ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΤΥΠΟΥ Β 1965 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ (ΠΟΛ-ΦΥΣ-ΓΕΩΔ)

parmenides51 · #1

Άλλα δυο θέματα μας έμειναν και καλύψαμε το 1965 ...

Οι σχολές του ακαδημαϊκού απολυτηρίου τύπου B που εξετάστηκαν τότε στα μαθηματικά,
άνηκαν μετά στον Πολυτεχνικό, Φυσικομαθηματικό και Γεωπονοδασολογικό Κύκλο .

1. Να γίνουν λογιστές δια των λογαρίθμων οι παραστάσεις $\displaystyle{\eta\mu A-\eta\mu B}$ και $\displaystyle{\eta\mu A-\sigma \upsilon \nu B}$

2. Σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ δίνονται $\displaystyle{\eta\mu A=\frac{4}{5} , \sigma \upsilon \nu B=\frac{12}{13}}$ και $\displaystyle{\gamma=39}$ μέτρα.
Να βρεθεί η πλευρά $\displaystyle{\alpha}$ και το εμβαδόν $\displaystyle{E}$ .

3. Θεωρούμε τριγωνομετρικό κύκλο του οποίου τα τόξα $\displaystyle{x}$ μετριούνται σε ακτίνια.
Έστω τρεις πραγματικοί και θετικοί αριθμοί $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ τέτοιοι ώστε $\displaystyle{\alpha-\beta>0}$ .
Να δειχθεί οτι η εξίσωση $\displaystyle{\gamma \eta\mu^2x-\beta\eta\mu x+\alpha=0}$ δεν έχει καμία λύση ως προς $\displaystyle{x}$ .

hlkampel · #2

parmenides51 έγραψε: 3. Θεωρούμε τριγωνομετρικό κύκλο του οποίου τα τόξα $\displaystyle{x}$ μετριούνται σε ακτίνια.
Έστω τρεις πραγματικοί και θετικοί αριθμοί $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ τέτοιοι ώστε $\displaystyle{\alpha-\beta>0}$ .
Να δειχθεί οτι η εξίσωση $\displaystyle{\gamma \eta\mu^2x-\beta\eta\mu x+\alpha=0}$ δεν έχει καμία λύση ως προς $\displaystyle{x}$ .

Για κάθε $x \in R$ ισχύει:

$0 \le \eta {\mu ^2}x \le 1\mathop \Leftrightarrow \limits^{ \cdot \gamma > 0} 0 \le \gamma \eta {\mu ^2}x \le \gamma \;\left( 1 \right)$

$- 1 \le \eta \mu x \le 1\mathop \Leftrightarrow \limits^{ \cdot \left( { - \beta } \right) < 0} \beta \ge - \beta \eta \mu x \ge - \beta \Leftrightarrow - \beta \le - \beta \eta \mu x \le \beta \;\left( 2 \right)$

Από $\left( 1 \right) + \left( 2 \right) \Rightarrow - \beta \le \gamma \eta {\mu ^2}x - \beta \eta \mu x \le \beta + \gamma \mathop \Leftrightarrow \limits^{ + \alpha }$

$\alpha - \beta \le \gamma \eta {\mu ^2}x - \beta \eta \mu x + \alpha \le \alpha + \beta + \gamma \;\left( 3 \right)$

Αφού είναι $\alpha + \beta + \gamma > 0$ και $\alpha - \beta > 0$ από τη σχέση $\left( 3 \right)$ προκύπτει ότι:

$\gamma \eta {\mu ^2}x - \beta \eta \mu x + \alpha > 0$ για κάθε $x \in R$ δηλαδή η εξίσωση $\gamma \eta {\mu ^2}x - \beta \eta \mu x + \alpha = 0$ είναι αδύνατη.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

parmenides51 έγραψε: 2. Σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ δίνονται $\displaystyle{\eta\mu A=\frac{4}{5} , \sigma \upsilon \nu B=\frac{12}{13}}$ και $\displaystyle{\gamma=39}$ μέτρα.
Να βρεθεί η πλευρά $\displaystyle{\alpha}$ και το εμβαδόν $\displaystyle{E}$ .

Δεν πρόκειται να σας κουράσω με την αναγραφή πολλών πράξεων....

Από τα πολύ βασικά της σχολικής τριγωνομετρίας προκύπτει εύκολα ότι
$\eta \mu B=\frac{5}{13}$

και ότι

ή $\sigma \upsilon \nu A=-\frac{3}{5}$ , κάτι που σημαίνει ότι η $\hat{A}$ είναι αμβλεία

ή $\sigma \upsilon \nu A=\frac{3}{5}$ , κάτι που σημαίνει ότι η $\hat{A}$ είναι οξεία.

Θα εξετάσουμε και τις δύο περιπτώσεις.

Ας ξεκινήσουμε με την περίπτωση $\sigma \upsilon \nu A=-\frac{3}{5}$

Αν θυμηθούμε το θεώρημα των προβολών , έχουμε ότι $\gamma =\alpha \sigma \upsilon \nu B+\beta\sigma \upsilon \nu A$

δηλαδή

$39 =\alpha \frac{12}{13} -\beta \frac{3}{5}$ (1)

Aς θυμηθούμε τώρα και το νόμο των ημιτόνων , θα έχουμε

$\frac{\beta }{\alpha }=\frac{\eta \mu B}{\eta \mu A}\Rightarrow$

$\frac{\beta }{\alpha }=\frac{\frac{5}{13}}{\frac{4}{5}}\Rightarrow$

$\frac{\beta }{\alpha }=\frac{25}{52}$ (2)

Έγραψα πριν ότι δε σκοπεύω να σας κουράσω με πράξεις , λύνουμε λοιπόν το σύστημα των (1)

και

, για ένα γραμμικό σύστημα πρόκειται , καταλήγουμε ότι

$\alpha =\frac{676}{11}$ ( και $\beta =\frac{325}{11}$ )

$\left(AB\Gamma \right)=\frac{1}{2}\beta \gamma \eta \mu A=\frac{1}{2}\frac{325}{11}39\frac{4}{5}=\frac{5070}{11}$

ή αν δε θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε το $\beta$ , μπορούμε να γράψουμε

$\left(AB\Gamma \right)=\frac{1}{2}a \gamma \eta \mu B=\frac{1}{2}\frac{676}{11}39\frac{5}{13}=\frac{5070}{11}$

Ας δούμε και την περίπτωση $\sigma \upsilon \nu A=\frac{3}{5}$ ...

Η σκέψη μένει ίδια , η εξίσωση $\frac{\beta }{\alpha }=\frac{25}{52}$ (2)

εξακολουθεί να ισχύει και το μόνο που αλλάζει είναι η εξίσωση που προκύπτει από το θεώρημα των προβολών , γίνεται

$39 =\alpha \frac{12}{13} +\beta \frac{3}{5}$ (1')

Aν λύσουμε το σύστημα των (1')

και

βρίσκουμε ότι

$\alpha =\frac{676}{21}$ ( και $\beta =\frac{325}{21}$ )

$\left(AB\Gamma \right)=\frac{1}{2}\beta \gamma \eta \mu A=\frac{1}{2}\frac{325}{21}39\frac{4}{5}=\frac{1690}{7}$

ή αν δε θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε το $\beta$ , μπορούμε να γράψουμε

$\left(AB\Gamma \right)=\frac{1}{2}a \gamma \eta \mu B=\frac{1}{2}\frac{676}{21}39\frac{5}{13}=\frac{1690}{7}$

Ένας σημερινός μαθητής τι κέρδος θα έχει αν μελετήσει αυτό το θέμα;
Να δει το θεώρημα των προβολών , στο σχολείο είναι απίθανο να το δει ....

#4

Καλησπέρα σε όλους!

Για τον φίλο Τηλέμαχο, μια διαφορετική λύση με Αναλυτική Γεωμετρία. Αναρωτιέμαι (ειλικρινά το λέω) αν μια τέτοια λύση θα γινόταν αποδεκτή στις τότε εισαγωγικές. Γνωρίζει κανείς;

: 11-10-2014 Geometry.png (30.19 KiB) Προβλήθηκε 5203 φορές

Είναι $\displaystyle \sigma \upsilon \nu {\rm B} = \frac{{12}}{{13}} \Rightarrow \varepsilon \varphi {\rm B} = \pm \frac{5}{{12}}$

Είναι $\displaystyle 0^\circ < \widehat B < 180^\circ$ και αφού $\displaystyle \sigma \upsilon \nu {\rm B} = \frac{{12}}{{13}} > 0$ είναι $\displaystyle 0^\circ < \widehat {\rm B} < 90^\circ$ , οπότε και $\displaystyle \varepsilon \varphi {\rm B} > 0$ , άρα $\displaystyle \varepsilon \varphi {\rm B} = \frac{5}{{12}}$

Είναι $\displaystyle \eta \mu {\rm A} = \frac{4}{5} \Rightarrow \varepsilon \varphi {\rm A} = \pm \frac{4}{3}$

Έστω $\displaystyle 0^\circ < \widehat {\rm A} < 180^\circ$ , οπότε $\displaystyle \varepsilon \varphi {\rm A} = \frac{4}{3}$ .

Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με κέντρο B(0,0)

παίρνουμε

και κατασκευάζουμε τις ευθείες $\displaystyle y = \frac{5}{{12}}x$ και $\displaystyle y = - \frac{4}{3}\left( {x - 39} \right)$ που ορίζουν τις BC, AC

αντίστοιχα και τέμνονται στο $\displaystyle C\left( {\frac{{208}}{7},\;\frac{{260}}{{21}}} \right)$

Οπότε $\displaystyle \left( {BC} \right) = \sqrt {{{\left( {\frac{{208}}{7}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{260}}{{21}}} \right)}^2}} = ...$ και $\displaystyle \left( {ABC} \right) = \frac{1}{2} \cdot 39 \cdot \frac{{260}}{{21}} = \frac{{1690}}{7}$

Έστω $\displaystyle 90^\circ < \widehat {\rm A} < 180^\circ$ , οπότε $\displaystyle \varepsilon \varphi {\rm A} = - \frac{4}{3}$ .

Τότε κατασκευάζουμε τις ευθείες $\displaystyle y = \frac{5}{{12}}x$ και $\displaystyle y = \frac{4}{3}\left( {x - 39} \right)$ που ορίζουν τις BC, AC

αντίστοιχα και τέμνονται στο $\displaystyle C'\left( {\frac{{624}}{{11}},\;\frac{{260}}{{11}}} \right)$

Οπότε $\displaystyle \left( {BC'} \right) = \sqrt {{{\left( {\frac{{624}}{{11}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{260}}{{11}}} \right)}^2}} = ...$ και $\displaystyle \left( {ABC'} \right) = \frac{1}{2} \cdot 39 \cdot \frac{{260}}{{11}} = \frac{{5070}}{{11}}$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #5

Γιώργος Ρίζος έγραψε:Καλησπέρα σε όλους!

Για τον φίλο Τηλέμαχο, μια διαφορετική λύση με Αναλυτική Γεωμετρία. Αναρωτιέμαι (ειλικρινά το λέω) αν μια τέτοια λύση θα γινόταν αποδεκτή στις τότε εισαγωγικές. Γνωρίζει κανείς;

Aγαπητέ Γιώργο

Έχω δει εδώ και ώρα την πετυχημένη λύση σου και θέλω να σ' ευχαριστήσω γι' αυτήν.
Στο ερώτημα που θέτεις δεν απαντώ αφού το 1965 ήμουν αγέννητος κι έτσι δε γίνεται να 'χω γνώμη...
Έχω αναρωτηθεί κι εγώ πολλές φορές το ίδιο με αφορμή τα παλιά θέματα.
Ίσως κάποιος που τότε ήταν υποψήφιος να μπορεί να μας δώσει μια πιο βαρύνουσα άποψη , υπάρχουν ακόμα πολλοί απ' αυτούς που μπήκαν στα ΑΕΙ τη δεκαετία του εξήντα.
Αυτό που φαντάζομαι είναι ότι και σ' εκείνη την εποχή , όπως και σε κάθε εποχή ,θα υπήρχαν εξεταστές με ευρεία αντίληψη που θα έκαναν δεκτή μια λύση εκτός ύλης. Απ' την άλλη , σίγουρα θα υπήρχαν εξεταστές που θα σκάλωναν στο γράμμα του νόμου και των εγκυκλίων. Αν ένα παιδί έγραφε λύση με αναλυτική γεωμετρία - κάτι που θα 'ταν πολύ σπάνιο - θα έπρεπε να εύχεται το γραπτό του να πέσει σε εξεταστές ευρείας αντίληψης.
Με χαρά θα διάβαζα τεκμηριωμένες απόψεις στον προβληματισμό που έθεσες.

#6

Καλησπέρα Τηλέμαχε και Γιώργο.

Αν και το 1965 τελείωνα το Δημοτικό, γνωρίζω ότι δεν υπήρχε Αναλυτική Γεωμετρία εκείνη την εποχή, τουλάχιστον όχι με τη μορφή που γίνεται σήμερα στα σχολεία. Ωστόσο κάναμε τότε κάποια κεφάλαια διανυσμάτων με τον τίτλο "Στοιχεία Διανυσματικού Λογισμού", αλλά ήταν πάντα εκτός ύλης. Χρησιμοποιούσαμε όμως στη Γεωμετρία προσημασμένα ευθύγραμμα τμήματα και τα συμβολίζαμε π.χ $\displaystyle{\overline {AB} }$ . Για παράδειγμα αν

είναι το ύψος ορθογωνίου τριγώνου $ABC(\widehat A=90^0)$ , γράφαμε: $\displaystyle{{\overline {AD} ^2} = - \overline {DB} \cdot \overline {DC} }$ .
Ίσως κάποιος που τελείωνε τότε το Γυμνάσιο, να είναι πιο αρμόδιος να απαντήσει. Παρόλα αυτά δεν μπορώ να φανταστώ, πώς θα μπορούσε κάποιος μαθητής να έχει διδαχτεί Αναλυτική Γεωμετρία εκείνη την εποχή.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #7

parmenides51 έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 17, 2013 11:14 pm

3. Θεωρούμε τριγωνομετρικό κύκλο του οποίου τα τόξα $\displaystyle{x}$ μετριούνται σε ακτίνια.
Έστω τρεις πραγματικοί και θετικοί αριθμοί $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ τέτοιοι ώστε $\displaystyle{\alpha-\beta>0}$ .
Να δειχθεί οτι η εξίσωση $\displaystyle{\gamma \eta\mu^2x-\beta\eta\mu x+\alpha=0}$ δεν έχει καμία λύση ως προς $\displaystyle{x}$ .

Aς δούμε μια αντιμετώπιση του θέματος...

Αν $\beta ^{2}-4\alpha \gamma < 0$ τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις.

Ας εξετάσουμε την περίπτωση $\beta ^{2}-4\alpha \gamma \geq 0$ . Tότε υπάρχουν δύο πραγματικές λύσεις .

Το γινόμενο των λύσεων είναι $\displaystyle P=\frac{\alpha }{\gamma }> 0$ , άρα οι λύσεις είναι ομόσημες.

Το άθροισμα των λύσεων είναι $\displaystyle S=\frac{\beta }{\gamma }> 0$ , άρα οι λύσεις είναι θετικές.

Ας τις ονομάσουμε αυτές τις λύσεις $x_{1},x_{2}$ και ας μην ξεχνάμε ότι παριστάνουν τιμές ημιτόνου , άρα ισχύει ότι

$-1 \leq x_{1}\leq 1 , -1 \leq x_{2}\leq 1$

Αφού όμως $\alpha>\beta$ μπορούμε να γράψουμε ότι P>S

Έτσι $x_{1}+x_{2}>x_{1} \cdot x_{2}$

Αυτό μας οδηγεί στις ανισότητες

$x_{1}\cdot \left (x_{2}-1 \right )> x_{2}$

$x_{2}\cdot \left (x_{1}-1 \right )> x_{1}$

Και οι δύο ανισότητες είναι άτοπες γιατί το αριστερό μέλος τους είναι μη θετικό ενώ το δεξί θετικό.

'Ετσι η εξίσωση δεν έχει λύση ως προς

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

parmenides51 έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 17, 2013 11:14 pm

3. Θεωρούμε τριγωνομετρικό κύκλο του οποίου τα τόξα $\displaystyle{x}$ μετριούνται σε ακτίνια.
Έστω τρεις πραγματικοί και θετικοί αριθμοί $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ τέτοιοι ώστε $\displaystyle{\alpha-\beta>0}$ .
Να δειχθεί οτι η εξίσωση $\displaystyle{\gamma \eta\mu^2x-\beta\eta\mu x+\alpha=0}$ δεν έχει καμία λύση ως προς $\displaystyle{x}$ .

Θέτουμε $\displaystyle f(t)={\gamma t^2-\beta t+\alpha}$

Είναι $\displaystyle f(0)f(1)>0$ .

Αρα η και οι δύο ρίζες είναι στο (0,1)

η και οι δύο είναι εκτός η δεν είναι πραγματικές.

Αλλά αν είναι πραγματικές τότε είναι θετικές και έχουν άθροισμα μικρότερο από το γινόμενο τους.

Αν λοιπόν οι ρίζες είναι πραγματικές δεν μπορεί να βρίσκονται στο [-1,1]

Αρα είναι αδύνατη.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #9

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 11, 2014 6:38 pm
Καλησπέρα σε όλους!

Αναρωτιέμαι (ειλικρινά το λέω) αν μια τέτοια λύση θα γινόταν αποδεκτή στις τότε εισαγωγικές. Γνωρίζει κανείς;

Γνωρίζω ότι γύρω στο 60 στις εισαγωγικές για το ΕΜΠ τα γραπτά τα διόρθωναν οι διδάσκοντες στο ΕΜΠ.
Αυτοί έβαζαν και τα θέματα.
Από μαρτυρία ανθρώπου που έδινε τότε καταθέτω τα εξής.
Ενώ είχε γράψει μόνο ένα θέμα πήρε σχεδόν άριστα.
Το αποδίδει ότι το είχε γράψει πολύ καλά και είχε κάνει πολύ καλή διερεύνηση.
Συμπεραίνω ότι μια τέτοια λύση με ύλη που δεν ήταν διδακτέα θα είχε πολύ μεγαλύτερη βαθμολογία από
αυτήν που θα αναλογούσε στο θέμα.

ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΤΥΠΟΥ Β 1965 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ (ΠΟΛ-ΦΥΣ-ΓΕΩΔ)

ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΤΥΠΟΥ Β 1965 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ (ΠΟΛ-ΦΥΣ-ΓΕΩΔ)

Re: ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΤΥΠΟΥ Β 1965 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ (ΠΟΛ-ΦΥΣ-ΓΕΩΔ)

Re: ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΤΥΠΟΥ Β 1965 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ (ΠΟΛ-ΦΥΣ-ΓΕΩΔ)

Re: ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΤΥΠΟΥ Β 1965 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ (ΠΟΛ-ΦΥΣ-ΓΕΩΔ)

Re: ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΤΥΠΟΥ Β 1965 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ (ΠΟΛ-ΦΥΣ-ΓΕΩΔ)

Re: ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΤΥΠΟΥ Β 1965 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ (ΠΟΛ-ΦΥΣ-ΓΕΩΔ)

Re: ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΤΥΠΟΥ Β 1965 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ (ΠΟΛ-ΦΥΣ-ΓΕΩΔ)

Re: ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΤΥΠΟΥ Β 1965 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ (ΠΟΛ-ΦΥΣ-ΓΕΩΔ)

Re: ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΤΥΠΟΥ Β 1965 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ (ΠΟΛ-ΦΥΣ-ΓΕΩΔ)

Μέλη σε σύνδεση