Υπάρχει λύση στην a^n+b^n+c^n=d^n για n = 8, 9,...;

#1

Θέλω να ρωτήσω αν ξέρει κανένας αριθμητικό παράδειγμα που είναι λύση στους ακεραίους της Διοφαντικής

$a\,^n+b\,^n+c\,^n=d\,^n$

για κάποιο $n\ge 8$ . Θα πω αργότερα τον λόγο που το ρωτάω.

Για n=3

έχουμε βέβαια το 3^3+4^3+5^3=6^3

. Για

έχουμε παράδειγμα από τον Elkies, 2682440^4 + 15365639^4 + 18796760^4 = 20615673^4

, που έλυσε αρνητικά σχετική εικασία του Euler (σήμερα είναι γνωστά και μικρότερα παραδείγματα).

Αυτό που ζητώ είναι περιπτώσεις για μεγάλα

(από

και πάνω). Πρόχειρο ψάξιμο στο ίντερνετ δεν με διαφώτισε αλλά είναι σαφές
ότι παραδείγματα σε τέτοιου τύπου ερωτήσεις απαντώνται με υπολογιστή καθώς τα νούμερα είναι
συνήθως τεράστια. Ξέρω ότι υπάρχει εκτενής έρευνα στο θέμα καθώς και ειδικά περιοδικά όπως το Mathematics of Computation, που ασχολούνται
με τέτοιου είδους υπολογισμούς. Κάποια τα φυλλομέτρησα.

bouzoukman · #2

Καλησπέρα κ. Λάμπρου,

Το πρόβλημα που ρωτάτε έχει πάρα πολύ ενδιαφέρον αλλά νομίζω ότι δεν υπάρχει κάποια σοβαρή εξέλιξη στο θέμα μετά από τη δουλειά του Elkies. Αν έχετε πρόσβαση στο MathScinet θα δείτε ότι κανένα από τα άρθρα που έχει σαν reference το άρθρο του Elkies δεν αναφέρει κάποιο αποτέλεσμα με $n\geq 8$ .

Για το μόνο που ξέρω ότι υπάρχει κάποια εξέλιξη σχετικά πρόσφατα είναι για ένα παρόμοιο πρόβλημα όπου αντί για τέλεια δύναμη στο δεξιό μέλος έχουμε έναν φιξαρισμένο αριθμό. Αυτό οφείλεται σε δουλειά του Andrew Booker εδώ. Γενικά σε τέτοιες επιφάνειες υπάρχουν κάποιες εικασίες για την πυκνότητα των λύσεων που αν δεν κάνω λάθος οφείλονται στον Heath-Brown.

Θα γινόμουν αδιάκριτος να ρωτήσω γιατί σας ενδιαφέρουν?

#3

Πρώτα απ' όλα ευχαριστώ θερμά που ασχολήθηκες.

bouzoukman έγραψε: Τετ Απρ 22, 2020 8:24 pm Θα γινόμουν αδιάκριτος να ρωτήσω γιατί σας ενδιαφέρουν?

Κάποιος, ας μείνει ανώνυμος για την ώρα, μου έστειλε ένα άρθρο του δημοσιευμένο σε ξένο περιοδικό στο οποίο ισχυρίζεται ότι έχει απόδειξη με απλά και στοιχειώδη μέσα του εξής νέου θεωρήματος.

Η Διοφαντική εξίσωση $a_1^n+a_2^n+...+a_{m-1}^n = a_m^n$ δεν έχει λύση αν $n\ge m^2-2m$ .

Έχω ως κανόνα να διαβάζω όλες τις εργασίες που μου στέλνουν. Πριν όμως μπω στις λεπτομέρειες του κειμένου (δεδομένου ότι αυτό τον καιρό έχω πάρα πολύ φόρτο εργασίας) και (ενδεχομένως) σπαταλήσω άσκοπα τον χρόνο μου, έκανα τις εξής σκέψεις:

Για m=3

το θεώρημα (αν αληθεύει) λέει ότι για $n\ge3^2-2\cdot 3 =3$ η εξίσωση a^n+b^n=c^n

δεν έχει λύση στους ακεραίους.

Φυσικά θα γνωρίσατε ότι το προηγούμενο είναι ο Τελευταίο Θεώρημα του Fermat.

Επειδή έχω σχεδόν απόλυτη δυσπιστία σε τέτοιου είδους κείμενα (έχω δει πάρα πολλά και όλα είναι λάθος) είμαι επιφυλακτικός. Στην συγκεκριμένη περίπτωση σκέφθηκα να δω πρώτα απ' όλα τι συμβαίνει στην αμέσως επόμενη περίπτωση, δηλαδή την m=4

. Σε αυτή την περίπτωση το θεώρημα λέει ότι για $n\ge 4^2-2\cdot 4= 8$ , η εξίσωση $a^n+b^n+c^n=d\,^n$ δεν έχει λύση.

Το ερώτημα που έθεσα στο φόρουμ είναι, ακριβώς, αν η εν λόγω εξίσωση έχει λύση, δηλαδή αν υπάρχει έτοιμο αντιπαράδειγμα στο θεώρημα. Αν ναι, γλίτωσα τον κόπο της ανάγνωσης. Αλλιώς θα περιμένω να δω ιδίοις όμμασι στοιχειώδη, απλή και ολιγοσέλιδη απόδειξη του Τελευταίου Θεωρήματος του Fermat. Να το δω και να μην το πιστέψω, αλλά ο ίδιος δεν πιστεύω στα θαύματα. Θα είμαι ευτυχής να διαψευσθώ.

Al.Koutsouridis · #4

Υπάρχη η σελίδα http://euler.free.fr/ που ασχολείται με τέτοιου είδους εξισώσεις, όπου υπάρχει η εικασία Lander, Parkin kai Selfridge όπως την αναφαίρει. Η εξίσωση

$a_{1}^k +a_{2}^k+ \ldots +a_{m}^k =b_{1}^k+b_{2}^k+ \ldots + b_{n}^k$

δεν είναι επιλύσιμη αν m+n<k

. Στην περίπτωσή μας ισοδύναμο με αυτό που ανέφερε παραπάνω ο κ.Λάμπρου. Βέβαια στον παραπάνω σύνδεσμο εξετάζει την εξίσωση για θετικούς ακέραιους.

bouzoukman · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τετ Απρ 22, 2020 9:46 pm Πρώτα απ' όλα ευχαριστώ θερμά που ασχολήθηκες.

Αυτός δεν είναι ο λόγος ύπαρξης της ομάδας? Με ενδιαφέρει πάρα πολύ η θεωρία αριθμών και ιδιαίτερα οι Διοφαντικές εξισώσεις.

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τετ Απρ 22, 2020 9:46 pm Για το θεώρημα (αν αληθεύει) λέει ότι για $n\ge3^2-2\cdot 3 =3$ η εξίσωση δεν έχει λύση στους ακεραίους.

Φυσικά θα γνωρίσατε ότι το προηγούμενο είναι ο Τελευταίο Θεώρημα του Fermat.

Προφανώς και το γνωρίζω. Θα μου επιτρέψετε κι εμένα να είμαι πάρα πολύ δύσπιστος στην ύπαρξη μιας στοιχειώδους λύσης του FLT! Αν και η απόδειξη και δουλειά του Wiles θεωρείται κλασική στις μέρες μας περιέχει πράγματα τα οποία περιλαμβάνουν έρευνα ίσως των μεγαλύτερων αριθμοθεωρητικών του 2ου μισού του προηγούμενου αιώνα. Θα ήμουν κι εγώ πολύ επιφυλακτικός πόσο μάλλον όταν πρόκειται και για γενικότερο αποτέλεσμα.

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τετ Απρ 22, 2020 9:46 pm Επειδή έχω σχεδόν απόλυτη δυσπιστία σε τέτοιου είδους κείμενα (έχω δει πάρα πολλά και όλα είναι λάθος) είμαι επιφυλακτικός. Στην συγκεκριμένη περίπτωση σκέφθηκα να δω πρώτα απ' όλα τι συμβαίνει στην αμέσως επόμενη περίπτωση, δηλαδή την . Σε αυτή την περίπτωση το θεώρημα λέει ότι για $n\ge 4^2-2\cdot 4= 8$ , η εξίσωση $a^n+b^n+c^n=d\,^n$ δεν έχει λύση.

Το ερώτημα που έθεσα στο φόρουμ είναι, ακριβώς, αν η εν λόγω εξίσωση έχει λύση, δηλαδή αν υπάρχει έτοιμο αντιπαράδειγμα στο θεώρημα. Αν ναι, γλίτωσα τον κόπο της ανάγνωσης. Αλλιώς θα περιμένω να δω ιδίοις όμμασι στοιχειώδη, απλή και ολιγοσέλιδη απόδειξη του Τελευταίου Θεωρήματος του Fermat. Να το δω και να μην το πιστέψω, αλλά ο ίδιος δεν πιστεύω στα θαύματα. Θα είμαι ευτυχής να διαψευσθώ.

Χωρίς να είμαι 100% σίγουρος έχω την αίσθηση ότι οι εικασίες λένε πως αν υπάρχουν λύσεις τότε αυτές θα είναι μεγάλες και το μέγεθός τους θα αυξάνεται όσο αυξάνεται το n. Σε κάθε περίπτωση αν σας ενδιαφέρει μπορώ να ρωτήσω έναν φίλο μου που είναι πιο σχετικός. Θα είχε ενδιαφέρον αν βάζατε την ίδια ερώτηση στο MathOverflow.

