Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

#41

Άσκηση-4-

Να υπολογίσετε το άθροισμα $\Sigma=1+11+111+...+11...1,\,\,$ που είναι ένα άθροισμα του οποίου κάθε όρος είναι αριθμός με μοναδικά ψηφία τη μονάδα και πλήθους ίσου με την τάξη του αντίστοιχου όρου

επεξεργασία μηνύματος
η άσκηση αυτή είναι η -4-,
την 15 την έδωσε ο Γιάννης ( δεν το πρόσεξα)-Γιώργο... ευχαριστώ

Στέλιος Μαρίνης · #42

Μια μάλλον απλή. Κρίνεις εσύ αν αξίζει να μπει στον κατάλογο:
Αν τα αθροίσματα αντίστοιχα των δύο, τριών και πέντε όρων μιας αριθμητικής προόδου είναι διαδοχικοί όροι μιας μη σταθερής γεωμετρικής προόδου της οποίας ο 6ος όρος είναι 96, να βρεθεί ο 10ος όρος της.

p_gianno · #43

Φωτεινή έγραψε:Άσκηση-4-

Να υπολογίσετε το άθροισμα $\Sigma=1+11+111+...+11...1,\,\,$ που είναι ένα άθροισμα του οποίου κάθε όρος είναι αριθμός με μοναδικά ψηφία τη μονάδα και πλήθους ίσου με την τάξη του αντίστοιχου όρου

Ωραία η άσκηση Φωτεινή αλλά μας πήγες πολλά χρόνια πίσω (όμορφα χρόνια)

$\displaystyle{\begin{array}{l} 1 + 11 + 111 + ..... + \underbrace {1111.111}_n = \frac{1}{9}(9 + 99 + 999 + ..... + \underbrace {999..9}_n) = \frac{1}{9}[(10 - 1) + ({10^2} - 1) + ({10^3} - 1)......({10^n} - 1)] = \\ \frac{1}{9}(10 + {10^2} + {10^3} + {...10^n} - n) = \frac{1}{9}\left( {\frac{{10({{10}^n} - 1)}}{9} - n} \right) = \frac{{{{10}^{n + 1}} - 9(n + 1) - 1}}{{81}} \\ \end{array}}$

#44

Για την άσκηση 15 του Γιάννη.

viewtopic.php?f=21&t=616

#45

math_finder έγραψε:
Φωτεινή έγραψε:Άσκηση-4-

Να υπολογίσετε το άθροισμα $\Sigma=1+11+111+...+11...1,\,\,$ που είναι ένα άθροισμα του οποίου κάθε όρος είναι αριθμός με μοναδικά ψηφία τη μονάδα και πλήθους ίσου με την τάξη του αντίστοιχου όρου
Ωραία η άσκηση Φωτεινή αλλά μας πήγες πολλά χρόνια πίσω

... ελπίζω να ήταν καλά χρόνια ....

...όμορφα χρόνια ...

Παναγιώτη στο μήνυμα σου γράψε άσκηση -4-,άλλαξα την αρίθμηση-γιατί υπήρχε το -15-...ευχαριστώ...

#46

$\colorbox{yellow}{\boxed{\diamond}}$ Άσκηση-16-
Να υπολογίσετε το άθροισμα... $\displaystyle{\Sigma=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+...+\frac{\nu-1}{2^{\nu-1}}+\frac{\nu}{2^{\nu}}}$

#47

Για την άσκηση 16.
Πρόκειται για άθροισμα του οποίου οι όροι είναι γινόμενα των αντίστοιχων όρων μιας γεωμετρικής με πρώτο όρο το 1/2 και λόγο το 1/2 και μιας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο το 1 και διαφορά το 1.
Και τυρί και κουλούρι δηλαδή...

