Καρτεσιανός τόπος

KARKAR · #1

: Καρτεσιανός τόπος.png (3.7 KiB) Προβλήθηκε 1226 φορές

Στις πλευρές της ορθής γωνίας $\hat{O}$ θεωρούμε σημεία A , B

, ώστε : $OA=a , OB=b , (a\geq b)$ .

Σημείο

κινείται επί του

και σημείο

στην προέκταση του

, ώστε :

.

Βρείτε ( περιγράψτε λεπτομερώς ) , τον γεωμετρικό τόπο του μέσου

του τμήματος

.

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιούλ 16, 2020 8:32 am Καρτεσιανός τόπος.pngΣτις πλευρές της ορθής γωνίας $\hat{O}$ θεωρούμε σημεία , ώστε : $OA=a , OB=b , (a\geq b)$ .

Σημείο κινείται επί του και σημείο στην προέκταση του , ώστε : .

Βρείτε ( περιγράψτε λεπτομερώς ) , τον γεωμετρικό τόπο του μέσου του τμήματος .

εδώ θα βρείτε το κλειδί του προβλήματος και δεν είναι ανάγκη η γωνία AOB

να είναι ορθή και θα επανέλθω αν δεν απαντηθεί (ευκλείδεια βέβαια

)

S.E.Louridas · #3

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιούλ 16, 2020 8:32 am Καρτεσιανός τόπος.pngΣτις πλευρές της ορθής γωνίας $\hat{O}$ θεωρούμε σημεία , ώστε : $OA=a , OB=b , (a\geq b)$ .

Σημείο κινείται επί του και σημείο στην προέκταση του , ώστε : .

Βρείτε ( περιγράψτε λεπτομερώς ) , τον γεωμετρικό τόπο του μέσου του τμήματος .

Ας το γενικεύσουμε για μη ορθή γωνία (καταθέτω την διαπραγμάτευση που μου "ήρθε" άμεσα στο Νου).

Στην τυχούσα γωνία xOy

κινούνται τα σημεία T,S

με την ιδιότητα OT + OS = OA + OB = k,

όπου

σταθερό ευθύγραμμο τμήμα.
Με βάση το θεώρημα του Πτολεμαίου στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο OSQT

, όπου

η τομή του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο OST

με την διχοτόμο της γωνίας $\angle xOy$ , το ευθύγραμμο τμήμα

, άρα και το σημείο

βγαίνουν σταθερά.
Το ορθογώνιο τρίγωνο QMT

διατηρεί τις γωνίες του. Αν

είναι η τομή του περιγεγραμμένου κύκλους στο QMT

με την

, τότε το σημείο

είναι σταθερό, αφού $\δισπλαυστυλε{\angle QLT = \frac{\pi }{2}.}$ Όμως $\δισπλαυστυλε{\angle MLQ = \frac{{\angle xOy}}{2},\;ct.}$
Άρα η ημιευθεία

θα είναι σταθερή και εκεί επάνω θα κινείται το σημείο

: P, th.png (22.08 KiB) Προβλήθηκε 1165 φορές

#4

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιούλ 16, 2020 8:32 am Καρτεσιανός τόπος.pngΣτις πλευρές της ορθής γωνίας $\hat{O}$ θεωρούμε σημεία , ώστε : $OA=a , OB=b , (a\geq b)$ .

Σημείο κινείται επί του και σημείο στην προέκταση του , ώστε : .

Βρείτε ( περιγράψτε λεπτομερώς ) , τον γεωμετρικό τόπο του μέσου του τμήματος .

Με Αναλυτική Γεωμετρία είναι τετριμμένο, χωρίς καμία ουσιαστική σκέψη: Έστω $A(a,0),\, B(0,b)$ οπότε για κάποιο $k\ge 0$ είναι $T(a+k,0),\, S(0,b-k)$ . Άρα το μέσον $M(x_M,\, ,y_M)$ του

ικανοποιεί $x_M=\dfrac {a+k}{2},\, y_M= \frac {b-k}{2}$ και άρα $x_M+y_M=\dfrac {a+b}{2}$ . Συνεπώς ο ζητούμενος τόπος είναι η ημιευθεία επί της $y= \dfrac {a+b}{2}-x$ , με $x\ge \dfrac {a}{2}$ .

S.E.Louridas · #5

Ας το γενικεύσουμε για μη ορθή γωνία.

Και μία πιο απλή από την πρώτη μου, που εκεί επιστράτευσα .... "πυροβολικό".
Βέβαια έχουμε στο σχήμα που ακολουθεί $MK\parallel Ox,\;MH\parallel Oy$ , οπότε $MK + MH = \frac{{OT + OS}}{2} = \frac{{OA + OB}}{2},\;ct.$
Άρα αν HR=HM, KF=MK

, τότε στη σταθερή ευθεία

, θα κινείται το

: P, th.png (22.08 KiB) Προβλήθηκε 1145 φορές

#6

S.E.Louridas έγραψε: Πέμ Ιούλ 16, 2020 9:53 pm Ας το γενικεύσουμε για μη ορθή γωνία.

Και μία πιο απλή από την πρώτη μου, που εκεί επιστράτευσα .... "πυροβολικό".
Βέβαια έχουμε στο σχήμα που ακολουθεί $MK\parallel Ox,\;MH\parallel Oy$ , οπότε $MK + MH = \frac{{OT + OS}}{2} = \frac{{OA + OB}}{2},\;ct.$
Άρα αν , τότε στη σταθερή ευθεία , θα κινείται το
P, th.png

Γιώργος Μήτσιος · #7

Καλημέρα σε όλους! Θα κάνω μια προσπάθεια να ..συλλάβω την ουσία της τελευταίας -εξαιρετικής ως σκεπτικό- λύσης του Σωτήρη.

Σκοπός και ικανοποίησή μου, να είναι επιτυχής και να γίνει κατανοητή από περισσότερους φίλους μας.

: 17- 7 τόπος(1).png (104.42 KiB) Προβλήθηκε 1097 φορές

Στο σχήμα έχουμε επιπλέον το

μέσο του

.. $NL,MH \parallel OB$ ενώ $OR=\dfrac{OA+OB}{2}$

Όταν $S\equiv B$ τότε $T\equiv A$ άρα $M\equiv N$ . Όταν $S\equiv O$ είναι $\dfrac{ST}{2}=\dfrac{OA+OB}{2}=OR$ οπότε $M\equiv R$ .
Θα δείξουμε ότι το

ανήκει στο τμήμα

.
Στο τρίγωνο LRN

έχουμε

και $LR=OR-OL=\dfrac{OA+OB}{2}-\dfrac{OA}{2}=\dfrac{OB}{2}=LN$ άρα $\widehat{LRN}=\dfrac{\pi -\omega }{2}$

αλλά και στο τρίγωνο MHR

είναι

και $HR=OR-OH=\dfrac{OA+OB}{2}-\dfrac{OT}{2}=..=\dfrac{OS}{2}$

συνεπώς $\widehat{MRH}=\dfrac{\pi -\omega }{2}$ .Από την ισότητα $\widehat{MRH}=\widehat{LRN}$ προκύπτει ότι τα σημεία R,M,N

είναι συνευθειακά.

Τελικά ο ζητούμενος τόπος είναι το ευθύγραμμο τμήμα .

Φιλικά, Γιώργος.

Καρτεσιανός τόπος

Καρτεσιανός τόπος

Re: Καρτεσιανός τόπος

Re: Καρτεσιανός τόπος

Re: Καρτεσιανός τόπος

Re: Καρτεσιανός τόπος

Re: Καρτεσιανός τόπος

Re: Καρτεσιανός τόπος

Μέλη σε σύνδεση