Ρίζα παράστασης ρητών

#1

Αν οι αριθμοί $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{Q}$ και επιπλέον είναι διαφορετικοί ανά δύο
να αποδείξετε ότι ο αριθμός:
$A=\sqrt{\frac{1}{(\alpha-\beta)^2}+\frac{1}{(\beta-\gamma)^2}+\frac{1}{(\gamma-\alpha)^2}}$
είναι επίσης ρητός αριθμός.

Tolaso J Kos · #2

chris_gatos έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 23, 2020 1:54 am
Αν οι αριθμοί $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{Q}$ και επιπλέον είναι διαφορετικοί ανά δύο
να αποδείξετε ότι ο αριθμός:

$\displaystyle{A=\sqrt{\frac{1}{(\alpha-\beta)^2}+\frac{1}{(\beta-\gamma)^2}+\frac{1}{(\gamma-\alpha)^2}}}$
είναι επίσης ρητός αριθμός.

Θέτω $\alpha - \beta = x \; , \; \beta - \gamma = y \; , \; \gamma - \alpha =z$ οπότε x+y+z=0

. Τότε,

$\displaystyle{\begin{aligned} \sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}} &=\sqrt{\frac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{x^2y^2z^2}} \\ &=\sqrt{\frac{(xy+yz+zx)^2-\cancelto{0}{2xyz(x+y+z)}}{x^2y^2z^2}} \\ &=\sqrt{\left(\frac{xy+yz+zx}{xyz}\right)^2} \end{aligned}}$
Το αποτέλεσμα έπεται.

#3

Αυτό που λέει η παραπάνω απόδειξη είναι ότι

$\displaystyle{\boxed{(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a})^2=\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}}}$ ,

το οποίο φυσικά είναι άμεση συνέπεια της ταυτότητας

$\displaystyle{\frac{1}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(b-c)(c-a)}+\frac{1}{(c-a)(a-b)}=0.}$

Ρίζα παράστασης ρητών

Ρίζα παράστασης ρητών

Re: Ρίζα παράστασης ρητών

Re: Ρίζα παράστασης ρητών

Μέλη σε σύνδεση