Διαφορικη εξίσωση

Nikos002 · #1

$f''(x)=6f^{2}(x),\forall x>0$
f(1)=1,f'(1)=-2

$f(x)>0 ,\forall x>0$

Να δείξετε ότι: $f(x)=\frac{1}{x^{2}} ,x>0$

panagiotis iliopoulos · #2

Βάζω μία λύση:
$f''(x)=6f(x)^{2}\Rightarrow 2f'(x)f''(x)=12f(x)^{2}f'(x)\Rightarrow [f'(x)^{2}]'=[4f(x)^{3}]'\Rightarrow f'(x)^{2}=4f(x)^{3}\Rightarrow$ -f'(x) $=2f(x)\sqrt{f(x)}\Rightarrow -\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}=f(x)\Rightarrow [-\sqrt{f(x)}]'=f(x).$

Θέτω $-\sqrt{f(x)}=g(x)$ οπότε θα έχουμε $g'(x)=g(x)^{2}\Rightarrow [-\frac{1}{g(x)}]'=x'\Rightarrow -\frac{1}{g(x)}=x\Rightarrow g(x)=-\frac{1}{x}\Rightarrow \sqrt{f(x)}=\frac{1}{x}\Rightarrow f(x)=\frac{1}{x^{2}}.$

stranger · #3

panagiotis iliopoulos έγραψε: Δευ Ιουν 01, 2020 6:56 am Βάζω μία λύση:
$f''(x)=6f(x)^{2}\Rightarrow 2f'(x)f''(x)=12f(x)^{2}f'(x)\Rightarrow [f'(x)^{2}]'=[4f(x)^{3}]'\Rightarrow f'(x)^{2}=4f(x)^{3}\Rightarrow -f'(x)=2f(x)\sqrt{f(x)}\Rightarrow -\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}=f(x)\Rightarrow [-\sqrt{f(x)}]'=f(x).$

Θέτω $-\sqrt{f(x)}=g(x)$ οπότε θα έχουμε $g'(x)=g(x)^{2}\Rightarrow [-\frac{1}{g(x)}]'=x'\Rightarrow -\frac{1}{g(x)}=x\Rightarrow g(x)=-\frac{1}{x}\Rightarrow \sqrt{f(x)}=\frac{1}{x}\Rightarrow f(x)=\frac{1}{x^{2}}.$

Από το

πως παίρνεις $f'(x) = 2 f(x) \sqrt{f(x)}$ ; Μπορεί η

να είναι αρνητική.
Μάλιστα είναι αρνητική γιατί $f(x)=\frac{1}{x^2}$ , οπότε $f'(x) = - \frac{2}{x^3} <0$ .

panagiotis iliopoulos · #4

Κύριε Σμπώκο παίρνω ριζικά και στα δύο μέλη. Επειδή ακριβώς η

είναι συνεχής και δε μηδενίζεται με f'(1)=-2

συμπεραίνουμε ότι είναι αρνητική.
Είχα ξεχάσει ένα πρόσημο στην αρχή. Το διόρθωσα.

stranger · #5

panagiotis iliopoulos έγραψε: Δευ Ιουν 01, 2020 8:24 am Κύριε Σμπώκο παίρνω ριζικά και στα δύο μέλη. Επειδή ακριβώς η είναι συνεχής και δε μηδενίζεται με συμπεραίνουμε ότι είναι αρνητική.
Είχα ξεχάσει ένα πρόσημο στην αρχή. Το διόρθωσα.

Τώρα είσαι σωστός!

#6

H σχέση $\displaystyle{f''=6f^2\Rightarrow 2f'f''=12f'f^2}$ πρέπει να γίνει ισοδυναμία που γίνεται αν $\displaystyle{f'\ne 0}$ το οποίο εξασφαλίζεται από την $\displaystyle{0<4f^3=f'^2}$

stranger · #7

R BORIS έγραψε: Δευ Ιουν 01, 2020 4:55 pm H σχέση $\displaystyle{f''=6f^2\Rightarrow 2f'f''=12f'f^2}$ πρέπει να γίνει ισοδυναμία που γίνεται αν $\displaystyle{f'\ne 0}$ το οποίο εξασφαλίζεται από την $\displaystyle{0<4f^3=f'^2}$

Δεν βλέπω το λόγο να γίνει ισοδυναμία. Για την ισοδυναμία κάνουμε στο τέλος μια απλή επαλήθευση.

Διαφορικη εξίσωση

Διαφορικη εξίσωση

Re: Διαφορικη εξίσωση

Re: Διαφορικη εξίσωση

Re: Διαφορικη εξίσωση

Re: Διαφορικη εξίσωση

Re: Διαφορικη εξίσωση

Re: Διαφορικη εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση