Τεστ Εξάσκησης (4), Μεγάλοι

#1

ΘΕΜΑ 1
Θεωρούμε τα δευτεροβάθμια πολυώνυμα P(x)

και

τα οποία έχουν ρητούς συντελεστές.
Υποθέτουμε ότι οι ρίζες του P(x)

είναι οι άρρητοι πραγματικοί αριθμοί

και

Αν ο αριθμός a + 2016

είναι ρίζα του Q(x),

να προσδιορίσετε όλες τις δυνατές τιμές της άλλης ρίζας του.

ΘΕΜΑ 2
Να προσδιορίσετε την ελάχιστη τιμή της παράστασης $|5^{4m+3}-n^2|$ όπου m,n

μη αρνητικοί ακέραιοι.

Bonus (αρκετά δυσκολότερο): βρείτε όλα τα ζεύγη (m,n)

για τα οποία πιάνεται το ελάχιστο!

ΘΕΜΑ 3
Οι κύκλοι K_1

και

τέμνονται στα σημεία

και

Οι εφαπτόμενες στον K_1

στα σημεία

και

τέμνονται στο

Έστω

σημείο του κύκλου K_1

διαφορετικό από τα

και

Η ευθεία

τέμνει τον K_1,

για δεύτερη φορά, στο

η ευθεία

τέμνει τον K_2,

για δεύτερη φορά στο

και η ευθεία

τέμνει τον K_2

στο

Να αποδείξετε ότι η ευθεία

περιέχει το μέσο του τμήματος KL.

ΘΕΜΑ 4
Πάνω στο τραπέζι βρίσκονται οκτώ κουτιά, αριθμημένα από το

μέχρι το

και ένα άδειο σακούλι. Αρχικά κάθε κουτί περιέχει ένα πιόνι.
Ο Εστραγκόν έχει στη διάθεσή του απεριόριστα πιόνια και μπορεί να εκτελέσει επανειλημμένα τις παρακάτω κινήσεις:

αφαιρεί 1 πιόνι από το κουτί $i \ (i < 8)$ και προσθέτει 2 πιόνια στο κουτί ,

αφαιρεί 1 πιόνι από το κουτί $i \ (i < 8)$ και μετακινεί 1 πιόνι από το κουτί στο σακούλι.

Σταματάει τις κινήσεις του όταν δεν μπορεί να εκτελέσει καμία κίνηση. Να βρείτε τον ελάχιστο αριθμό από πιόνια που υπάρχουν τότε στο σακούλι.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

socrates έγραψε: Πέμ Φεβ 27, 2020 2:20 pm
ΘΕΜΑ 3
Οι κύκλοι και τέμνονται στα σημεία και Οι εφαπτόμενες στον στα σημεία και τέμνονται στο Έστω σημείο του κύκλου διαφορετικό από τα και Η ευθεία τέμνει τον για δεύτερη φορά, στο η ευθεία τέμνει τον για δεύτερη φορά στο και η ευθεία τέμνει τον στο Να αποδείξετε ότι η ευθεία περιέχει το μέσο του τμήματος

: 241.PNG (38.48 KiB) Προβλήθηκε 3081 φορές

Έστω ότι η

τέμνει τον K_2

ξανά στο

.Στο τρίγωνο MAB

η

είναι η ευθεία της

-συμμετροδιαμέσου και αφού

αντιπαράλληλη η

θα διχοτομεί το

.Έστω $R\equiv MT\cap KP,S\equiv KL\cap MT$ αρκεί να δείξουμε ότι $SR\parallel LP$ και τότε το ζητούμενο έπεται.
Πράγματι $\angle BMC=\angle BAC=\angle BPL\Leftrightarrow MR\parallel LP$

GeorgeWashington1732 · #3

Θεμα 1:

Χωρίς να χάνουμε γενικότητα, P(x) = (x-a)(x-b), Q(x) = (x-a-2016)(x-r)

.

Ξέρουμε πως: $P(-2016) \in \mathbb{Q}$ .

Άρα, $P(-2016)=(a+2016)(b+2016) \neq 0 \in \mathbb{Q}$ .

Πρέπει $Q(0) = (a+2016)r \neq 0 \in \mathbb{Q}$ .

Συνεπώς, $\frac{Q(0)}{P(-2016)} = \frac{r}{b+2016} = z \in \mathbb{Q}$ .

Από τις συνθήκες, είναι $a + b \in \mathbb{Q}$ και πρέπει $a + 2016 + z(b + 2016) \in \mathbb{Q} \Leftrightarrow a + zb \in \mathbb{Q}$ .

Αν $z \neq 1$ , τότε $a + zb - (a + b) = b(z-1) \in \mathbb{Q}$ , άτοπo.

Άρα z = 1

και η δεύτερη ρίζα είναι b + 2016

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

socrates έγραψε: Πέμ Φεβ 27, 2020 2:20 pm ΘΕΜΑ 1

Θεωρούμε τα δευτεροβάθμια πολυώνυμα και τα οποία έχουν ρητούς συντελεστές.
Υποθέτουμε ότι οι ρίζες του είναι οι άρρητοι πραγματικοί αριθμοί και Αν ο αριθμός είναι ρίζα του
να προσδιορίσετε όλες τις δυνατές τιμές της άλλης ρίζας του.

Για να δούμε μια άλλη λύση.

Θεωρούμε το q(x)=Q(x+2016)

.

Τα

εχουν κοινή ρίζα το

.

Κάνουμε την διαίρεση .

Είναι P(x)=cq(x)+f(x)

(1)

οπου f(x)=Ax+B

με

ρητούς.

Θέτοντας x=a

στην (1) παίρνουμε f(a)=0

.

Επειδή το

είναι άρρητος θα είναι $f(x)\equiv 0$

οπότε P(x)=cq(x)

η

Το πρόβλημα μπορεί να γενικευθεί ως εξής:
Εστω πολυώνυμα $P(x),K(x)\in Q[x]$
με το
P(x)

ανάγωγο.

Αν τα P(x),K(x)

εχουν μία κοινή ρίζα τότε
υπάρχει πολυώνυμο

$R(x)\in Q[x]$ ώστε

K(x)=P(x)R(x)

Το έβαλα στο
viewtopic.php?f=200&t=66405

GeorgeWashington1732 · #5

Θέμα 4:

Με (a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8, a_9)

συμβολίζουμε τον αριθμό των πιονιών στα

κουτιά και το σακούλι (a_9)

.

Αρχικά είναι (1,1,1,1,1,1,1,1,0)

.

$(1,1,1,1,1,1,1,1,0) \rightarrow (1,1,1,1,1,1,0,3,0) \rightarrow (0,3,0,3,0,3,0,3,0) \rightarrow (0,0,6,3,0,3,0,3,0)$
$\rightarrow (0,0,0,15,0,3,0,3,0) \rightarrow (0,0,0,0,30,3,0,3,0) \rightarrow (0,0,0,0,0,63,0,3,0)$
$\rightarrow (0,0,0,0,0,0,126,3,0) \rightarrow (0,0,0,0,0,0,0,255,0)$ .

Άρα το ελάχιστο είναι το

.

#6

GeorgeWashington1732 έγραψε: Πέμ Φεβ 27, 2020 8:57 pm Θέμα 4:

Με συμβολίζουμε τον αριθμό των πιονιών στα κουτιά και το σακούλι .

Αρχικά είναι .

$(1,1,1,1,1,1,1,1,0) \rightarrow (1,1,1,1,1,1,0,3,0) \rightarrow (0,3,0,3,0,3,0,3,0) \rightarrow (0,0,6,3,0,3,0,3,0)$
$\rightarrow (0,0,0,15,0,3,0,3,0) \rightarrow (0,0,0,0,30,3,0,3,0) \rightarrow (0,0,0,0,0,63,0,3,0)$
$\rightarrow (0,0,0,0,0,0,126,3,0) \rightarrow (0,0,0,0,0,0,0,255,0)$ .

Άρα το ελάχιστο είναι το .

Σωστά!
Η άσκηση ζητάει το μέγιστο αριθμό από πιόνια. Από λάθος έγραψα για τον ελάχιστο...

