Βρείτε τα σύνολα

[socrates]

Έστω και
Βρείτε δύο σύνολα και τέτοια ώστε
(α)
(β)
(γ) το άθροισμα δύο διαφορετικών στοιχείων του δεν ανήκει στο
(δ) το άθροισμα δύο διαφορετικών στοιχείων του δεν ανήκει στο .

Πόσα τέτοια σύνολα υπάρχουν;


Από εδώ: https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... 09&t=33578

[Mihalis_Lambrou]

Έστω και
Βρείτε δύο σύνολα και τέτοια ώστε
(α)
(β)
(γ) το άθροισμα δύο διαφορετικών στοιχείων του δεν ανήκει στο
(δ) το άθροισμα δύο διαφορετικών στοιχείων του δεν ανήκει στο .

Πόσα τέτοια σύνολα υπάρχουν;

Εύκολα μπορούμε να τα φτιάξουμε: Το χωρίς βλάβη ανήκει στο . Άρα τα στο άλλο σύνολο διότι δεν μπορεί να είναι στο καθώς το καθένα συν είναι στο .

Κοιτάμε τώρα το του (αργότερα θα δούμε και τα ). Αυτό μας δίνει ότι τα είναι στο διότι το καθένα συν είναι στο . Όμοια από το του έπεται ότι τα είναι στο . Όμοια από του βγαίνει ότι τα είναι στο .

Συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο ολα τα στοιχεία που εξασφαλίσαμε ότι βρίσκονται υποχρεωτικά στο ένα ή στο άλλο σύνολο. Στο τέλος όλοι οι αρχικοί αριθμοί θα μπουν κάπου. Συγκεκριμένα, βρήκα

(μοναδική λύση αφού όλοι οι αριθμοί μπήκαν υποχρεωτικά στο ένα ή στο άλλο σύνολο).

[Demetres]

Και ένα γράφημα όπου συνδέουμε δύο αριθμούς με ακμή αν και μόνο αν το άθροισμά τους ανήκει στο . Επειδή το γράφημα είναι συνεκτικό, αν υπάρχει λύση είναι μοναδική. Είναι απλό να δούμε ότι υπάρχει, αλλά χρωμάτισα και τις κορυφές ώστε να είναι ακόμη πιο ξεκάθαρο. (Δεν τις χρωμάτισα από μόνος μου αλλά είπα του προγράμματος να βρει τον χρωματισμό. Όχι βέβαια πως θα ήταν δύσκολο σε αυτήν την περίπτωση αφού απλά πρέπει να δώσουμε διαφορετικό χρώμα σε διαδοχικές κορυφές και να ελπίζουμε ότι αυτό μπορεί να γίνει.)

Ο κώδικας του προγράμματος που έτρεξα για να φτιαχτεί το γράφημα στο sagemath είναι εδώ:

Κώδικας: Επιλογή όλων

from sage.graphs.graph_coloring import vertex_coloring
H = Graph()
H.add_vertices([1..20]);
H.add_edges((i, 4-i) for i in [1..1]);
H.add_edges((i, 5-i) for i in [1..2]);
H.add_edges((i, 9-i) for i in [1..4]);
H.add_edges((i, 14-i) for i in [1..6]);
H.add_edges((i, 23-i) for i in [3..11]);
H.add_edges((i, 37-i) for i in [17..18]);
Part=vertex_coloring(H)
H.plot(partition=Part,vertex_size=500,figsize=8)