#6

bouzoukman έγραψε: Τετ Απρ 22, 2020 10:35 pm Προφανώς και το γνωρίζω. Θα μου επιτρέψετε κι εμένα να είμαι πάρα πολύ δύσπιστος στην ύπαρξη μιας στοιχειώδους λύσης του FLT! Αν και η απόδειξη και δουλειά του Wiles θεωρείται κλασική στις μέρες μας περιέχει πράγματα τα οποία περιλαμβάνουν έρευνα ίσως των μεγαλύτερων αριθμοθεωρητικών του 2ου μισού του προηγούμενου αιώνα. Θα ήμουν κι εγώ πολύ επιφυλακτικός πόσο μάλλον όταν πρόκειται και για γενικότερο αποτέλεσμα.

Της ίδιας άποψης είμαι και εγώ. Απλά αυτό τον καιρό δεν έχω τον χρόνο να το δω. Πάντως αυτά που βλέπω στο άρθρο είναι μάλλον απλά και ρηχά, τουλάχιστον για ένα αποτέλεσμα τέτοιας ιστορίας και βεληνεκούς. Θα σου στείλω με Π.Μ. τον σύνδεσμο της εργασίας για να την δεις, εάν το επιθυμείς. Αργά ή γρήγορα θα το κάνω και εγώ, αλλά αν με προλάβεις, τόσο το καλύτερο. Ένας ακόμη λόγος που δεν το κάνω τώρα είναι γιατί δεν έχω printer στο σπίτι (όπου είμαι κλεισμένος λόγω των ημερών) και δεν με βολεύει να διαβάζω εργασίες επί της οθόνης, όσο απλές και αν είναι.

GreenMosquito · #7

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τετ Απρ 22, 2020 9:46 pm
Η Διοφαντική εξίσωση $a_1^n+a_2^n+...+a_{m-1}^n = a_m^n$ δεν έχει λύση αν $n\ge m^2-2m$ .

Πιστεύω ότι το παραπάνω δεν ισχύει, αφού για την ειδική περίπτωση όπου m=2

, η παραπάνω Διοφαντική εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως:

$a{_{1}}^{n}=a{_{2}}^{n}$

η οποία δεν έχει λύση για $n\geqslant 2^{2}-2\cdot 2=0$ .

Προφανώς, η παραπάνω εξίσωση έχει, για παράδειγμα, την παραμετρική λύση:

$(a_{1},a_{2})=(b,b)$

όπου ο

είναι ένας θετικός ακέραιος.

#8

GreenMosquito έγραψε: Πέμ Απρ 23, 2020 1:29 am Πιστεύω ότι το παραπάνω δεν ισχύει, αφού για την ειδική περίπτωση όπου ,

Σωστά μεν αλλά για να μην αδικώ τον συγγραφέα του αρχικού άρθρου σε αυτό το σημείο (αλλού είναι το πρόβλημα), έχει τον περιορισμό $m\ge 3$ . Ξέχασα να το επισημάνω δεδομένου ότι την θεώρησα αυτονόητο αφού για $m=1\,\ m=2$ έχουμε τετριμμένες περιπτώσεις.

#9

Τελικά έκανα τον κόπο και διάβασα την εργασία. Όπως ήταν αναμενόμενο, έχει σφάλματα που την ακυρώνουν. Το μαθηματικό της περιεχόμενο είναι μάλλον ρηχό, και προσπαθεί να σκοτώσει ελέφαντα με... παιχνιδάκι νεροπίστολο. Αμ δε.

Έχω μία αμηχανία στο να αναρτήσω το λινκ με την εν λόγω εργασία για να την δείτε (είναι σε δημόσια θέα, σε περιοδικό τύπου Open source) αν δεν αλληλογραφήσω πρώτα με τον συγγραφέα (ίσον Έλληνας αλλά η εργασία είναι στα Αγγλικά). Θα δω.

Ελπίζω να μην ανοίγω περιπέτειες για τον εαυτό μου. Στο φόρουμ έχουμε πικρή εμπειρία με τέτοιες ιστορίες: Οι παλαιότεροι θα θυμούνται την περίπτωση με τα σημεία τομής της $y=f^{-1}(x)$ και της y=x

, και όχι μόνο...

Υπάρχει λύση στην a^n+b^n+c^n=d^n για n = 8, 9,...;

Υπάρχει λύση στην a^n+b^n+c^n=d^n για n = 8, 9,...;

Re: Υπάρχει λύση στην a^n+b^n+c^n=d^n για n = 8, 9,...;

Re: Υπάρχει λύση στην a^n+b^n+c^n=d^n για n = 8, 9,...;

Re: Υπάρχει λύση στην a^n+b^n+c^n=d^n για n = 8, 9,...;

Re: Υπάρχει λύση στην a^n+b^n+c^n=d^n για n = 8, 9,...;

Re: Υπάρχει λύση στην a^n+b^n+c^n=d^n για n = 8, 9,...;

Re: Υπάρχει λύση στην a^n+b^n+c^n=d^n για n = 8, 9,...;

Re: Υπάρχει λύση στην a^n+b^n+c^n=d^n για n = 8, 9,...;

Re: Υπάρχει λύση στην a^n+b^n+c^n=d^n για n = 8, 9,...;

Μέλη σε σύνδεση