Απρόοπτη ισότητα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 17857
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Απρόοπτη ισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR »

Απρόοπτη ισότητα.png
Απρόοπτη ισότητα.png (11.48 KiB) Προβλήθηκε 1643 φορές
Στις πλευρές AB , AC , τριγώνου ABC , θεωρούμε σημεία P ,Q αντίστοιχα , ώστε : BP=CQ .

Η ευθεία η οποία διέρχεται από τα μέσα M ,N των BQ , CP , τέμνει τις AB , AC στα σημεία S , T ,

αντίστοιχα . Δείξτε ότι : BS=QT και : AS=AT .
Τελευταία επεξεργασία από το μέλος KARKAR την Τρί Ιούλ 14, 2020 8:16 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Ετικέτες:
απρόοπτη
τρίγωνο
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 140
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Απρόοπτη ισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ »

Καλησπέρα,
Με θ. μενελάου στο τρίγωνο APC, διατέμνουσας SNT έχω:

\dfrac{TC}{TA}\cdot \dfrac{NP}{NC}\cdot \dfrac{SA}{SP}=1\Leftrightarrow \dfrac{TC}{TA}\cdot \dfrac{SA}{SP}=1\,\,(1)

Με θ. μενελάου στο τρίγωνο ABQ διατέμνουσας TMS έχω:

\dfrac{SB}{SA}\cdot \dfrac{TA}{TQ}\cdot \dfrac{MQ}{MB}=1\Leftrightarrow \dfrac{SB}{SA}\cdot \dfrac{TA}{TQ}=1\,\,\ (2)

Πολλαπλασιάζοντας κατα μέλη τις (1) και (2) παίρνω:

\dfrac{SB}{SP}=\dfrac{TQ}{TC}\Leftrightarrow \dfrac{SB}{BP}=\dfrac{TQ}{CQ}\overset{BP=QC}{\Leftarrow \!=\!\Rightarrow }\boxed{SB=TQ}
KARKAR έγραψε: Τρί Ιούλ 14, 2020 7:00 pm ...και : AS=AT .
Διαιρώντας κατά μέλη τις (1) και (2) παίρνω:

\dfrac{TC}{TA}\cdot \dfrac{SA}{SP}\cdot \dfrac{SA}{SB}\cdot \dfrac{TQ}{TA}=1 \overset{SB=QT}{\underset{SP=TC}{\Leftarrow \!=\!\Rightarrow} }SA^{2}=TA^{2}\Leftrightarrow \boxed{SA=TA}
Τελευταία επεξεργασία από το μέλος ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ την Τετ Ιούλ 15, 2020 3:06 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10966
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Απρόοπτη ισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros »

Απρόοπτη ισότητα.png
Απρόοπτη ισότητα.png (17.7 KiB) Προβλήθηκε 1589 φορές
Από τα P\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Q φέρνω παράλληλες στην ST και τέμνουν τις AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB\,\, στα K,L.

Θέτω : BS = a\,\,,\,\,SL = b\,\,,\,\,LP = c\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CT = x\,\,,\,\,TQ = y\,\,,\,\,QK = w Ας είναι ακόμα , AB < AC.

Θα ισχύουν: \left\{ \begin{gathered} a = b\,\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \\ x = y + w\,\,\left( 2 \right) \hfill \\ a + b + c = x + y\,\,\left( 3 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\,\,\, \Rightarrow 2b + c = 2y + w\,\,\left( 4 \right)

Αλλά αφού: \dfrac{c}{b} = \dfrac{w}{y} \Rightarrow \dfrac{c}{{2b}} = \dfrac{w}{{2y}} \Rightarrow \dfrac{{2b + c}}{b} = \dfrac{{2y + w}}{y}

οπότε λόγω της \left( 4 \right) έχω: b = y και λόγω της \left( 1 \right) : \boxed{a = y} και \boxed{c = w}

Έτσι τα τετράπλευρα STQL\,\,\kappa \alpha \iota \,\,STKP είναι ισοσκελή τραπέζια και αναγκαστικά το τρίγωνο AST ισοσκελές .
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 15023
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Απρόοπτη ισότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis »

KARKAR έγραψε: Τρί Ιούλ 14, 2020 7:00 pm Απρόοπτη ισότητα.pngΣτις πλευρές AB , AC , τριγώνου ABC , θεωρούμε σημεία P ,Q αντίστοιχα , ώστε : BP=CQ .

Η ευθεία η οποία διέρχεται από τα μέσα M ,N των BQ , CP , τέμνει τις AB , AC στα σημεία S , T ,

αντίστοιχα . Δείξτε ότι : BS=QT και : AS=AT .

Θεωρώ τα σημεία K, L της ευθείας MN ώστε QK||CL||AB. Προφανώς τα BSQK, SPLC είναι

παραλληλόγραμμα και \boxed{SP=CL, BS=QK}
Απρόοπτη ισότητα.png
Απρόοπτη ισότητα.png (12.61 KiB) Προβλήθηκε 1569 φορές
\displaystyle \frac{{QT}}{{TC}} = \frac{{QK}}{{CL}} \Leftrightarrow \frac{{QT}}{{QT + TC}} = \frac{{QK}}{{QK + CL}} \Leftrightarrow \frac{{QT}}{{CQ}} = \frac{{QK}}{{BS + SP}} = \frac{{QK}}{{BP}} \Leftrightarrow QT = QK

απ' όπου \boxed{BS=QT} και \displaystyle A\widehat ST = Q\widehat KT = Q\widehat TK \Leftrightarrow \boxed{AS=AT}
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4770
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Re: Απρόοπτη ισότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ »

KARKAR έγραψε: Τρί Ιούλ 14, 2020 7:00 pm Απρόοπτη ισότητα.pngΣτις πλευρές AB , AC , τριγώνου ABC , θεωρούμε σημεία P ,Q αντίστοιχα , ώστε : BP=CQ .

Η ευθεία η οποία διέρχεται από τα μέσα M ,N των BQ , CP , τέμνει τις AB , AC στα σημεία S , T ,

αντίστοιχα . Δείξτε ότι : BS=QT και : AS=AT .
1.png
1.png (27.01 KiB) Προβλήθηκε 1523 φορές
Έστω K το συμμετρικό του P ως προς το μέσο M της BQ και ας είναι L\equiv KQ\cap ST
Τότε προφανώς PBKQ παραλληλόγραμμο (οι διαγώνιες διχοτομούνται) και ST\equiv MN\parallel KC(συνδέει τα μέσα των πλευρών τριγώνου)
Έτσι από QC=PB=QK προκύπτει ότι το τρίγωνο \vartriangle KQCείναι ισοσκελές άρα και τα \vartriangle AST,\vartriangle QLTείναι ισοσκελή (παράλληλες πλευρές) οπότε AS=AT και με MB=MQ\overset{SB\parallel QL}{\mathop{\Rightarrow }}\,SB=LQ=QTκαι το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Κορυφή
p_gianno
Δημοσιεύσεις: 1099
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 1:10 am

Re: Απρόοπτη ισότητα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από p_gianno »

KARKAR έγραψε: Τρί Ιούλ 14, 2020 7:00 pm Απρόοπτη ισότητα.pngΣτις πλευρές AB , AC , τριγώνου ABC , θεωρούμε σημεία P ,Q αντίστοιχα , ώστε : BP=CQ .

Η ευθεία η οποία διέρχεται από τα μέσα M ,N των BQ , CP , τέμνει τις AB , AC στα σημεία S , T ,

αντίστοιχα . Δείξτε ότι : BS=QT και : AS=AT .
ισότητα τμημάτων.png
ισότητα τμημάτων.png (31.21 KiB) Προβλήθηκε 1458 φορές
O μέσον της PQ. Είναι τότε OM||=1/2 BP (1) & ON||=1/2 CQ (2) και επειδή BP=CQ έπεται ότι OM=ON

δηλαδή το τρίγωνο MON είναι ισοσκελές.

Φέρω QK||SB συνεπώς επειδή MB=MQ έπεται ότι SM=MK άρα SBKQ παραλληλόγραμμο άρα SB=QK.

Είναι όμως για τις γωνίες QKT=OMN=MNO=KTQ συνεπώς τρίγωνο KQT ισοσκελές και QT=QK=BS οεδ

ii) Επειδή QK||AS και τριγ KQT ισοσκελές έχουμε (γωνίες) AST= QKT=QTK άρα SAT ισοσκελές, συνεπώς AS=AT
Κορυφή
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2782
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Απρόοπτη ισότητα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN »

KARKAR έγραψε: Τρί Ιούλ 14, 2020 7:00 pm Απρόοπτη ισότητα.pngΣτις πλευρές AB , AC , τριγώνου ABC , θεωρούμε σημεία P ,Q αντίστοιχα , ώστε : BP=CQ .

Η ευθεία η οποία διέρχεται από τα μέσα M ,N των BQ , CP , τέμνει τις AB , AC στα σημεία S , T ,

αντίστοιχα . Δείξτε ότι : BS=QT και : AS=AT .
Για το δεύτερο ερώτημα AS=AT .

Κατασκευάζω το παραλληλόγραμμο BSTK

Τότε το τρίγωνο QTK είναι ισοσκελές και

BS=TK=QT ακόμη MT//BJ,QM=BM

αρα

QT=TJ=TK\Rightarrow \hat{QKT}=90^{0}, QK\perp BK,QK\perp ST,\hat{QTM}=\hat{MTK}=\hat{AST}
Συνημμένα
Απρόοπτη ισότητα.png
Απρόοπτη ισότητα.png (54.17 KiB) Προβλήθηκε 1421 φορές
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή στο “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες