Τριγωνομετρική σειρά 3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω $\displaystyle a_{n},n\in \mathbb{N}-\left \{ 0 \right \}$

πραγματικοί ώστε να ισχύει

$\displaystyle |a_{n}|\geq |a_{n+1}|,n\in \mathbb{N}-\left \{ 0 \right \}$

Θεωρούμε την τριγωνομετρική σειρά

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}\sin nx$ (1)

Αν η (1) συγκλίνει απόλυτα για κάποιο

$\displaystyle x_{0}\in \mathbb{R},x_{0}\neq k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

τότε συγκλίνει απόλυτα για κάθε

$\displaystyle x\in \mathbb{R}$

Μέχρι 14-12-2019

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Επαναφορά για όλους.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

υπόδειξη.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Αφού η σειρά συγκλίνει απόλυτα θα συγκλίνει και η
$\sum_{n=1}^{\infty }|a_{n}|(\sin nx_{0})^{2}$
Επειδή
$(\sin x_0)^{2}=\frac{1}{2}(1-\cos 2x_0)$
θα συγκλίνει και η
$\sum |a_{k}|-|a_{k}|\cos 2kx_0$ .

Θα έχουμε το ζητούμενο αν δείξουμε ότι η

$\sum |a_{k}|\cos 2kx_0$
συγκλίνει.
Λόγω γνωστού θεωρήματος το μόνο που δεν έχουμε είναι ότι
$|a_{k}|\rightarrow 0$

Προφανώς συγκλίνει.
Αν δεν συνέκλινε στο

τότε
$\sin nx_{0}\rightarrow 0$
Αυτό όμως δεν μπορεί να συμβεί γιατι είναι γνωστό ότι
$\sin nx_{0}\rightarrow 0\Leftrightarrow x_0=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Τριγωνομετρική σειρά 3

Τριγωνομετρική σειρά 3

Re: Τριγωνομετρική σειρά 3

Re: Τριγωνομετρική σειρά 3

Re: Τριγωνομετρική σειρά 3

Μέλη σε σύνδεση