Ανισότητα σιδηρόδρομος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Δίνονται οι πραγματικοί

a_1,a_2,.....a_n

οπου

Να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle (\sum_{i=1}^{n}a_i^2)(\sum_{i=1}^{n}b_ic_i)^2+(\sum_{i=1}^{n}b_i^2)(\sum_{i=1}^{n}a_ic_i)^2\leq$
$\displaystyle (\sum_{i=1}^{n}a_i^2)^{\frac{1}{2}}(\sum_{i=1}^{n}b_i^2)^{\frac{1}{2}}(\sum_{i=1}^{n}c_i^2)((\sum_{i=1}^{n}a_i^2)^{\frac{1}{2}}(\sum_{i=1}^{n}b_i^2)^{\frac{1}{2}}+|(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i)|)$

Η ανισότητα μπορεί να πάρει την μορφή

Δίνονται τα διανύσματα $a , b , c \in \mathbb{R}^{n}$ , δείξτε ότι:
$\displaystyle \big[ || a || \cdot \big]^{2} + \big[ || b || \cdot < a , c >\big]^{2} \leqslant || a || \cdot || b || \cdot \big[ || a || \cdot || b || + | < a , b > | \big] \cdot || c ||^{2}$
όπου < x , y >

είναι το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στον $\mathbb{R}^{n}$ , $x , y \in \mathbb{R}^{n}$

που υπάρχει στο λινκ που έβαλε ο Μιχάλης στο παρακάτω.

Την ξαναβάζω γιατί στο λινκ έχουν μπερδευτεί λίγο οι αναρτήσεις
με ευθύνη του TrltOs.

για διαφόρους λόγους έχει αλλάξει η μορφή της ανάρτησης.

#2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Σάβ Ιούλ 18, 2020 9:24 am Δίνονται οι πραγματικοί

οπου

Να αποδειχθεί ότι

$(\sum_{i=1}^{n}a_i^2)(\sum_{i=1}^{n}b_ic_i)^2+(\sum_{i=1}^{n}b_i^2)(\sum_{i=1}^{n}a_ic_i)^2\leq$
$(\sum_{i=1}^{n}a_i^2)^{\frac{1}{2}}(\sum_{i=1}^{n}b_i^2)^{\frac{1}{2}}(\sum_{i=1}^{n}c_i^2)((\sum_{i=1}^{n}a_i^2)^{\frac{1}{2}}(\sum_{i=1}^{n}b_i^2)^{\frac{1}{2}}+|(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i)|)$

Ξέρω ότι το χαλάω τώρα αλλά...
.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

που είδαμε πρόσφατα στο φόρουμ.

#3

Μιχάλη, έχει γίνει ένα μπέρδεμα στο θέμα που αναφέρεσαι. Η ανισότητα δεν έχει ακόμη αποδειχθεί.

#4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Σάβ Ιούλ 18, 2020 9:24 am

Δίνονται τα διανύσματα $a , b , c \in \mathbb{R}^{n}$ , δείξτε ότι:
$\displaystyle \big[ || a || \cdot \big]^{2} + \big[ || b || \cdot < a , c >\big]^{2} \leqslant || a || \cdot || b || \cdot \big[ || a || \cdot || b || + | < a , b > | \big] \cdot || c ||^{2}$
όπου είναι το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στον $\mathbb{R}^{n}$ , $x , y \in \mathbb{R}^{n}$

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι τα $a , b , c \in \mathbb{R}^{n}$ είναι μη μηδενικά γιατί αλλιώς το αποδεικτέο ισχύει ως ισότητα 0=0

. Επίσης, μπορούμε να αντικαταστήσουμε το

με $\frac {a} {||a||}$ , (το ||a||

απλοποιείται) οπότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι ||a||=1

. Όμοια μπορούμε να υποθέσουμε ότι ||b||= ||c||=1

οπότε το αποδεικτέο συμμαζεύεται ως

$\displaystyle ^{2} + < a , c >^{2} \leqslant 1 + | < a , b > |$

Επίσης μπορούμε να υποθέσουμε ότι το

είναι στο επίπεδο που παράγουν τα a,b

(γιατί αλλιώς c=c_1+c_2

με

στο εν λόγω επίπεδο και c_2

κάθετο σε αυτό, οπότε = + =

, και όμοια < a , c >= < a , c_1 >

. Επίσης στο δεξί μέλος έχουμε πλεονέκτημα αφού λόγω καθετότητας $\displaystyle{||c_1||^2\le ||c_1||^2+||c_2||^2=||c||^2}$ , και λοιπά).

Αν $\theta , \, \phi$ οι γωνίες που σχηματίζει το

με τα

, αντίστοιχα, τότε η γωνία που σχηματίζουν μεταξύ τους τα a,b

είναι $\theta \pm \phi$ (ανάλογα αν το

είναι "μεταξύ" τους ή όχι). Το αποδεικτέο τώρα γίνεται

$\cos ^2 \theta + \cos ^2 \phi \le 1 +|\cos (\theta \pm \phi)|$

Αυτό ισχύει αφού

$\cos ^2 \theta + \cos ^2 \phi = \dfrac {\cos 2\theta +1}{2} + \dfrac {\cos 2\phi +1}{2} = 1+ \dfrac {\cos 2\theta +\cos 2\phi }{2} =$

$\displaystyle{=1+ \cos (\theta +\phi) \cos (\theta -\phi) \le 1+|\cos (\theta +\phi) \cos (\theta -\phi)| \le 1 +|\cos (\theta \pm \phi)|}$ , όπως θέλαμε.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Θα γράψω μια διαφορετική απόδειξη.
Εχει το πλεονέκτημα ότι το εσωτερικό γινόμενο δεν είναι κατ ανάγκη το σύνηθες.
Για να είναι πλήρης η απόδειξη θα αντιγράψω τα αρχικά από την απόδειξη
που έδωσε ο Μιχάλης.
(πιστεύω ότι μου το επιτρέπει)

Συγκεκριμένα θα αποδείξω ότι

Δίνονται τα διανύσματα $a , b , c \in \mathbb{R}^{n}$ , δείξτε ότι:
$\displaystyle \big[ || a || \cdot \big]^{2} + \big[ || b || \cdot < a , c >\big]^{2} \leqslant || a || \cdot || b || \cdot \big[ || a || \cdot || b || + | < a , b > | \big] \cdot || c ||^{2}$
όπου < x , y >

είναι ένα εσωτερικό γινόμενο στον $\mathbb{R}^{n}$ , $x , y \in \mathbb{R}^{n}$

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι τα $a , b , c \in \mathbb{R}^{n}$ είναι μη μηδενικά γιατί αλλιώς το αποδεικτέο ισχύει ως ισότητα 0=0

. Επίσης, μπορούμε να αντικαταστήσουμε το

με $\frac {a} {||a||}$ , (το ||a||

απλοποιείται) οπότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι ||a||=1

. Όμοια μπορούμε να υποθέσουμε ότι ||b||= ||c||=1

οπότε το αποδεικτέο συμμαζεύεται ως

$\displaystyle ^{2} + < a , c >^{2} \leqslant 1 + | < a , b > |$ (1)

Θεωρούμε το επίπεδο που παράγουν τα a,b

.
(αν τα

είναι συγραμμικά η ανισότητα είναι τετριμμένη)
Γράφουμε c=c_1+c_2

με

στο εν λόγω επίπεδο και c_2

κάθετο σε αυτό, οπότε = + =

, και όμοια < a , c >= < a , c_1 >

.

Ετσι η (1) γίνεται

$\displaystyle ^{2} + < a , c_1 >^{2} \leqslant 1 + | < a , b > |$ (2)

με ||a||=1=||b||

και $||c_1||\leq 1$

Αντικαθιστώντας το

με το

αν χρειάζεται μπορούμε να υποθέσουμε ότι το k=< a , b >

πληρεί την $0\leq k\leq 1$

Γράφοντας $c_{1}=\lambda a+\mu b$ όπου $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$
και κάνοντας τις πράξεις η (2) γίνεται

$\displaystyle k^2(\lambda ^{2}+\mu ^{2})+(\lambda ^{2}+\mu ^{2})+4k\lambda \mu\leq 1+k$ (3)

Αλλά η $||c_1||\leq 1$ δίνει ότι

$\displaystyle (\lambda ^{2}+\mu ^{2})+2k\lambda \mu\leq 1$ (4)

Για να αποδείξουμε την (3) αρκεί λόγω της (4) να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle k^2(\lambda ^{2}+\mu ^{2})+2k\lambda \mu\leq k$

η ότι

$\displaystyle k(\lambda ^{2}+\mu ^{2})+2\lambda \mu\leq 1$

Η τελευταία ισχύει γιατί λαμβάνοντας υπ οψιν την (4) έχουμε

$\displaystyle k(\lambda ^{2}+\mu ^{2})+2\lambda \mu\ - 1 \leq k(\lambda ^{2}+\mu ^{2})+ 2\lambda \mu\ -(\lambda ^{2}+\mu ^{2})- 2k\lambda \mu\ = (k-1)(\lambda - \mu\ )^{2}\leq 0$

Ανισότητα σιδηρόδρομος

Ανισότητα σιδηρόδρομος

Re: Ανισότητα σιδηρόδρομος

Re: Ανισότητα σιδηρόδρομος

Re: Ανισότητα σιδηρόδρομος

Re: Ανισότητα σιδηρόδρομος

Μέλη σε σύνδεση