Τύπος αντίστροφης

RIS · #1

Καλησπέρα.
Ποιός είναι ο τύπος της αντίστροφης της συνάρτησης $f(x)=\frac{e^{2x}}{e^{x}+1}$ ;

Tolaso J Kos · #2

RIS έγραψε: Παρ Μάιος 08, 2020 8:13 pm Καλησπέρα.
Ποιός είναι ο τύπος της αντίστροφης της συνάρτησης $f(x)=\frac{e^{2x}}{e^{x}+1}$ ;

Καταρχάς η

ορίζεται στο $\mathbb{R}$ είναι συνεχής σε αυτό ως πράξεις συνεχών και το σύνολο τιμών αυτής είναι το

$\displaystyle{f \left ( \mathbb{R} \right ) = \left ( \lim_{x\rightarrow -\infty} f(x) , \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) \right ) = \left ( 0, +\infty \right )}$
διότι η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ καθώς $\displaystyle{f'(x) = \frac{e^{2x} \left ( 2+e^x \right )}{\left ( e^{x} + 1 \right )^2} \; , \; x \in \mathbb{R}}$ . Ως γνησίως αύξουσα η

είναι

άρα αντιστρέφεται. Έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} y = \frac{e^{2x}}{e^x+1} &\Leftrightarrow e^{2x} - y e^x - y =0 \\ &\Leftrightarrow \left ( e^x \right )^2 - ye^x - y =0 \\ &\Leftrightarrow \cdots \end{aligned}}$
Δες τη τελευταία εξίσωση ως τριώνυμο του e^x

. Βρες διακρίνουσα και λύσε ως προς

. Πρέπει να βρεις $\displaystyle{x = \ln \left ( \frac{y + \sqrt{y^2+4y}}{2} \right )}$ . Ποια είναι τελικά η αντίστροφη;

RIS · #3

$f^{-1}(x)=ln\frac{x+\sqrt{x^{2}+4x}}{2} , x>0$
Ευχαριστώ !

Τύπος αντίστροφης

Τύπος αντίστροφης

Re: Τύπος αντίστροφης

Re: Τύπος αντίστροφης

Μέλη σε σύνδεση