Διάφορες , μα όχι αδιάφορες

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11614
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Διάφορες , μα όχι αδιάφορες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Μαρ 29, 2020 12:39 pm

\bigstar Για το δευτεροβάθμιο τριώνυμο f(x) , ισχύει : f(x)+3f(4-x)=x^2 , για κάθε x\in \mathbb{R} .

α) Υπολογίστε το f(2)

β) Υπολογίστε το f(3)

γ) Υπολογίστε τον θετικό x , για τον οποίο : f(x)=13

δ) Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση : f(x)=k , για τις διάφορες τιμές του πραγματικού k ;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1617
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Διάφορες , μα όχι αδιάφορες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Μαρ 29, 2020 1:40 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Μαρ 29, 2020 12:39 pm
\bigstar Για το δευτεροβάθμιο τριώνυμο f(x) , ισχύει : f(x)+3f(4-x)=x^2 , για κάθε x\in \mathbb{R} .

α) Υπολογίστε το f(2)

β) Υπολογίστε το f(3)

γ) Υπολογίστε τον θετικό x , για τον οποίο : f(x)=13

δ) Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση : f(x)=k , για τις διάφορες τιμές του πραγματικού k ;
Δεν χρειάζεται να ξέρουμε ότι η f είναι δευτεροβάθμιο τριώνυμο. Στην δοσμένη σχέση θέτω όπου x το 4-x και προκύπτει f(4-x)+3f(x)=(x-4)^2,
οπότε (x-4)^2=3f(x)+f(4-x)=3f(x)+(x^2-f(x))/3, που δίνει f(x)=\dfrac{x^2}{4}-3x+6.

α) f(2)=1,
β) f(3)=-3/4,
γ) Αν f(x)=13, προκύπτει x^2-12x+24=52, οπότε (x-14)(x+2)=0, συνεπώς x=14, αφού x>0.
δ) Η f(x)=k γράφεται x^2-12x+24-4k=0. Η Διακρίνουσα \Delta=144-4(24-4k)=48+16k.

Οπότε, η πιο πάνω εξίσωση έχει:

\rightarrow 2 λύσεις, αν 48+16k>0, δηλαδή k>-3,
\rightarrow 1 λύση, αν 48+16k=0, δηλαδή k=-3,
\rightarrow καμία λύση, αν 48+16k<0, δηλαδή k<-3.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12186
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Διάφορες , μα όχι αδιάφορες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μαρ 29, 2020 2:40 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Κυρ Μαρ 29, 2020 1:40 pm
Δεν χρειάζεται να ξέρουμε ότι η f είναι δευτεροβάθμιο τριώνυμο.
Σωστά. Για χάρη των μαθητών ας δούμε τι θα συναντούσε κάποιος λύτης που πήγαινε με τριώνυμο, f(x)=ax^2+bx+c.

H η δοθείσα γίνεται \displaystyle{4ax^2+(-2b-24a)x+4c+48a+12b = x^2}. Συγκρίνοντας (*) συντελεστή του x^2 έχουμε 4a=1, από όπου το a. Από τον συντελεστή του x βγαίνει εύκολα το b και από τον σταθερό όρο βγαίνει τώρα το c. Και λοιπά.

(*) Εδώ χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι τα πολυώνυμα έχουν μοναδική παράσταση. Αυτό δεν έχει αποδειχθεί στα Σχολικά Μαθηματικά όμως ειδικά για το τριώνυμο είναι εύκολο.

Θέτω λοιπόν ως άσκηση:

Αν ax^2+bx+c=px^2+qx+r για κάθε x πραγματικό, δείξτε ότι a=p,\,b=q, \, c=r.

Ας την αφήσουμε σήμερα για τους μαθητές μας.


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1617
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Διάφορες , μα όχι αδιάφορες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Μαρ 29, 2020 2:48 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Μαρ 29, 2020 2:40 pm
Αν ax^2+bx+c=px^2+qx+r για κάθε x πραγματικό, δείξτε ότι a=p,\,b=q, \, c=r.
Έστω το πολυώνυμο P(x)=(a-p)x^2+(b-q)x+(c-r). Από την συνθήκη είναι P(1)=P(2)=P(3)=0, και είναι \deg P \leqslant 2, άρα πρέπει P \equiv 0, δηλαδή a=p, b=q, c-r.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12186
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Διάφορες , μα όχι αδιάφορες

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μαρ 29, 2020 3:24 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Κυρ Μαρ 29, 2020 2:48 pm
Έστω το πολυώνυμο P(x)=(a-p)x^2+(b-q)x+(c-r). Από την συνθήκη είναι P(1)=P(2)=P(3)=0, και είναι \deg P \leqslant 2, άρα πρέπει P \equiv 0, δηλαδή a=p, b=q, c-r.
Ορέστη, εδώ έχουμε ένα λεπτό σημείο: Για να μιλήσουμε για βαθμό πολυωνύμου (ακριβέστερα, πολυωνυμική συνάρτηση) προϋποθέτει ότι έχουμε αποδείξει ότι η παράσταση είναι μοναδική.

Αυτό στους πραγματικούς ή μιγαδικούς αριθμούς είναι σωστό, αλλά πρέπει να αποδειχθεί. Δεν ισχύει το ίδιο όταν το σύνολα αναφοράς είναι άλλοι αριθμοί. Μιλώντας εκτός ύλης, αν δουλεύαμε στο \mathbbZ_2 (δηλαδή 0+0=0, 0+1=1+0=1,1+1=0, 0\cdot 0= 0\cdot 1= 1\cdot 0 =0, 1\cdot 1=1 ) έχουμε ότι τα τριώνυμα x και x^2 είναι ίσα!

Συμβαίνουν ανάλογα περίεργα πράγματα για την παράσταση του πολυωνύμου στην μορφή a(x-r_1)...(x-r_n) όπου r_1,..., r_n οι ρίζες. Για παράδειγμα στο \mathbb Z_{12} το x^2-4 έχει τέσσερις(!) ρίζες, f(2)=f(4)=f(8) = f(10) =0 και δύο γραφές f(x)=(x-2)(x-10)=(x-4)(x-8).

Αυτό που ζητούσα στην άσκηση που έγραψα είναι να χρησιμοποιήσουμε μόνο όσα έχουν αποδειχθεί στο Σχολικό βιβλίο (εξαιρείται η ύπαρξη πραγματικών αριθμών, που την παίρνουμε ως δεδομένη, διαισθητικά).

Πάντως, και έτσι που το ζητώ, πρόκειται για απλή άσκηση. Πάντα για τα δευτεροβάθμια μιλάμε.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3069
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Διάφορες , μα όχι αδιάφορες

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Μαρ 29, 2020 4:31 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Μαρ 29, 2020 3:24 pm
Αυτό στους πραγματικούς ή μιγαδικούς αριθμούς είναι σωστό, αλλά πρέπει να αποδειχθεί. Δεν ισχύει το ίδιο όταν το σύνολα αναφοράς είναι άλλοι αριθμοί. Μιλώντας εκτός ύλης, αν δουλεύαμε στο \mathbbZ_2 (δηλαδή 0+0=0, 0+1=1+0=1,1+1=0, 0\cdot 0= 0\cdot 1= 1\cdot 0 =0, 1\cdot 1=1 ) έχουμε ότι τα τριώνυμα x και x^2 είναι ίσα!
Νομίζω ότι κάτι αλλο θες να γράψεις Μιχάλη,
προφανώς γνωρίζεις τα παρακάτω.
Τα x και x^2στο \mathbb{Z}_2 είναι ίσα σαν συναρτήσεις.
Σαν πολυώνυμα δεν είναι ίσα.
Ειναι άλλο πολυώνυμο και άλλο πολυωνιμική συνάρτηση.
Στα \mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}
οι έννοιες ταυτίζονται.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12186
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Διάφορες , μα όχι αδιάφορες

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μαρ 29, 2020 6:37 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Μαρ 29, 2020 4:31 pm

Νομίζω ότι κάτι αλλο θες να γράψεις Μιχάλη,
προφανώς γνωρίζεις τα παρακάτω.
Τα x και x^2στο \mathbb{Z}_2 είναι ίσα σαν συναρτήσεις.
Σαν πολυώνυμα δεν είναι ίσα.
Ειναι άλλο πολυώνυμο και άλλο πολυωνιμική συνάρτηση.
Στα \mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}
οι έννοιες ταυτίζονται.
Σταύρο, λέω ακριβώς αυτό που λες και εσύ.

Π.χ. γι' αυτό γράφω
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Μαρ 29, 2020 3:24 pm
Για να μιλήσουμε για βαθμό πολυωνύμου (ακριβέστερα, πολυωνυμική συνάρτηση) προϋποθέτει ότι έχουμε αποδείξει ότι η παράσταση είναι μοναδική.
Γράφω την απόδειξη που ζήταγα.

Έστω λοιπόν ax^2+bx+c=px^2+qx+r για κάθε x πραγματικό. Τότε για x=0 παίρνομε c=r, οπότε ax^2+bx=px^2+qx. Διαιρώντας με x έπεται ax+b=px+q για κάθε x\ne 0.

Αν ξέραμε από όρια, μπορούμε τώρα να πάρουμε όριο στο 0, οπότε b=q, και από εκεί εύκολα a=p. Αν δεν ξέρουμε από όρια, τότε για x=\pm 1 παίρνουμε a+b=p+q, \, a-b=p-q, αντίστοιχα. Με πρόσθεση κατά μέλη έπεται a=p, και άρα b=q.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3069
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Διάφορες , μα όχι αδιάφορες

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Μαρ 29, 2020 6:59 pm

Από ότι βλέπω μπορεί με στοιχειώδη μέσα (ύλη Α Λυκείου)
να αποδειχθεί το εξής:

Αν n\in \mathbb{N},n\geq 1
και
a_{0},a_{1},....,a_{n}
πραγματικοί ώστε
Για κάθε xστο \mathbb{R}
είναι
a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+....+a_{1}x+a_{0}=0
τότε
a_{n}=a_{n-1}=....=a_{1}=a_{0}=0

Σημείωση .Το για κάθε xστο \mathbb{R}
μπορεί να αντικατασταθεί με το
για κάθε x με 0<x<1


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12186
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Διάφορες , μα όχι αδιάφορες

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μαρ 29, 2020 7:31 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Μαρ 29, 2020 6:59 pm
Από ότι βλέπω μπορεί με στοιχειώδη μέσα (ύλη Α Λυκείου)
να αποδειχθεί το εξής:

Αν n\in \mathbb{N},n\geq 1
και
a_{0},a_{1},....,a_{n}
πραγματικοί ώστε
Για κάθε xστο \mathbb{R}
είναι
a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+....+a_{1}x+a_{0}=0
τότε
a_{n}=a_{n-1}=....=a_{1}=a_{0}=0

Σημείωση .Το για κάθε xστο \mathbb{R}
μπορεί να αντικατασταθεί με το
για κάθε x με 0<x<1
Σωστά. Ας το δούμε με τον περιορισμό 0<x<1 που γράφεις. Βλέπω διάφορες λύσεις αλλά για την ώρα
προτιμώ την εξής:

Για κάθε τέτοιο x έχουμε

\displaystyle{|a_0|= |-a_{n}x^{n}-a_{n-1}x^{n-1}-....-a_{1}x| \le |a_{n}||x|^{n} +|a_{n-1}||x|^{n-1}+....+|a_{1}||x| \le }

\displaystyle{\le (|a_{n}| +|a_{n-1}|+....+|a_{1}|)|x|\, (*)}

Αν  |a_{n}| +|a_{n-1}|+....+|a_{1}|=0 τότε \displaystyle{ |a_{n}| =|a_{n-1}|=....=|a_{1}|=0} και από το προηγούμενο είναι a_0=0, όπως θέλαμε. Αλλιώς δεν μπορεί να είναι a_0\ne 0 γιατί θέτοντας x στην (*) οποιονδήποτε θετικό αριθμό μικρότερο του 1 και του \displaystyle{\dfrac {1}{2} \dfrac {|a_0|}{|a_{n}| +|a_{n-1}|+....+|a_{1}| }} έπεται |a_0| \le \dfrac {1}{2} |a_0|, άτοπο.

Όμοια a_1=0, και λοιπά.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3069
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Διάφορες , μα όχι αδιάφορες

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Μαρ 29, 2020 8:04 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Μαρ 29, 2020 7:31 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Μαρ 29, 2020 6:59 pm
Από ότι βλέπω μπορεί με στοιχειώδη μέσα (ύλη Α Λυκείου)
να αποδειχθεί το εξής:

Αν n\in \mathbb{N},n\geq 1
και
a_{0},a_{1},....,a_{n}
πραγματικοί ώστε
Για κάθε xστο \mathbb{R}
είναι
a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+....+a_{1}x+a_{0}=0
τότε
a_{n}=a_{n-1}=....=a_{1}=a_{0}=0

Σημείωση .Το για κάθε xστο \mathbb{R}
μπορεί να αντικατασταθεί με το
για κάθε x με 0<x<1
Σωστά. Ας το δούμε με τον περιορισμό 0<x<1 που γράφεις. Βλέπω διάφορες λύσεις αλλά για την ώρα
προτιμώ την εξής:

Για κάθε τέτοιο x έχουμε

\displaystyle{|a_0|= |-a_{n}x^{n}-a_{n-1}x^{n-1}-....-a_{1}x| \le |a_{n}||x|^{n} +|a_{n-1}||x|^{n-1}+....+|a_{1}||x| \le }

\displaystyle{\le (|a_{n}| +|a_{n-1}|+....+|a_{1}|)|x|\, (*)}

Αν  |a_{n}| +|a_{n-1}|+....+|a_{1}|=0 τότε \displaystyle{ |a_{n}| =|a_{n-1}|=....=|a_{1}|=0} και από το προηγούμενο είναι a_0=0, όπως θέλαμε. Αλλιώς δεν μπορεί να είναι a_0\ne 0 γιατί θέτοντας x στην (*) οποιονδήποτε θετικό αριθμό μικρότερο του 1 και του \displaystyle{\dfrac {1}{2} \dfrac {|a_0|}{|a_{n}| +|a_{n-1}|+....+|a_{1}| }} έπεται |a_0| \le \dfrac {1}{2} |a_0|, άτοπο.

Όμοια a_1=0, και λοιπά.
Ακριβώς τα ίδια είχα στο μυαλό μου με την εξης διαφορά.
Θα έβαζα απευθείας
\displaystyle{\dfrac {1}{2} \dfrac {|a_0|}{|a_{n}| +|a_{n-1}|+....+|a_{1}|+|a_0| }}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης