Κυματική εξίσωση

MathSc · #1

Γεια σας! Προσπαθώ να λύσω αυτό εδώ το πρόβλημα.
$u_{tt} - u_{xx} = 2 ( 1 - \frac{2x}{\pi})$ for $\left | t \right | < \infty , 0 < x < \pi$
$u(t,0) = u(t, \pi) = t^{2}$ for $\left | t \right | < \infty$

$u(0,x) = \sin(x) , u_{t}(0,x) = \sin(x)$ for $0 < x < \pi$ .

Έθεσα $v(t,x) = u(t,x) - ( 1 - \frac{x}{\pi})t^{2} - \frac{x}{\pi}t^{2} \Leftrightarrow$ $\displaystyle{\Leftrightarrow v(t,x) = u(t,x) - t^{2}}$
Τώρα $v_{t} = u_{t} -2t, v_{x} = u_{x}, v_{tt} = u_{tt} - 2, v_{xx} = u_{xx}$
άρα έχω
$\displaystyle{v_{tt} - v_{xx} = u_{tt} - 2 - u_{xx} = - \frac{4x}{\pi}}$
Το καινούριο πρόβλημα είναι

$\displaystyle{v_{tt} - v_{xx} = - \frac{4x}{\pi}}$ ,
$\displaystyle{v(t,0) = v(t, \pi) = 0}$ ,
$\displaystyle{v(0,x)= \sin(x) , v_{t}(0,x) = \sin(x)}$

Έχω διαβάσει για τις σειρές Fourier και τους συντελεστές Fourier που χρησιμοποιούμε σε τέτοια προβλήματα αλλά δυσκολεύομαι να το επιλύσω αφού έχω $f(t,x) = - \frac{4x}{\pi}$ .

Christos.N · #2

MathSc έγραψε: Τρί Μάιος 05, 2020 6:01 pm Το καινούριο πρόβλημα είναι

$\displaystyle{v_{tt} - v_{xx} = - \frac{4x}{\pi}}$ ,
$\displaystyle{v(t,0) = v(t, \pi) = 0}$ ,
$\displaystyle{v(0,x)= \sin(x) , v_{t}(0,x) = \sin(x)}$

Έχω διαβάσει για τις σειρές Fourier και τους συντελεστές Fourier που χρησιμοποιούμε σε τέτοια προβλήματα αλλά δυσκολεύομαι να το επιλύσω αφού έχω $f(t,x) = - \frac{4x}{\pi}$ .

Ως προς τον χρόνο

$F\{u(.,t)\}=F(z)$

και $F\{u_{tt}\}=-z^2F(z),~~F\{u_{xx}\}=F''(z),~~ F\{\dfrac{4x}{\pi}\}=\dfrac{4x}{\pi} \delta(z)$

καταλήγεις δηλαδή στην

$F''(z)+z^2F(z)=\dfrac{4x}{\pi} \delta(z)$ ;;;

Christos.N · #3

Νομίζω αν δοκιμάσουμε την αντικατάσταση

$\frac{x}{\pi} \to z$
και
v=u-t^2 z

προκύπτει κάτι πιο απλό

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

MathSc έγραψε: Τρί Μάιος 05, 2020 6:01 pm Γεια σας! Προσπαθώ να λύσω αυτό εδώ το πρόβλημα.
$u_{tt} - u_{xx} = 2 ( 1 - \frac{2x}{\pi})$ for $\left | t \right | < \infty , 0 < x < \pi$
$u(t,0) = u(t, \pi) = t^{2}$ for $\left | t \right | < \infty$

$u(0,x) = \sin(x) , u_{t}(0,x) = \sin(x)$ for $0 < x < \pi$ .

Έθεσα $v(t,x) = u(t,x) - ( 1 - \frac{x}{\pi})t^{2} - \frac{x}{\pi}t^{2} \Leftrightarrow$ $\displaystyle{\Leftrightarrow v(t,x) = u(t,x) - t^{2}}$
Τώρα $v_{t} = u_{t} -2t, v_{x} = u_{x}, v_{tt} = u_{tt} - 2, v_{xx} = u_{xx}$
άρα έχω
$\displaystyle{v_{tt} - v_{xx} = u_{tt} - 2 - u_{xx} = - \frac{4x}{\pi}}$
Το καινούριο πρόβλημα είναι

$\displaystyle{v_{tt} - v_{xx} = - \frac{4x}{\pi}}$ ,
$\displaystyle{v(t,0) = v(t, \pi) = 0}$ ,
$\displaystyle{v(0,x)= \sin(x) , v_{t}(0,x) = \sin(x)}$

Έχω διαβάσει για τις σειρές Fourier και τους συντελεστές Fourier που χρησιμοποιούμε σε τέτοια προβλήματα αλλά δυσκολεύομαι να το επιλύσω αφού έχω $f(t,x) = - \frac{4x}{\pi}$ .

Για να λυθεί πρέπει να το κάνεις ομογενές.
το έχεις πάει στο.
$\displaystyle{v_{tt} - v_{xx} = - \frac{4x}{\pi}}$ ,
$\displaystyle{v(t,0) = v(t, \pi) = 0}$ ,
$\displaystyle{v(0,x)= \sin(x) , v_{t}(0,x) = \sin(x)}$

βρες q(x)

συνάρτηση ώστε αν θέσεις v(t,x)=V(t,x)+q(x)

να έχεις
$\displaystyle{V_{tt} - V_{xx} = 0$ ,
$\displaystyle{V(t,0) = V(t, \pi) = 0}$ ,
$\displaystyle{V(0,x)= ..... , V_{t}(0,x) = ....$
Η επίλυση του τελευταίου είναι στάνταρ.

MathSc · #5

Έθεσα

και αν δεν έκανα κάποιο αριθμητικό λάθος βρήκα ότι $q(x) = \frac{2x}{3\pi} - \frac{2\pi x}{3}$
και κατέληξα στο σύστημα
$\displaystyle{V_{tt} - V_{xx} = 0$ ,
$\displaystyle{V(t,0) = V(t, \pi) = 0}$ ,
$\displaystyle{V(0,x)= \sin(x) - \frac{2x}{3\pi} + \frac{2\pi x}{3}, V_{t}(0,x) = \sin(x)$

Για να λυθεί δεν θα έπρεπε να καταφέρω οι συνθήκες μου να έχουν μορφή ημιτονικού αθροίσματος;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

MathSc έγραψε: Τετ Μάιος 06, 2020 5:12 pm Έθεσα
και αν δεν έκανα κάποιο αριθμητικό λάθος βρήκα ότι $q(x) = \frac{2x}{3\pi} - \frac{2\pi x}{3}$
και κατέληξα στο σύστημα
$\displaystyle{V_{tt} - V_{xx} = 0$ ,
$\displaystyle{V(t,0) = V(t, \pi) = 0}$ ,
$\displaystyle{V(0,x)= \sin(x) - \frac{2x}{3\pi} + \frac{2\pi x}{3}, V_{t}(0,x) = \sin(x)$

Για να λυθεί δεν θα έπρεπε να καταφέρω οι συνθήκες μου να έχουν μορφή ημιτονικού αθροίσματος;

Είναι $\displaystyle q(x) = \frac{2x^3}{3\pi} - \frac{2\pi x}{3}$
οπότε θέλει διόρθωση και η
$\displaystyle{V(0,x)= \sin(x) - \frac{2x}{3\pi} + \frac{2\pi x}{3}$

Το πρόβλημα

$\displaystyle{V_{tt} - V_{xx} = 0,0<x<\pi ,t>0$ ,
$\displaystyle{V(t,0) = V(t, \pi) = 0}$ ,
$\displaystyle{V(0,x)= f(x), V_{t}(0,x) = g(x)$

λύνεται αναπτύσσοντας της f(x), g(x)

σε σειρές Fourier .
(Υπάρχει σε σχεδόν όλα τα βιβλία Μ.Δ.Ε)

Βλέπω ότι έχεις $|t|<\infty$
Πρώτη φορά βλέπω σε κυματική αρνητικό χρόνο.
Σίγουρα είναι έτσι;
Από που είναι η άσκηση αν επιτρέπεται.

MathSc · #7

Γεια σας! Αρχικά να ζητήσω συγγνώμη που έκανα τόσες μέρες να απαντήσω. Έκατσα και ξαναδιάβασα για την κυματική εξίσωση και κατάλαβα κάποια πράγματα που δεν είχα καταλάβει καλά.
Είχα το σύστημα:
$u_{tt} - u_{xx} = 2 ( 1 - \frac{2x}{\pi})$ for $\left | t \right | < \infty , 0 < x < \pi$
$u(t,0) = u(t, \pi) = t^{2}$ for $\left | t \right | < \infty$

$u(0,x) = \sin(x) , u_{t}(0,x) = \sin(x)$ for $0 < x < \pi$ .

Έθεσα $v(t,x) = u(t,x) - ( 1 - \frac{x}{\pi})t^{2} - \frac{x}{\pi}t^{2} \Leftrightarrow$ $\displaystyle{\Leftrightarrow v(t,x) = u(t,x) - t^{2}}$
Τώρα $v_{t} = u_{t} -2t, v_{x} = u_{x}, v_{tt} = u_{tt} - 2, v_{xx} = u_{xx}$
άρα έχω
$\displaystyle{v_{tt} - v_{xx} = u_{tt} - 2 - u_{xx} = - \frac{4x}{\pi}}$
Το καινούριο πρόβλημα είναι

$\displaystyle{v_{tt} - v_{xx} = - \frac{4x}{\pi}}$ ,
$\displaystyle{v(t,0) = v(t, \pi) = 0}$ ,
$\displaystyle{v(0,x)= \sin(x) , v_{t}(0,x) = \sin(x)}$

Τώρα με χρήση σειρών και συντελεστών Fourier έχω:

$f(t,x) = - \frac{4x}{\pi}$ και $f_{k}(t)= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi}f(t,x)\sin(kx)dx$ .
Προκύπτει $f_{k}(t)= \begin{cases} \frac{8}{k\cdot \pi} k= \alpha \rho \tau \iota o\varsigma \\ -\frac{8}{k\cdot \pi} k= \pi \epsilon \rho \iota \tau \tau o\varsigma \end{cases}$

Επίσης $\phi (x) = \sin(x)$ και $\phi (x) = \sum_{k=1}^{\infty } a_{k} \sin(k x)$ άρα $a_{1} = 1 , a_{k} = 0$ για τα άλλα

.
Ανάλογα $\psi (x) = \sin(x)$ και $\phi (x) = \sum_{k=1}^{\infty } b_{k} \sin(k x)$ άρα $b_{1} = 1 , b_{k} = 0$ για τα άλλα

.

Μετά διάβασα ότι για να βρω την v(t,x)

πρέπει να λύσω το σύστημα

$v''_{k} + k^{2}v_{k} = f_{k}$ ,
$v_{k}(0) = a_{k}$ ,
$v'_{k}(0) = b_{k}$

ώστε να βρω τα $v_{k}$ και από τη σχέση $v(t,x) = \sum_{k=1}^{\infty } v_{k}(t) \sin(k x)$ να βρω την v(t,x)

και μετά την u(t,x)

.

Η απορία μου είναι η εξής. Πρέπει να λύσω το σύστημα για k=1

, για

άρτιο και για

περιττό και να βρω τα $v_{k}$ σε κάθε περίπτωση, σωστά; Και μετά να τα βάλω στο άθροισμα για να βρω την v(t,x)

.

Κυματική εξίσωση

Κυματική εξίσωση

Re: Κυματική εξίσωση

Re: Κυματική εξίσωση

Re: Κυματική εξίσωση

Re: Κυματική εξίσωση

Re: Κυματική εξίσωση

Re: Κυματική εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση