Τεστ Εξάσκησης (36), Μικροί

#1

ΘΕΜΑ 1
Αν a^3+b^3+c^3=4abc

και

να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

$\displaystyle{\left(\frac{a+b}{c}+\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a}\right)-(ab+ac+bc).}$

ΘΕΜΑ 2
Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο ABC

με

. Το σημείο

βρίσκεται στην πλευρά

έτσι ώστε

. Το τμήμα

είναι διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ABC

, και το σημείο

είναι το μέσο του τόξου

που δεν περιέχει το

Αν

είναι το συμμετρικό του

ως προς το

, να αποδείξετε ότι οι ευθείες F E

και

είναι κάθετες.

ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων (m, n, p),

όπου

πρώτος, για τις οποίες ισχύει (m^3+n)(n^3+m)=p^3

.

ΘΕΜΑ 4
Η συμμετρική διαφορά $\displaystyle{A\triangle B}$ δύο συνόλων

και

ορίζεται ως

$A\triangle B = (A \cup B) \setminus (A \cap B).$

Αν A_i

το σύνολο με στοιχεία όλα τα πολλαπλάσια του

που ανήκουν στο $\{1, 2, ... , 1000\},$ να προσδιορίσετε το πλήθος των στοιχείων του συνόλου

$\displaystyle{A_1 \triangle (A_2 \triangle (A_3 \triangle ... \triangle (A_{999} \triangle A_{1000}) ... )).}$

min## · #2

4.
Έστω ότι μένει ο

στο τέλος.
Κοιτάμε τα σύνολα από μέσα προς τα έξω και παρατηρούμε το εξής:
Για κάθε

που διαιρεί το

και μόνο για αυτά τα

,όταν φτάσουμε στο $A_{i}$ η κατάσταση ( ύπαρξη ή μη) του

στο μέχρι τότε σύνολο αλλάζει.Τελικά,για να μείνει το

στο τέλος ,πρέπει να έχει περιττό αριθμό διαιρετών,δηλαδή να είναι τέλειο τετράγωνο κτλ.
Άρα το τελικό σύνολο έχει $\left \lfloor \sqrt{1000} \right \rfloor$ στοιχεία.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

socrates έγραψε: Δευ Μαρ 30, 2020 12:19 am ΘΕΜΑ 1
Αν και να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

$\displaystyle{\left(\frac{a+b}{c}+\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a}\right)-(ab+ac+bc).}$

Από $\rm Euler$ είναι $\rm \sum a^3-3abc=\sum a\cdot (\sum a^2-\sum ab)=\sum a\Leftrightarrow abc=a+b+c$
Οπότε $\rm \sum \dfrac{a+b}{c}-\sum ab=\sum \dfrac{abc-c}{c}-\sum ab=\sum ab-\sum ab-3=-3$

#4

min## έγραψε: Δευ Μαρ 30, 2020 12:39 am 4.
Έστω ότι μένει ο στο τέλος.
Κοιτάμε τα σύνολα από μέσα προς τα έξω και παρατηρούμε το εξής:
Για κάθε που διαιρεί το και μόνο για αυτά τα ,όταν φτάσουμε στο $A_{i}$ η κατάσταση ( ύπαρξη ή μη) του στο μέχρι τότε σύνολο αλλάζει.Τελικά,για να μείνει το στο τέλος ,πρέπει να έχει περιττό αριθμό διαιρετών,δηλαδή να είναι τέλειο τετράγωνο κτλ.
Άρα το τελικό σύνολο έχει $\left \lfloor \sqrt{1000} \right \rfloor$ στοιχεία.

Ακριβώς! Και σε χρόνο ρεκόρ

Όπως φαίνεται και από το λινκ, το πρόβλημα είναι από την "SOUTH AFRICAN TERTIARY MATHEMATICS OLYMPIAD".
Θα ποστάρω τις πιο ενδιαφέρουσες ερωτήσεις!

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #5

socrates έγραψε: Δευ Μαρ 30, 2020 12:19 am
ΘΕΜΑ 2
Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο με . Το σημείο βρίσκεται στην πλευρά έτσι ώστε . Το τμήμα είναι διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου , και το σημείο είναι το μέσο του τόξου που δεν περιέχει το Αν είναι το συμμετρικό του ως προς το , να αποδείξετε ότι οι ευθείες και είναι κάθετες.

: 294.PNG (30.02 KiB) Προβλήθηκε 1854 φορές

Είναι $\rm \angle DSA=90^{\circ}$ άρα $\rm AD=AF$ .Τα $\rm DE,FD$ είναι κάθετα στην ίδια ευθεία και έχουν κοινή μεσοκάθετο άρα το $\rm BEDF$ είναι ισοσκελές τραπέζιο $\rm \angle DFE=\angle BDF=\angle BDF=\dfrac{\angle A}{2}=180^{\circ}-\angle EDS\Leftrightarrow FE\parallel DC\perp AC\Rightarrow FE\perp AC$

#6

socrates έγραψε: Δευ Μαρ 30, 2020 12:19 am ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων όπου πρώτος, για τις οποίες ισχύει .

To ξεκίνημα:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #7

socrates έγραψε: Δευ Μαρ 30, 2020 12:19 am ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων όπου πρώτος, για τις οποίες ισχύει .

Αφού $\rm p$ πρώτος και $\rm m^3+n,n^3+m>1$ ,θεωρούμε χωρίς βλάβη πως $\rm m\geq n$ οπότε αναγκαστικά $\rm m^3+n=p^2,n^3+m=p$ .Εύκολα βλέπουμε πως η δεν μπορεί $\rm m=n$ .
Αντικαθιστούμε το $\rm m$ και παίρνουμε πως $\rm (p-n^3)^3+n=p^2$ .Η τελευταία $\rm modp$ δίνει $\rm p\mid n^9-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)(n^4+1)$ .
Επειδή $\rm p=n^3+m$ θα είναι $\rm p>n,n-1,n+1,n^2+1$ οπότε οι περιπτώσεις είναι $\rm n=1$ ή $\rm p\mid n^4+1$ .
Αν $\rm p\mid n^4+1$ τότε $\rm n^3+m \mid n^4+1$ όμως $\rm n^3+m \mid n^4+mn$ άρα $\rm n^3+m \mid mn$ άρα $\rm mn \geq n^3+m$ που δίνει $\rm m\geq \dfrac{n^3}{n-1}$ .
Όμως $\rm mn\geq p\Leftrightarrow m^2n^2\geq p^2=m^3+n \Leftrightarrow m^2(n^2-m)\geq n>0$ δηλαδή $\rm n^2\geq m \geq \dfrac{n^3}{n-1}$ που δίνει $\rm n-1\geq n$ άτοπο.
Άρα $\rm n=1$ και έτσι $\rm p^2=p^2 \Leftrightarrow m^3+1=(1+m)^2 \Leftrightarrow m^3=m^2+2m \Leftrightarrow m(m-1)=2$ που δίνει $\rm m=2,p=3$ .

Έτσι η μόνη δεκτές λύσεις είναι οι $\rm (m,n,p)=(1,2,3),(2,1,3)$

#8

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: Κυρ Απρ 12, 2020 12:31 am
socrates έγραψε: Δευ Μαρ 30, 2020 12:19 am ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων όπου πρώτος, για τις οποίες ισχύει .
Αφού $\rm p$ πρώτος και $\rm m^3+n,n^3+m>1$ ,θεωρούμε χωρίς βλάβη πως $\rm m\geq n$ οπότε αναγκαστικά $\rm m^3+n=p^2,n^3+m=p$ .Εύκολα βλέπουμε πως η δεν μπορεί $\rm m=n$ .
Αντικαθιστούμε το $\rm m$ και παίρνουμε πως $\rm (p-n^3)^3+n=p^2$ .Η τελευταία $\rm modp$ δίνει $\rm p\mid n^9-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)(n^4+1)$ .
Επειδή $\rm p=n^3+m$ θα είναι $\rm p>n,n-1,n+1,n^2+1$ οπότε οι περιπτώσεις είναι $\rm n=1$ ή $\rm p\mid n^4+1$ .
Αν $\rm p\mid n^4+1$ τότε $\rm n^3+m \mid n^4+1$ όμως $\rm n^3+m \mid n^4+mn$ άρα $\rm n^3+m \mid mn\color{red} -1$ άρα $\rm mn \geq n^3+m$ που δίνει $\rm m\geq \dfrac{n^3}{n-1}$ .
Όμως $\rm mn\geq p\Leftrightarrow m^2n^2\geq p^2=m^3+n \Leftrightarrow m^2(n^2-m)\geq n>0$ δηλαδή $\rm n^2\geq m \geq \dfrac{n^3}{n-1}$ που δίνει $\rm n-1\geq n$ άτοπο.
Άρα $\rm n=1$ και έτσι $\rm p^2=p^2 \Leftrightarrow m^3+1=(1+m)^2 \Leftrightarrow m^3=m^2+2m \Leftrightarrow m(m-1)=2$ που δίνει $\rm m=2,p=3$ .

Έτσι η μόνη δεκτές λύσεις είναι οι $\rm (m,n,p)=(1,2,3),(2,1,3)$

Μικρό τυπογραφικό, που δεν αλλάζει την ουσία...

Μπορούμε να τελειώσουμε πιο γρήγορα αν παρατηρήσουμε ότι p=n^3+m|mn-1,

όμως

από την αρχική...

Τεστ Εξάσκησης (36), Μικροί

Τεστ Εξάσκησης (36), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (36), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (36), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (36), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (36), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (36), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (36), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (36), Μικροί

Μέλη σε σύνδεση