Σε αυτές τις περιπτώσεις η μεθοδολογία προστάζει τα εξής:

Πολλαπλάσιάζουμε το άθροισμα επι το λόγο της Γ.Π(με 1/2..)
Τότε λαμβάνουμε:

$\displaystyle{ \frac{1}{2}\Sigma = 1\left( {\frac{1}{2}} \right)^2 + 2\left( {\frac{1}{2}} \right)^3 + 3\left( {\frac{1}{2}} \right)^4 + ... + \left( {\nu - 1} \right)\left( {\frac{1}{2}} \right)^\nu + \nu \left( {\frac{1}{2}} \right)^{\nu + 1} }$
Αφαιρώντας κατάλληλα έχω:
$\displaystyle{ \Sigma - \frac{1}{2}\Sigma = \frac{1}{2} + \left( {\frac{1}{2}} \right)^2 + \left( {\frac{1}{2}} \right)^3 + \left( {\frac{1}{2}} \right)^4 + ... + \left( {\frac{1}{2}} \right)^\nu - \nu \left( {\frac{1}{2}} \right)^{\nu + 1} }$
δηλαδή:
$\displaystyle{ \frac{1}{2}\Sigma = \frac{1}{2}\frac{{\left( {\frac{1}{2}} \right)^\nu - 1}}{{\frac{1}{2} - 1}} - \nu \left( {\frac{1}{2}} \right)^{\nu + 1} \Rightarrow \Sigma = 2 - \left( {2 + \nu } \right)\left( {\frac{1}{2}} \right)^\nu }$

#48

Φωτεινή έγραψε:Άσκηση-4-

Να υπολογίσετε το άθροισμα $\Sigma=1+11+111+...+11...1,\,\,$ που είναι ένα άθροισμα του οποίου κάθε όρος είναι αριθμός με μοναδικά ψηφία τη μονάδα και πλήθους ίσου με την τάξη του αντίστοιχου όρου

Μία ακόμα λύση, παρόμοια με του Παναγιώτη. Στα νιάτα μας (ως μαθητές...) λύναμε πολλές τέτοιες και θεωρούνταν ρουτίνα... Να υποθέσω ότι και ο Παναγιώτης είναι σειρούλα...
(Σου λένε τίποτα τα ονόματα: Γραφάκου, Διακάκης, Μπούσγος-Βαβαλέτσκος, Ντζιώρας, Πανάκης,Παπανικολάου, Παπατριανταφύλλου, Στάικος κ.λπ.)

Παρατηρώ ότι είναι: $\displaystyle 111...111 = 1 + 10 + 10^2 + \;...\; + 10^\nu = \frac{{10^\nu - 1}}{9}$

(Άθροισμα ν όρων Γεωμ. Πρόοδου με $\displaystyle \alpha _1 = 1,\;\lambda = 10$ )

Γράφουμε όλα τα αθροίσματα με τον ίδιο τρόπο:

$\displaystyle \begin{array}{l} 1 = \frac{{10 - 1}}{9} \\ 11 = 1 + 10 = \frac{{10^2 - 1}}{9} \\ 111 = 1 + 10 + 10^2 = \frac{{10^3 - 1}}{9} \\ ........ \\ \end{array}$

Οπότε: $\displaystyle \Sigma = \frac{{10 + 10^2 + 10^3 + \;...\; + 10^\nu - \nu }}{9} = \frac{{10\left( {10^\nu - 1} \right)}}{{81}} - \frac{\nu }{9}$

Γιώργος Ρίζος

chris_gatos έγραψε:Για την άσκηση 15 του Γιάννη.

viewtopic.php?f=21&t=616

Μπράβο Χρήστο!
Κι έλεγα τι μου θυμίζει, τι μου θυμίζει... Πέρασε ένας χρόνος (και δύο μέρες...) από την τελευταία φορά που συζητήθηκε το θέμα κι ακόμα το θυμάσαι;

#49

Στέλιος Μαρίνης έγραψε:Μια μάλλον απλή. Κρίνεις εσύ αν αξίζει να μπει στον κατάλογο:

Άσκηση-18-
Αν τα αθροίσματα αντίστοιχα των δύο, τριών και πέντε πρώτων όρων μιας αριθμητικής προόδου είναι διαδοχικοί όροι μιας μη σταθερής γεωμετρικής προόδου της οποίας ο 6ος όρος είναι 96, να βρεθεί ο 10ος όρος της.

καλησπέρα Στέλιο

συμπλήρωσα το :πρώτων

p_gianno · #50

Rigio έγραψε: Να υποθέσω ότι και ο Παναγιώτης είναι σειρούλα...
(Σου λένε τίποτα τα ονόματα: Γραφάκου, Διακάκης, Μπούσγος-Βαβαλέτσκος, Ντζιώρας, Πανάκης,Παπανικολάου, Παπατριανταφύλλου, Στάικος κ.λπ.)

Ακριβώς Γιώργο. Τα τέσσερα τελευταία ονόματα που παραθέτεις τα θυμάμαι αφού διδαχθήκαμε τα βιβλία τους στις τελευταίες τάξεις του Γυμνασίου .
Από κείνα τα χρόνια είναι και αυτή η όχι δύσκολη άσκηση που βρήκα σε ένα παλιό τετράδιο.

Ασκηση 19
Να δειχθεί ότι αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας ακολουθίας είναι δευτεροβάθμιο τριώνυμο του ν χωρίς σταθερό όρο για κάθε ν στο Ν* ,η ακολουθία θα είναι αριθμητική πρόοδος της οποίας ζητούνται ο πρώτος όρος και η διαφορά συναρτήσει των συντελεστών του πολυωνύμου

Edit
Να προσθέσω με αφορμή τη λύση του Χρήστου (του οποίου δεν του ξεφεύγει τίποτα) στο μεθεπόμενο μήνυμα ότι τότε το Ν ήταν το σημερινό Ν*

#51

Στέλιος Μαρίνης έγραψε:Μια μάλλον απλή. Κρίνεις εσύ αν αξίζει να μπει στον κατάλογο:
Αν τα αθροίσματα αντίστοιχα των δύο, τριών και πέντε όρων μιας αριθμητικής προόδου είναι διαδοχικοί όροι μιας μη σταθερής γεωμετρικής προόδου της οποίας ο 6ος όρος είναι 96, να βρεθεί ο 10ος όρος της.

Στέλιο
εννοείς διαδοχικών όρων ;

#52

Γιώργο Ρίζο,γειά χαρά!
Τώρα που έχω ηρεμήσει, έχω την πολυτέλεια να ..θυμάμαι κιόλας!

Για την άσκηση 19 του Παναγιώτη...
Έχω:
$\displaystyle{ \Sigma _\nu = a\nu ^2 + \beta \nu ,\forall \nu }$
με α διαφορετικό του μηδενός.

Για ν=1, έχω:
$\displaystyle{ a_1 = a + \beta }$

Επιπλέον,για ν>1:

$\displaystyle{ \begin{array}{l} \Sigma _{\nu - 1} = a_1 + a_2 + .... + a_{\nu - 1} \\ \Sigma _\nu = a_1 + a_2 + .... + a_\nu \\ \end{array} }$
αλλά και:

$\displaystyle{ a_\nu = \Sigma _\nu - \Sigma _{\nu - 1} = a\nu ^2 + \beta \nu - \left[ {a\left( {\nu - 1} \right)^2 + \beta {(\nu-1)} } \right] = 2a\nu - a + \beta }$
τύπος που επαληθέυευεται και απο την περίπτωση ν=1.
Τότε:

$\displaystyle{ a_{\nu + 1} - a_\nu = 2a \Rightarrow a_{\nu + 1} = a_\nu + 2a }$
για κάθε ν φυσικό, όχι μηδέν.
Προφανώς η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά το 2α.
Υ.Γ Έκανα μια απαραιτητη κατά τη γνωμη μου προσθήκη,όσον αφορά το ν.

#53

$\colorbox{yellow}{\color{red}\boxed{\diamond}}$ Άσκηση-20-

Οι αριθμοί 7,69,97 ανήκουν (χωρίς να είναι διαδοχικοί) με τη σειρά που δίνονται σε Αριθμητική Πρόοδο $(\alpha_{\nu})$ με πρώτο όρο το 7.

Αν οι αριθμοί που παρεμβάλλονται μεταξύ των 7 και 69 είναι κατά 17 περισσότεροι από αυτούς που παρεμβάλλονται μεταξύ των 69 και 97,
να βρείτε τη διαφορά ω της προόδου και το πλήθος των αριθμών που παρεμβάλλονται σε κάθε περίπτωση

την άσκηση προτείνει ο Χρήστος Λώλης.

mathxl · #54

Ας είναι χ οι όροι που παρεμβάλονται μεταξύ 69 και 97. Συνεπώς οι όροι που παρεμβάλονται μεταξύ 7 και 69 θα είναι κατά 17 περισσότεροι, δηλαδή χ+17. Συνολικά λοιπόν έχουμε 3+χ+χ+17=2χ+20 διαδοχικούς πρώτους όρους αριθμητικής προ'οδου με πρώτο όρο 7 και διαφορά ω.

Ο τελευταίος όρος 97 θα είναι ο 2χ+20 και ο 69 ο χ+19, οπότε
$\displaystyle{\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{2x + 20}} = {a_1} + \left( {2x + 20 - 1} \right)\omega \Leftrightarrow 97 = 7 + \left( {2x + 19} \right)\omega \Leftrightarrow 90 = \left( {2x + 19} \right)\omega } \\ {{a_{x + 19}} = {a_1} + \left( {x + 19 - 1} \right)\omega \Leftrightarrow 69 = 7 + \left( {x + 18} \right)\omega \Leftrightarrow 62 = \left( {x + 18} \right)\omega } \\ \end{array}}$
Από τα πρώτα μέλη βλέπουμε ότι κανένας παράγοντας στα δεύτερα μέλη δεν μπορεί να είναι μηδέν. Διαιρούμε κατά μέλη κα έχουμε
$\displaystyle{\frac{{2x + 19}}{{x + 18}} = \frac{{90}}{{62}} \Leftrightarrow x = \frac{{45 \cdot 18 - 31 \cdot 19}}{{17}} = 13}$
Άρα μεταξύ των αριθμών 67 κα 97 παρεμβάλονται 13 όροι ενώ μεταξύ των 7 και 69 χ+17=30 όροι
και με αντικατάσταση σε μία από τις εξισώσεις του συστήματος παίρνουμε την διαφορά ω
$\displaystyle{62 = \left( {13 + 18} \right)\omega \Leftrightarrow \omega = 2}$

margavare · #55

Άσκηση-20-

Οι αριθμοί 7,69,97 ανήκουν (χωρίς να είναι διαδοχικοί) με τη σειρά που δίνονται σε Αριθμητική Πρόοδο $(\alpha_{\nu})$ με πρώτο όρο το 7.

Αν οι αριθμοί που παρεμβάλλονται μεταξύ των 7 και 69 είναι κατά 17 περισσότεροι από αυτούς που παρεμβάλλονται μεταξύ των 69 και 97,
να βρείτε τη διαφορά ω της προόδου και το πλήθος των αριθμών που παρεμβάλλονται σε κάθε περίπτωση

την άσκηση προτείνει ο Χρήστος Λώλης.

$\begin{array}{l} \alpha _1 = 7 \\ \alpha _\mu = 69 \\ \alpha _\nu = 97 \\ \mu - 2 = \nu - \mu - 1 + 17 \\ \end{array}$

$\displaystyle{ \begin{array}{l} \left. \begin{array}{l} {\rm{7 + (\mu - 1)\omega = 69}} \\ {\rm{7 + (\nu - 1)\omega = 97}} \\ \end{array} \right\} \Leftrightarrow \left. \begin{array}{l} {\rm{(\mu - 1)\omega = 62}} \\ {\rm{(\nu - 1)\omega = 90}} \\ \end{array} \right\} \Leftrightarrow \frac{{{\rm{\mu - 1}}}}{{{\rm{\nu - 1}}}} = \frac{{31}}{{45}} \\ \Leftrightarrow 45\mu - 31\nu = 14 \\ \end{array} }$

$\displaystyle{ \left. \begin{array}{l} 45\mu - 31\nu = 14 \\ - 2\mu + \nu = - 18 \\ \end{array} \right\} \Leftrightarrow \left. \begin{array}{l} 90\mu - 62\nu = 28 \\ - 90\mu + 45\nu = - 810 \\ \end{array} \right\} \Leftrightarrow \nu = 46,\mu = 32 }$
Οι όροι μεταξύ των 7, 69 είναι μ-2=30
Οι όροι μεταξύ των 69, 97 είναι ν-μ-1=13

$\omega = \frac{{62}}{{\mu - 1}} = 2$

Με πρόλαβε ο Βασίλης, αλλά αφού την έγραψα είπα να την βάλω.

Ιστοσελίδα · #56

Καλησπέρα
Να προσθέσω στη συλλογή ακόμα μιά άσκηση. Είναι από το βιβλίου του συμπατριώτη και δασκάλου μου Πολύδωρου Γεωργιακάκη (Αττικό).
Άσκηση 21
Δίνεται η αριθμητική πρόοδος 1,2,3,4,5,... και παίρνουμε ομάδες όρων ως εξής:
$\left\{1 \right\}$ ,
$\left\{2,3,4 \right\}$ ,
$\left\{3,4,5,6,7 \right\}$ ,
$\left\{4,5,6,7,8,9,10 \right\}$
Να υπολογιστεί το άθροισμα των όρων της ν-οστής ομάδας.
Μίλτος Π.

AlexandrosG · #57

m.pαpαgrigorakis έγραψε:Καλησπέρα
Να προσθέσω στη συλλογή ακόμα μιά άσκηση. Είναι από το βιβλίου του συμπατριώτη και δασκάλου μου Πολύδωρου Γεωργιακάκη (Αττικό).
Άσκηση 21
Δίνεται η αριθμητική πρόοδος 1,2,3,4,5,... και παίρνουμε ομάδες όρων ως εξής:
$\left\{1 \right\}$ ,
$\left\{2,3,4 \right\}$ ,
$\left\{3,4,5,6,7 \right\}$ ,
$\left\{4,5,6,7,8,9,10 \right\}$
Να υπολογιστεί το άθροισμα των όρων της ν-οστής ομάδας.
Μίλτος Π.

Γειά σας,

ο πρώτος αριθμός της ομάδας είναι ο

και ο τελευταίος ο 3n-2

ενώ υπάρχουν και όλοι οι φυσικοί μεταξύ αυτών. Συνεπώς το άθροισμα είναι:

$\displaystyle{\frac{(3n-2)(3n-1)}{2}-\frac{(n-1)n}{2}=...=(2n-1)^2}$

αφού γνωρίζουμε ότι:

$\displaystyle{1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}}$

Στέλιος Μαρίνης · #58

xr.tsif έγραψε:
Στέλιος Μαρίνης έγραψε:Μια μάλλον απλή. Κρίνεις εσύ αν αξίζει να μπει στον κατάλογο:
Αν τα αθροίσματα αντίστοιχα των δύο, τριών και πέντε όρων μιας αριθμητικής προόδου είναι διαδοχικοί όροι μιας μη σταθερής γεωμετρικής προόδου της οποίας ο 6ος όρος είναι 96, να βρεθεί ο 10ος όρος της.

Στέλιο
εννοείς διαδοχικών όρων ;

Των πρώτων όρων εννοώ. Συγνώμη για την παράλειψη.

konkyr · #59

Μια λύση για την άσκηση 10

α)Έχουμε : $\beta _{1}=\alpha _{2}-\alpha _{1}=1$

$\beta _{2}=\alpha _{3}-\alpha _{2}=2$

$\beta _{3}=\alpha _{4}-\alpha _{3}=4$

$\beta _{4}=\alpha _{5}-\alpha _{4}=8$

Η ακολουθία 1,2,4,8,... είναι γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο $\beta _{1}=1$ και λ=2.Άρα ο νιοστός της όρος είναι $\beta _{\nu }=\beta _{1}\lambda ^{\nu -1}=2^{\nu -1}$ .

β)Έχουμε: $\alpha _{2}-\alpha _{1}=\beta _{1}$

$\alpha _{3}-\alpha _{2}=\beta _{2}$

..............

$\alpha _{\nu }-\alpha _{\nu -1}=\beta _{\nu -1}$

Προσθέτουμε τις παραπάνω σχέσεις κατα μέλη και παίρνουμε : $\alpha _{\nu }-\alpha _{\1}=\beta _{1}+\beta _{2}+\beta _{3}+.............+\beta _{\nu -1}=S_{\nu -1}$ = $\beta _{1}\frac{\lambda ^{\nu -1}-1}{\lambda -1}=2^{\nu -1}-1$ .Άρα $\alpha _{\nu }=2^{\nu -1}+1$

#60

...αντικατέστησα την άσκηση-2- με την παρακάτω...(πιστεύω πιο όμορφη...)

...

Άσκηση-2-...

...νέα...

Μεταξύ των διαδοχικών όρων της πεπερασμένης γεωμετρικής προόδου $1,\lambda,\lambda^2,\lambda^3,...,\lambda^{\mu},\ \ \mu\in\mathbb{N^*}\,\,\,$ , παρεμβάλλουμε κ αριθμητικούς ενδιάμεσους όρους.
Να προσδιορίσετε το άθροισμα όλων αυτών των αριθμητικών ενδιάμεσων όρων

Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Μέλη σε σύνδεση