Μέγιστο

#1

Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί 𝑥_1, 𝑥_2, 𝑥_3, 𝑥_4, 𝑥_5, 𝑥_6

για τους οποίους ισχύει
$\displaystyle{(𝑥_2 − 𝑥_1)^2 + (𝑥_3 − 𝑥_2)^2 + (𝑥_4 − 𝑥_3)^2 + (𝑥_5 − 𝑥_4)^2 + (𝑥_6 − 𝑥_5)^2 = 1}$

Να βρείτε τη μέγιστη δυνατή τιμή της διαφοράς $\displaystyle{(𝑥_4 + 𝑥_5 + 𝑥_6) − (𝑥_1 + 𝑥_2 + 𝑥_3).}$

#2

Θέτουμε

,

και

, οπότε ισχύει a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=1

και αναζητούμε τη μέγιστη τιμή της παράστασης

$A=\left( x_4+x_5+x_6 \right) -\left( x_1+x_2+x_3 \right) =$

$=\left( x_4-x_3 \right) +\left( x_5-x_1 \right) +\left( x_6-x_2 \right) =$

$=c+2\left( x_5-x_4 \right) +2\left( x_4-x_3 \right) +2\left( x_3-x_2 \right) +\left( x_2-x_1 \right) +\left( x_6-x_5 \right) =$

=a+2b+3c+2d+e.

Από την ανισότητα Cauchy-Schwarz έχουμε ότι

$1=a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=\dfrac{a^2}{1}+\dfrac{\left( 2b \right) ^2}{4}+\dfrac{\left( 3c \right) ^2}{9}+\dfrac{\left( 2d \right) ^2}{4}+\dfrac{e^2}{1}\geqslant$

$\geqslant \dfrac{\left( a+2b+3c+2d+e \right) ^2}{1+4+9+4+1}=\dfrac{A^2}{19}.$

Επομένως, $A^2 \leqslant 19$ ,

με το ίσον να ισχύει αν και μόνο αν

$a =\dfrac{b}{2}=\dfrac{c}{3}=\dfrac{d}{2} = e =\dfrac{1}{\sqrt{19}}.$

Έτσι, η μέγιστη τιμή της παράστασης

ισούται με $\sqrt{19}$ και λαμβάνεται, για παράδειγμα, όταν

$\left( x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6 \right) =\left( 0,\dfrac{1}{\sqrt{19}},\dfrac{3}{\sqrt{19}},\dfrac{6}{\sqrt{19}},\dfrac{8}{\sqrt{19}},\dfrac{9}{\sqrt{19}} \right).$

Μέγιστο

Μέγιστο

Re: Μέγιστο

Μέλη σε σύνδεση