Επαναδιατυπώνω, λοιπόν:

Πάνω στο τραπέζι βρίσκονται οκτώ κουτιά, αριθμημένα από το 1 μέχρι το 8, και ένα άδειο σακούλι. Αρχικά κάθε κουτί περιέχει ένα πιόνι.
Ο Εστραγκόν έχει στη διάθεσή του απεριόριστα πιόνια και μπορεί να εκτελέσει επανειλημμένα τις παρακάτω κινήσεις:
αφαιρεί 1 πιόνι από το κουτί $i \ (i < 8)$ και προσθέτει 2 πιόνια στο κουτί
αφαιρεί 1 πιόνι από το κουτί $i \ (i < 8)$ και μετακινεί 1 πιόνι από το κουτί στο σακούλι.
Σταματάει τις κινήσεις του όταν δεν μπορεί να εκτελέσει καμία κίνηση. Να βρείτε τον ελάχιστο και το μέγιστο αριθμό από πιόνια που υπάρχουν τότε στο σακούλι.

miltosk · #7

socrates έγραψε: Πέμ Φεβ 27, 2020 2:20 pm ΘΕΜΑ 2
Να προσδιορίσετε την ελάχιστη τιμή της παράστασης $|5^{4m+3}-n^2|$ όπου μη αρνητικοί ακέραιοι.

Bonus (αρκετά δυσκολότερο): βρείτε όλα τα ζεύγη για τα οποία πιάνεται το ελάχιστο!

Παρατηρώ ότι για m=0, n=11

η παράσταση παίρνει την τιμή

. Ας ελέγξω τώρα για τις μικρότερες:

: άτοπο καθώς ο εκθέτης του

είναι περιττός

:άτοπο από Catalan

: άτοπο λόγω τετραγωνικών καταλοίπων (mod 5)

Τώρα για το bonus δεν μπόρεσα να βρω κάτι στην περίπτωση της $n^2+4=5^{4m+3}$ .Δεν ξέρω αν προσεγγίζεται με αλγεβρική θεωρία αριθμών και παραγοντοποίηση του αριστερού μέλους στο $\mathbb{Z}[\sqrt{-4}]$ και ενδεχομένως με βοήθεια του γεγονότος ότι $m\equiv 0(mod 3)$ το οποίο συμπαιρένεται με mod 7

αν δεν μου ξέφυγε κάτι. Καμιά ιδέα γι αυτό;

Η περίπτωση $n^2-4=5^{4m+3}$ είναι αρκετά απλή καθώς: n-2=5^a

και

Από αυτές

και άρα

.
Τότε

και

.
Άρα

, άτοπο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

miltosk έγραψε: Παρ Φεβ 28, 2020 2:58 pm
socrates έγραψε: Πέμ Φεβ 27, 2020 2:20 pm ΘΕΜΑ 2
Να προσδιορίσετε την ελάχιστη τιμή της παράστασης $|5^{4m+3}-n^2|$ όπου μη αρνητικοί ακέραιοι.

Bonus (αρκετά δυσκολότερο): βρείτε όλα τα ζεύγη για τα οποία πιάνεται το ελάχιστο!

Τώρα για το bonus δεν μπόρεσα να βρω κάτι στην περίπτωση της $n^2+4=5^{4m+3}$ .Δεν ξέρω αν προσεγγίζεται με αλγεβρική θεωρία αριθμών και παραγοντοποίηση του αριστερού μέλους στο $\mathbb{Z}[\sqrt{-4}]$ και ενδεχομένως με βοήθεια του γεγονότος ότι $m\equiv 0(mod 3)$ το οποίο συμπαιρένεται με αν δεν μου ξέφυγε κάτι. Καμιά ιδέα γι αυτό;

Το $\mathbb{Z}[\sqrt{-4}]$ είναι το ίδιο με το $\mathbb{Z} [ i ]$
που είναι περιοχή μοναδικής παραγοντοποίησης.

miltosk · #9

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Παρ Φεβ 28, 2020 7:26 pm
miltosk έγραψε: Παρ Φεβ 28, 2020 2:58 pm
socrates έγραψε: Πέμ Φεβ 27, 2020 2:20 pm ΘΕΜΑ 2
Να προσδιορίσετε την ελάχιστη τιμή της παράστασης $|5^{4m+3}-n^2|$ όπου μη αρνητικοί ακέραιοι.

Bonus (αρκετά δυσκολότερο): βρείτε όλα τα ζεύγη για τα οποία πιάνεται το ελάχιστο!

Τώρα για το bonus δεν μπόρεσα να βρω κάτι στην περίπτωση της $n^2+4=5^{4m+3}$ .Δεν ξέρω αν προσεγγίζεται με αλγεβρική θεωρία αριθμών και παραγοντοποίηση του αριστερού μέλους στο $\mathbb{Z}[\sqrt{-4}]$ και ενδεχομένως με βοήθεια του γεγονότος ότι $m\equiv 0(mod 3)$ το οποίο συμπαιρένεται με αν δεν μου ξέφυγε κάτι. Καμιά ιδέα γι αυτό;
Το $\mathbb{Z}[\sqrt{-4}]$ είναι το ίδιο με το $\mathbb{Z} [ i ]$
που είναι περιοχή μοναδικής παραγοντοποίησης.

Ευχαριστώ για την υπόδειξη.
Αν και ιδιαίτερα άπειρος ας κάνω μια προσπάθεια.
$(n-\sqrt{-4})(n+\sqrt{-4})=(5^r)^3$
Όμως αν $d=((n-\sqrt{-4}),(n+\sqrt{-4}))$ τότε ο

διαιρεί την διαφορά τους $2\sqrt{-4}$ και άρα $d\mid 8$ . Όμως $d\mid 5$ . Άρα d=1

.
Σύμφωνα με την υπόδειξή σας το $\mathbb{Z}[\sqrt{-4}]$ είναι UFD (νομίζω έτσι ονομάζεται) και επομένως υπάρχουν a,b

ακέραια τέτοια ώστε $n+\sqrt{-4}=(a+bi)^3$ .
Εξισώνοντας πραγματικά και μιγαδικά μέρη φτάνω στην:
b(3a^2-4b^2)=1

Αν

:

, άτοπο
Άρα: b=-1

:

.
Αν

:

άτοπο.
Αν a=-1

:

.
Επομένως πρέπει n=11

και άρα μοναδική λύση η (m,n)=(0,11)

.
Παρακαλώ οι πιο έμπειροι να έλεγξουν και (κατά πάσα πιθανότητα) να διορθώσουν.
Στον ΜΚΔ δεν είμαι ΚΑΘΟΛΟΥ σίγουρος.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #10

miltosk έγραψε: Παρ Φεβ 28, 2020 8:44 pm $(n-\sqrt{-4})(n+\sqrt{-4})=(5^r)^3$
Όμως αν $d=((n-\sqrt{-4}),(n+\sqrt{-4}))$ τότε ο διαιρεί την διαφορά τους $2\sqrt{-4}$ και άρα $d\mid 8$ . Όμως $d\mid 5$ . Άρα .

Υπάρχει πρόβλημα .
Αν και είναι σωστό ότι είναι πρώτοι μεταξύ τους δεν είναι ακριβής η απόδειξη.
Το d=a+ib

και είναι κοινός διαιρέτης.
Θα πρέπει να δείξεις ότι το

είναι unit.

Είναι γνωστό και αποδεικνύεται ανάλογα ότι η διοφαντική
y^2+4=z^3

εχει λύσεις ακριβώς τα $(y,z)=(\pm 11,5)or(\pm 2,2)$

Πρόσεξε σε UFD υπάρχει πρόβλημα στον ορισμό του Μ.Κ.Δ.
Εδω απλά δείχνουμε ότι κάθε κοινός διαιρέτης είναι unit και αυτό αρκεί.

stamas1 · #11

Πως μπορείς να αποδείξεις οτι πέρνει ελάχιστο για m=0 και n=11?

miltosk · #12

stamas1 έγραψε: Σάβ Φεβ 29, 2020 12:19 pm Πως μπορείς να αποδείξεις οτι πέρνει ελάχιστο για m=0 και n=11?

Το ότι γι αυτό το ζεύγος παίρνει την τιμή 4 είναι μια απλή παρατήρηση. Σε πιο πάνω ποστ αποδυκνείω ότι δεν μπορεί να πάρει μικρότερη τιμή (μην ξεχνάς ότι μιλάμε για μη αρνητικούς ακεραίους και ότι υπάρχει η απόλυτη τιμή). Τώρα το για ποια ζεύγη παίρνει την τιμή 4 είναι άλλη ιστορία. Πιο πάνω παραθέτω (ή τουλάχιστον έκανα μια προσπάθεια) εύρεσης των ζευγών αυτών.
Φιλικά, Μίλτος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #13

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Σάβ Φεβ 29, 2020 10:38 am
miltosk έγραψε: Παρ Φεβ 28, 2020 8:44 pm $(n-\sqrt{-4})(n+\sqrt{-4})=(5^r)^3$
Όμως αν $d=((n-\sqrt{-4}),(n+\sqrt{-4}))$ τότε ο διαιρεί την διαφορά τους $2\sqrt{-4}$ και άρα $d\mid 8$ . Όμως $d\mid 5$ . Άρα .
Υπάρχει πρόβλημα .
Αν και είναι σωστό ότι είναι πρώτοι μεταξύ τους δεν είναι ακριβής η απόδειξη.
Το και είναι κοινός διαιρέτης.
Θα πρέπει να δείξεις ότι το είναι unit.

Είναι γνωστό και αποδεικνύεται ανάλογα ότι η διοφαντική
εχει λύσεις ακριβώς τα $(y,z)=(\pm 11,5)or(\pm 2,2)$

Πρόσεξε σε UFD υπάρχει πρόβλημα στον ορισμό του Μ.Κ.Δ.
Εδω απλά δείχνουμε ότι κάθε κοινός διαιρέτης είναι unit και αυτό αρκεί.

Εχουμε $n^{2}+4=5^{3r}$
Παρατηρούμε ότι ο

πρέπει να είναι περιττός

Γράφεται
$(n-2i)(n+2i)=5^{3r}$

Δουλεύουμε στο $\mathbb{Z} [ i ]$

που είναι UFD Ευκλείδια περιοχή κλπ.
Τα unit του είναι τα 1,-1,i,-i

και norm

$N(a+ib)=a^{2}+b^{2}$

Θα δείξουμε ότι για

περιττό οι μόνοι κοινοί διαιρέτες των

(n-2i),(n+2i )

είναι unit.

Εστω d=a+ib

με

(1)
.
Θα έχουμε ότι d/4i

και

Επειδή για $x,y \in \mathbb{Z} [ i ]$
ισχύει
$x/y \Rightarrow N(x)/N(y)$
παίρνουμε ότι
$a^{2}+b^{2}/16,a^{2}+b^{2}/4n^{2}$
Επειδή ο

περιττός συμπεραίνουμε ότι
$a^{2}+b^{2}/4$
Αλλά λόγω της (1) $a^{2}+b^{2}/4+n^{2}$
Επειδή

περιττός παίρνουμε ότι
$a^{2}+b^{2}=1$
οπότε το

είναι unit και τελειώσαμε.

Ετσι συμπεραίνουμε λόγω UFD ότι υπάρχουν ακέραιοι a,b

με
$n-2i=(a+ib)^{3}$
και δουλεύοντας με πραγματικά και φανταστικά βρίσκουμε ότι το

είναι

η

και επειδή μπορούμε εξ αρχής να το υποθέσουμε θετικό είναι

.

min## · #14

Για το 4 η απάντηση είναι $\left \lfloor \frac{2^{n}-1}{3}\right \rfloor$ όπου

το πλήθος των κουτιών.
Για το bound:
Βάζουμε βάρος $\frac{1}{2^i}$ σε κάθε καραμέλα στο

οστό κουτάκι,και κάθε φορά που πετάμε μια στο σακούλι πολλαπλασιάζουμε το βάρος της με

.
Το συνολικό βάρος που στην αρχή είναι $A=2-\frac{1}{2^{n-1}}$ μένει αμετάβλητο.Επομένως στο τέλος πρέπει $3(x_{1}+x_{2}+..+x_{k})\leq A$ όπου τα $x_{i}$ είναι τα βάρη των καραμέλων στο σακούλι.Το

μεγιστοποιείται όταν ελάχιστοποιηθεί το άθροισμα,το οποίο γίνεται αν όλοι οι όροι είναι $\frac{1}{2^{n-1}}$ από όπου προκύπτει το bound.
Για την κατασκευή απλώς σπρώχνουμε όλες τις καραμέλες στα πρώτα δύο κουτάκια με την πρώτη κίνηση και έπειτα τις μοιράζουμε ισομερώς με τη δεύτερη κλπ.

stamas1 · #15

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: Πέμ Φεβ 27, 2020 6:00 pm
socrates έγραψε: Πέμ Φεβ 27, 2020 2:20 pm
ΘΕΜΑ 3
Οι κύκλοι και τέμνονται στα σημεία και Οι εφαπτόμενες στον στα σημεία και τέμνονται στο Έστω σημείο του κύκλου διαφορετικό από τα και Η ευθεία τέμνει τον για δεύτερη φορά, στο η ευθεία τέμνει τον για δεύτερη φορά στο και η ευθεία τέμνει τον στο Να αποδείξετε ότι η ευθεία περιέχει το μέσο του τμήματος

241.PNG

Έστω ότι η τέμνει τον ξανά στο .Στο τρίγωνο η είναι η ευθεία της -συμμετροδιαμέσου και αφού αντιπαράλληλη η θα διχοτομεί το .Έστω $R\equiv MT\cap KP,S\equiv KL\cap MT$ αρκεί να δείξουμε ότι $SR\parallel LP$ και τότε το ζητούμενο έπεται.
Πράγματι $\angle BMC=\angle BAC=\angle BPL\Leftrightarrow MR\parallel LP$

Αφού η KP είναι αντιπαραλληλη της ΑΒ τότε η ΜΤ αφού είναι συμμετροδιαμεσος της ΑΒ η ΜΤ θα τέμνει την ΚΡ στο μέσο. Αυτό όμως δεν μπορούμε να το πούμε και για την ΚL?(αφού KLAB εγγράψιμο)

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #16

stamas1 έγραψε: Κυρ Ιουν 28, 2020 5:42 pm
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: Πέμ Φεβ 27, 2020 6:00 pm
socrates έγραψε: Πέμ Φεβ 27, 2020 2:20 pm
ΘΕΜΑ 3
Οι κύκλοι και τέμνονται στα σημεία και Οι εφαπτόμενες στον στα σημεία και τέμνονται στο Έστω σημείο του κύκλου διαφορετικό από τα και Η ευθεία τέμνει τον για δεύτερη φορά, στο η ευθεία τέμνει τον για δεύτερη φορά στο και η ευθεία τέμνει τον στο Να αποδείξετε ότι η ευθεία περιέχει το μέσο του τμήματος

241.PNG

Έστω ότι η τέμνει τον ξανά στο .Στο τρίγωνο η είναι η ευθεία της -συμμετροδιαμέσου και αφού αντιπαράλληλη η θα διχοτομεί το .Έστω $R\equiv MT\cap KP,S\equiv KL\cap MT$ αρκεί να δείξουμε ότι $SR\parallel LP$ και τότε το ζητούμενο έπεται.
Πράγματι $\angle BMC=\angle BAC=\angle BPL\Leftrightarrow MR\parallel LP$
Αφού η KP είναι αντιπαραλληλη της ΑΒ τότε η ΜΤ αφού είναι συμμετροδιαμεσος της ΑΒ η ΜΤ θα τέμνει την ΚΡ στο μέσο. Αυτό όμως δεν μπορούμε να το πούμε και για την ΚL?(αφού KLAB εγγράψιμο)

Αν κατάλαβα καλά τι ισχυρίζεσαι δεν μπορούμε να το πούμε, αυτό γιατί το $\rm L$ δεν ανήκει στην ευθεία $\rm MB$ .Εξάλλου με αυτή την λογική για κάθε σημείο $\rm G$ του κύκλου η $\rm MC$ διχοτομεί την $\rm KG$ , πράγμα που δεν ισχύει.Το ότι $\rm KLAB$ εγγράψιμο δεν σημαίνει ότι $\rm KL$ είναι αντιπαράλληλη.

Τεστ Εξάσκησης (4), Μεγάλοι

Τεστ Εξάσκησης (4), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (4), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (4), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (4), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (4), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (4), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (4), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (4), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (4), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (4), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (4), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (4), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (4), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (4), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (4), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (4), Μεγάλοι

Μέλη σε σύνδεση