Ανισότητα Cauchy-Schwarz 5

#1

Δίνονται μη αρνητικοί αριθμοί a,b,c

. Να δειχθεί ότι

$\displaystyle \frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+b} \geqslant \frac{a+b+c}{2}$

Επεξεργασία: Διόρθωση τυπογραφικού.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Demetres έγραψε: Δευ Ιουν 29, 2020 5:36 pm Δίνονται μη αρνητικοί αριθμοί . Να δειχθεί ότι

$\displaystyle \frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+c} \geqslant \frac{a+b+c}{2}$

Φαντάζομαι στον τρίτο όρο ο παρονομαστής είναι $\rm b+a$
Από Cauchy-Schwarz έχουμε $\displaystyle \rm \left (\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{b+a} \right )((b+c)+(c+a)+(b+a)\geq (a+b+c)^2\Leftrightarrow$
$\rm \displaystyle \Leftrightarrow \frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{b+a}\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\dfrac{a+b+c}{2}$

Pantelis.N · #3

Αλλιώς:
Προσθέτουμε a+b+c

και στα δύο μέλη
$(\frac{a^2}{b+c}+a)+(\frac{b^2}{c+a}+b)+(\frac{c^2}{a+b}+c)\geq \frac{3(a+b+c)}{2}\Leftrightarrow \frac{a(a+b+c)}{b+c}+\frac{b(a+b+c)}{c+a}+\frac{c(a+b+c)}{a+b}\geq \frac{3(a+b+c)}{2}\Leftrightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$
που ισχύει, καθώς είναι η ανισότητα Nesbitt.

Για την ανισότητα Nesbitt: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Nesbitt%27s_inequality

Ανισότητα Cauchy-Schwarz 5

Ανισότητα Cauchy-Schwarz 5

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 5

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 5

Μέλη σε σύνδεση