Υπολογισμός Διπλού Ολοκληρώματος μόνο με ΘΜΤ

EmperorIoannes · #1

Χρησιμοποιώντας μόνο ΘΜΤ, να αποδειχθεί η εξής ανισοισότητα:
$\displaystyle 0 \leq \int \int_{R} sin(\pi x) cos(\pi y) \leq 1/32$ , με $\displaystyle R = [0,\frac{1}{4}] \times [\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$

Το http://mathonline.wikidot.com/the-mean- ... -integrals [ΘΜΤ Δύο Μεταβλητών] μάς επιτρέπει (προφανές ότι η συνάρτηση πληροί τις προϋποθέσεις) να πούμε:
$\displaystyle \iint_D f(x, y) \: dA = A f(x_0, y_0)$

Έστω λοιπόν $\displaystyle f(x,y) = sin(\pi x) cos(\pi y)$ και $\displaystyle g(x,y) = 1$ έχουμε
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{4}} \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} sin(\pi x) cos(\pi y) dydx = f(x_0,y_0)\int_{0}^{\frac{1}{4}} \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} 1dydx$

Υπολογίζοντας τα παραπάνω ολοκληρώματα έχουμε:
$\displaystyle \dfrac{3-2 \sqrt{2}}{2 \pi^2} = f(x_0,y_0) \dfrac{1}{16}$

Και επομένως
$\displaystyle f(x_0,y_0) = \dfrac{24 - 16 \sqrt{2}}{\pi^2}$

Δεν ξέρω πώς πρέπει να συνεχίσω δυστυχώς. Αφού η

ορίζεται σε φραγμένο διάστημα και είναι συνεχής σε αυτό θα υπάρχουν:
$\displaystyle \inf f(x,y) \leq f(x_0,y_0) \leq \sup f(x,y)$

Αποδεικνύεται ότι:
$\displaystyle \inf f(x,y) = 0$ και $\displaystyle \sup f(x,y) = \dfrac{1}{2}$

Και εδώ κολλάω (αν δεχτούμε ότι πάω καλά). Παρακαλώ οποιαδήποτε βοήθεια ή υπόδειξη είναι ευπρόσδεκτη

#2

EmperorIoannes έγραψε: Παρ Απρ 03, 2020 3:28 pm Χρησιμοποιώντας μόνο ΘΜΤ, να αποδειχθεί η εξής ανισοισότητα:
$\displaystyle 0 \leq \int \int_{R} sin(\pi x) cos(\pi y) \leq 1/32$ , με $\displaystyle R = [0,\frac{1}{4}] \times [\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$

Το http://mathonline.wikidot.com/the-mean- ... -integrals [ΘΜΤ Δύο Μεταβλητών] μάς επιτρέπει (προφανές ότι η συνάρτηση πληροί τις προϋποθέσεις) να πούμε:
$\displaystyle \iint_D f(x, y) \: dA = A f(x_0, y_0)$

Έστω λοιπόν $\displaystyle f(x,y) = sin(\pi x) cos(\pi y)$ και $\displaystyle g(x,y) = 1$ έχουμε
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{4}} \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} sin(\pi x) cos(\pi y) dydx = f(x_0,y_0)\int_{0}^{\frac{1}{4}} \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} 1dydx$

Υπολογίζοντας τα παραπάνω ολοκληρώματα έχουμε:
$\displaystyle \dfrac{3-2 \sqrt{2}}{2 \pi^2} = f(x_0,y_0) \dfrac{1}{16}$

Και επομένως
$\displaystyle f(x_0,y_0) = \dfrac{24 - 16 \sqrt{2}}{\pi^2}$

Δεν ξέρω πώς πρέπει να συνεχίσω δυστυχώς. Αφού η ορίζεται σε φραγμένο διάστημα και είναι συνεχής σε αυτό θα υπάρχουν:
$\displaystyle \inf f(x,y) \leq f(x_0,y_0) \leq \sup f(x,y)$

Αποδεικνύεται ότι:
$\displaystyle \inf f(x,y) = 0$ και $\displaystyle \sup f(x,y) = \dfrac{1}{2}$

Και εδώ κολλάω (αν δεχτούμε ότι πάω καλά). Παρακαλώ οποιαδήποτε βοήθεια ή υπόδειξη είναι ευπρόσδεκτη

Ξεφύγαμε. Έχασες την ουσία. Κάνεις τα εύκολα, δύσκολα.

Αν είναι να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα, όπως έκανες, τότε τι ανάγκη έχουν τα υπόλοιπα; Εδώ βρήκες ακριβώς την τιμή του ολοκληρώματος, όποτε το άνω φράγμα που ζητάς είναι με το παραπάνω έτοιμο.

Θα δώσω μόνο υπόδειξη γιατί ότι χρειάζεται είναι ήδη γραμμένο μέσα σε που γράφεις (και που τα περισσότερα περιττεύουν).

Υπόδειξη: Έχει βρει ότι το ολοκλήρωμα ισούται $\displaystyle{ f(x_0,y_0)\int_{0}^{\frac{1}{4}} \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} 1dydx}$

α) Τι άνω φράγμα έχεις για το

(το έχεις ήδη βρει).

β) Πόσο κάνει $\displaystyle{\int_{0}^{\frac{1}{4}} \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} 1dydx}$ . Είναι ΑΜΕΣΟ ως εμβαδόν κάποιου παραλληλογράμμου.

EmperorIoannes · #3

Καταρχάς, ευχαριστώ για την γρήγορη και λεπτομερέστατη απάντηση.

α) Για την f(x_0,y_0)

βρήκα άνω φράγμα $\sup f = \dfrac{1}{2}$

β) Το διπλό ολοκλήρωμα κάνει $\dfrac{1}{16}$ ως εμβαδόν. (Το έγραψα παραπάνω)

Νομίζω κατάλαβα κάπως.

$\displaystyle f(x_0,y_0) \int_{0}^{\dfrac{1}{4}} \int_{\dfrac{1}{4}}^{\dfrac{1}{2}}1dydx \leq \sup f \dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{16}$

Και για το κάτω φράγμα (προφανές;) $\displaystyle \inf f \iint_{R} f(x,y)dydx \leq f(x_0,y_0) \int_{0}^{\dfrac{1}{4}} \int_{\dfrac{1}{4}}^{\dfrac{1}{2}}1dydx$

Και βγαίνει. Καλά πάω;

#4

EmperorIoannes έγραψε: Παρ Απρ 03, 2020 3:49 pm Καταρχάς, ευχαριστώ για την γρήγορη και λεπτομερέστατη απάντηση.

α) Για την βρήκα άνω φράγμα $\sup f = \dfrac{1}{2}$

β) Το διπλό ολοκλήρωμα κάνει $\dfrac{1}{16}$ ως εμβαδόν. (Το έγραψα παραπάνω)

Σωστά.

Συνέχισε. Μένουν λίγες λέξεις.

Υπολογισμός Διπλού Ολοκληρώματος μόνο με ΘΜΤ

Υπολογισμός Διπλού Ολοκληρώματος μόνο με ΘΜΤ

Re: Υπολογισμός Διπλού Ολοκληρώματος μόνο με ΘΜΤ

Re: Υπολογισμός Διπλού Ολοκληρώματος μόνο με ΘΜΤ

Re: Υπολογισμός Διπλού Ολοκληρώματος μόνο με ΘΜΤ

Μέλη σε σύνδεση