Γωνία 75 μοιρών

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #1

Μιας και αυτην την περιοδο η διδασκαλία μου περιστρεφεται στην παραγραφο εφαρμογές στα τρίγωνα παραθετω μια ακόμη

Ασκηση
Ένα τριγωνο ΑΒΓ έχει $\displaystyle{ \hat \Gamma = 45^o }$ και $\displaystyle{ \hat {\rm B} = 15^o }$ . Στην προέκταση της πλευράς ΓΑ προς το Α παίρνουμε τμήμα ΑΔ=2ΑΓ.. Να δειχθεί ότι $\displaystyle{ {\rm A}\hat \Delta {\rm B} = 75^o }$ .

#2

Το έχουμε ξανασυζητήσει πριν λίγες μέρες ή είναι η ιδέα μου;(*)

Χρησιμοποιώ το ημ15°. Δεν είναι γνωστός στην Α΄Λυκείου, αλλά αφήνω την παρακάτω λύση γιατί νομίζω ότι έχει ενδιαφέρον και είναι απλή στη σύλληψή της.

: 14-2-1010 Geometry.png (7.18 KiB) Προβλήθηκε 1882 φορές

Φέρνουμε το ύψος ΑΕ στη ΓΒ. Το ΑΓΕ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, άρα $\displaystyle {\rm A}{\rm E} = \frac{\beta }{{\sqrt 2 }}$ .
Στο ΑΕΒ:
$\displaystyle \eta \mu 15^\circ = \frac{{{\rm A}{\rm E}}}{{{\rm A}{\rm B}}} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4} = \frac{{\frac{\beta }{{\sqrt 2 }}}}{\gamma } \Leftrightarrow \frac{\beta }{\gamma } = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{2}$
$\displaystyle \Leftrightarrow \gamma = \frac{{2\beta }}{{\sqrt 3 - 1}} = \beta \left( {\sqrt 3 + 1} \right)$

Στο ΑΒΔ φέρνουμε το ύψος ΔΖ στην ΑΒ. Στο ορθογώνιο ΑΔΖ είναι $\displaystyle \widehat{\rm A} = 60^\circ$
άρα $\displaystyle {\rm A}{\rm Z} = \frac{{{\rm A}\Delta }}{2} = \beta ,\;\;\Delta {\rm Z} = \beta \sqrt 3$ .
Τότε, στο ορθογώνιο ΒΖΔ είναι:
$\displaystyle \varepsilon \phi \widehat{{\rm B}\Delta {\rm Z}} = \frac{{{\rm B}{\rm Z}}}{{\Delta {\rm Z}}} = \frac{{\gamma - \beta }}{{\beta \sqrt 3 }} = \frac{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)\beta - \beta }}{{\beta \sqrt 3 }} = 1 \Rightarrow \widehat{{\rm B}\Delta {\rm Z}} = 45^\circ \Rightarrow \widehat\Delta = 75^\circ$

Γιώργος Ρίζος

Τελικά δεν ήταν η ιδέα μου. Το ξανασυζητήσαμε πριν λίγες μέρες. Ήταν θέμα που έδωσε ο Μίλτος εδώ
(*)Βρήκα στον υπολογιστή μου την παραπάνω απόδειξη, αλλά δεν θυμόμουν αν την είχα αναρτήσει...

#3

Έστω και καθυστερημένα, μία λύση με ύλη Γεωμετρίας Α΄Λυκείου.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #4

Καλημερα σε ολα τα μελη και τους φιλους του

.Γιώργο και Ανδρεα σας ευχαριστώ για τις λύσεις σας!!!

Γωνία 75 μοιρών

Γωνία 75 μοιρών

Re: Γωνία 75 μοιρών

Re: Γωνία 75 μοιρών

Re: Γωνία 75 μοιρών

Μέλη σε σύνδεση