ανισότητα

#1

Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί $x\geq 0,\psi \geq 0$ και $x+\psi \leq 1$
να δείξετε ότι : $x^2 + 8x^2 \psi ^2 + \psi ^2 \leq 1$

Χρήστος

#2

Eίναι:
$\displaystyle{ x + y \le 1 \Rightarrow \left( {x + y} \right)^2 \le 1 (1)}$

Επιπλέον:

$\displaystyle{ x^2 + y^2 + 8x^2 y^2 = \left( {x + y} \right)^2 - 2xy + 8x^2 y^2 \mathop \le \limits^{\left( 1 \right)} 1 - 2xy + 8x^2 y^2 }$
Ακόμη καλύτερα:

$\displaystyle{ x^2 + y^2 + 8x^2 y^2 \le 2xy\left( {4xy - 1} \right) + 1 }$
Μου αρκεί να δείξω πως:

$\displaystyle{ \left( {4xy - 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow xy \le \frac{1}{4} }$
Έχω κάτι γι'αυτό...

Είναι
$\displaystyle{ x + y \le 1 \Rightarrow x \le 1 - y \Rightarrow xy \le y - y^2 (y > 0) }$
Το τριώνυμο :
$\displaystyle{ y - y^2 }$
έχει μέγιστο, στο $y=\frac{1}{2}$ το $\displaystyle{\frac{1}{4}}$ .
Αρα:

$\displaystyle{ y - y^2 \le \frac{1}{4} \Rightarrow xy \le \frac{1}{4} }$
Τέλος.
Υ.Γ:Mιάς και ανασύρθηκε, διορθώθηκε σε κάποια σημεία ο κώδικας Latex για ομοιομορφία κειμένου.

parmenides51 · #3

θα με ενδιέφερε οποιαδήποτε άλλη αντιμετώπιση

#4

Χωρίς να λέω κάτι ουσιαστικά διαφορετικό από την απόδειξη του Χρήστου:

Αρκεί να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{x^2+8x^2y^2+y^2\leq (x+y)^2,}$

δηλαδή ότι $\displaystyle{x^2+8x^2y^2+y^2\leq x^2+2xy+y^2.}$

Αυτή γράφεται ως $\displaystyle{2xy(4xy-1)\leq 0.}$

Αυτή ισχύει, αφού $\displaystyle{xy\geq 0}$ και $\displaystyle{4xy\leq (x+y)^2\leq 1.}$

ανισότητα

ανισότητα

Re: ανισότητα

Re: ανισότητα

Re: ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση