \frac{\pi}{4} \right )} \, \mathrm{d}x = \ln \left ( 1 + \sqrt{2} \right )}$

#200

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Φεβ 15, 2020 8:22 pm Άσκηση 71

Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 x}{\sin \left ( x + \frac{\pi}{4} \right )} \, \mathrm{d}x = \ln \left ( 1 + \sqrt{2} \right )}$

Μπορούμε και το αόριστο ολοκλήρωμα:

Η αλλαγή μεταβλητής $y = x + \frac{\pi}{4}$ το μετατρέπει σε ολοκλήρωμα της

$\displaystyle{ \frac{\sin^2 (y - \frac{\pi}{4})}{\sin y} = \frac{(\frac {\sqrt 2}{2} \sin y -\frac {\sqrt 2}{2} \cos y)^2}{\sin y} = \frac {1}{2} \frac{\sin ^2 y-2 \sin y \cos y + \cos ^2y}{\sin y} = \frac {1}{2} \left ( \frac {1}{\sin y} - 2 \cos y \right )}$

που είναι άμεσο ως άθροισμα δύο γνωστών.

Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση