ΚιΝούΜενΑ ΣημΕίΑ

DrStrange · #1

Δύο ευθείες

,

τέμνονται στο σημείο

. Ένας σημείο

κινείται πάνω στην

με σταθερή ταχύτητα και ένα άλλο σημείο

κινείται πάνω στην

με την ίδια σταθερή ταχύτητα, οπότε και περνούν από το

, αλλά όχι συγχρόνως. Να δειχτεί ότι υπάρχει ένα σταθερό διαφορετικό του

σημείο

, ώστε τα

να είναι κάθε χρονική στιγμή ομοκυκλικά.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Πρακτικά θα επιλέξουμε στην

τρία σημεία M_0, M_1, M_2

, όπου

ας υποθέσουμε πως είναι η αρχική θέση του κινούμενου σημείου

και τα άλλα δύο είναι δύο τυχαίες θέσεις.

Ομοίως επιλέγουμε στην

τρία σημεία N_0, N_1, N _2

.

Προφανώς από την ταχύτητα θα ισχύει πως M_0M_1=N_0N_1

και

.

Αρκεί να δείξουμε πως οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων PM_0N_0, PM_1N_1, PM_2N_2

συντρέχουν και σε ένα δεύτερο σημείο, το οποίο θα είναι το

(δεν θα εφάπτονται επειδή τα τρίγωνα δεν θα βγαίνουν ισοσκελή από συνθήκη).

Εκτελούμε μια αντιστροφή από το

τυχαίας δύναμης.

Αρκεί να δείξουμε πως οι ευθείες M'_0N'_0, M'_1N'_1, M'_2N'_2

συντρέχουν. Για να ισχύει αυτό αρκεί (P, M'_0, M'_1, M'_2)=(P, N'_0, N'_1, N'_2)

.

Ξε-αντιστρέφοντας (τα cross ratio διατηρούνται) αρκεί (S, M_0, M_1, M_2)=(S, N_0, N_1, N_2)

, όπου

το σημείο στο άπειρο. Το τελευταίο όμως ισχύει από τις ισότητες M_0M_1=N_0N_1

και

#3

Έστω ότι όταν το πρώτο σημείο βρίσκεται στο

τότε το δεύτερο βρίσκεται στο

, και έστω λίγο αργότερα το μεν πρώτο βρίσκεται στο

και το δεύτερο στο

, όπου

.

Φέρνουμε τον κύκλο που εφάπτεται της πρώτης ευθείας στο

και διέρχεται από το

. Έστω

το σημείο τομής της μεσοκαθέτου της

με τον κύκλο. Θα δείξουμε ότι το

είναι το ζητούμενο σταθερό σημείο, δηλαδή θέλουμε να δείξουμε ότι τα PMNQ

είναι ομοκυκλικά.

Πράγματι, τα τρίγωνα $PMQ,\, KNQ$ είνα ίσα διότι $PQ=KQ, \angle MPQ=\angle MPK+ \angle KPQ= \angle PQK+\angle KPQ=\angle NKP$ και PM=KN

. Άρα $\angle PMQ = \angle PNQ$ , και το ζητούμενο έπεται.
.

#4

DrStrange έγραψε: Τρί Ιούλ 28, 2020 11:02 pm Δύο ευθείες , τέμνονται στο σημείο . Ένας σημείο κινείται πάνω στην με σταθερή ταχύτητα και ένα άλλο σημείο κινείται πάνω στην με την ίδια σταθερή ταχύτητα, οπότε και περνούν από το , αλλά όχι συγχρόνως. Να δειχτεί ότι υπάρχει ένα σταθερό διαφορετικό του σημείο , ώστε τα να είναι κάθε χρονική στιγμή ομοκυκλικά.

Καλησπέρα...

Μια άλλη ιδέα...

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Τομή κύκλων 1.png (31.59 KiB) Προβλήθηκε 1318 φορές

Θεωρούμε τα δύο κινητά σημεία $\displaystyle{M \in (f)}$ και $\displaystyle{N \in (g)}$ , όπως δίνεται και στην εκφώνηση ως εξής:

Για τη χρονική στιγμή $\displaystyle{t=t_o}$ να είναι $\displaystyle{MP=l \ \ (1)}$ και $\displaystyle{NP=m \ \ (2)}$

Για τη χρονική στιγμή $\displaystyle{ t=t_1}$ να είναι $\displaystyle{ M_1P=l_1, \ \ (3)}$ και $\displaystyle{N_1P=m_1, \ \ (4) }$

Θεωρούμε ακόμα ότι είναι:

$\displaystyle{ MP>NP \ \ (5)}$

γιατί τα δύο κινητά σημεία δεν πρέπει να διέρχονται ταυτόχρονα από το σημείο $\displaystyle{P}$ .

Θεωρούμε την δεύτερη τομή $\displaystyle{Q}$ του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο $\displaystyle{(MNP)}$ και της

εξωτερικής διχοτόμου $\displaystyle{(d)}$ της γωνίας $\displaystyle{\widehat{(f, g)}=\omega }$ .

Θα δείξουμε ότι από το σημείο αυτό διέρχεται και ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο $\displaystyle{(M_1N_1P)}$ .

Πράγματι:

Εφαρμόζουμε το πρώτο θεώρημα του Πτολεμαίου για το εγγεγραμμένο τετράπλευρο $\displaystyle{MNPQ}$ .

Άρα:

$\displaystyle{(PQ)(MN)+(NP)(MQ)=(MP)(NQ) \ \ (6)}$

Όμως εύκολα διαπιστώνεται ότι το τρίγωνο $\displaystyle{MNQ}$ είναι ισοσκελές από την ισότητα των σημειουμένων

γωνιών με κόκκινο χρώμα στο ανωτέρω σχήμα.

Επίσης από το ισοσκελές αυτό τρίγωνο είναι:

$\displaystyle{(MN)=2(MQ)sin(\frac{\omega}{2}) \ \ (7)}$

Έτσι αν θέσουμε $\displaystyle{x=(PQ) \ \ (8)}$ τότε σύμφωνα με τις (7) και (8) η σχέση (6) γίνεται:

$\displaystyle{x \cdot 2(MQ) \cdot cos(\omega)+m(MQ)=l(MQ)}$

άρα:

$\displaystyle{x=(PQ)=\frac{l-m}{2sin(\frac{\omega}{2})} \ \ (9) }$

Όμοια αν εργαστούμε στο εγγράψιμο τετράπλευρο $\displaystyle{M_1N_1PQ_1}$ , όπου $\displaystyle{Q_1}$ είναι κι αυτό το δεύτερο
κοινό σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο $\displaystyle{(M_1N_1P)}$ με την εξωτερική διχοτόμο $\displaystyle{d}$ , τότε
θα είναι:

$\displaystyle{x_1=(PQ_1)= \frac{l_1-m_1}{2sin(\frac{\omega}{2})} \ \ (10)}$

όμως λόγω της ευθύγραμμης και ομαλής κίνησης θα είναι:

$\displaystyle{l_1-m_1=(l-vt)-(m-vt)=l-m \ \ (11)}$

Έτσι από τις (9),(10) και (11) προκύπτει:

$\displaystyle{x=x_1 \Rightarrow (PQ)=(PQ_1) }$

και λόγω της (5) θα είναι τελικά:

$\displaystyle{Q \equiv Q_1}$

Έτσι για κάθε θέση των σημείων αυτών $\displaystyle{M,N}$ και κατά τη διάρκεια της κίνησής των το τετράπλευρο

$\displaystyle{(M,N,P,Q)}$ είναι ομοκυκλικά.

Κώστας Δόρτσιος

Σημείωση:

Σε μήνυμα που θα ακολουθήσει θα αναρτήσω το δυναμικό σχήμα καθώς και
τη διερεύνηση του τύπου (9) όταν οι ευθείες $\displaystyle{(f), (g)}$ γίνουν κάθετες.

#5

KDORTSI έγραψε: Τετ Αύγ 05, 2020 5:41 pm
DrStrange έγραψε: Τρί Ιούλ 28, 2020 11:02 pm Δύο ευθείες , τέμνονται στο σημείο . Ένας σημείο κινείται πάνω στην με σταθερή ταχύτητα και ένα άλλο σημείο κινείται πάνω στην με την ίδια σταθερή ταχύτητα, οπότε και περνούν από το , αλλά όχι συγχρόνως. Να δειχτεί ότι υπάρχει ένα σταθερό διαφορετικό του σημείο , ώστε τα να είναι κάθε χρονική στιγμή ομοκυκλικά.
Καλησπέρα...

Μια άλλη ιδέα...
..........................................
Επίσης από το ισοσκελές αυτό τρίγωνο είναι:

$\displaystyle{(MN)=2(MQ)sin(\frac{\omega}{2}) \ \ (7)}$

Έτσι αν θέσουμε $\displaystyle{x=(PQ) \ \ (8)}$ τότε σύμφωνα με τις (7) και (8) η σχέση (6) γίνεται:

$\displaystyle{x \cdot 2(MQ) \cdot cos(\omega)+m(MQ)=l(MQ)}$

άρα:

$\displaystyle{x=(PQ)=\frac{l-m}{2sin(\frac{\omega}{2})} \ \ (9) }$

Όμοια αν εργαστούμε στο εγγράψιμο τετράπλευρο $\displaystyle{M_1N_1PQ_1}$ , όπου $\displaystyle{Q_1}$ είναι κι αυτό το δεύτερο
κοινό σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο $\displaystyle{(M_1N_1P)}$ με την εξωτερική διχοτόμο $\displaystyle{d}$ , τότε
θα είναι:

$\displaystyle{x_1=(PQ_1)= \frac{l_1-m_1}{2sin(\frac{\omega}{2})} \ \ (10)}$

..................................

Κώστας Δόρτσιος

Σημείωση:

Σε μήνυμα που θα ακολουθήσει θα αναρτήσω το δυναμικό σχήμα καθώς και
τη διερεύνηση του τύπου (9) όταν οι ευθείες $\displaystyle{(f), (g)}$ γίνουν κάθετες.

Καλημέρα...

Αναρτώ το δυναμικό σχήμα που υποσχέθηκα στο ανωτέρω μήνυμα και επειδή

έκανα μια διόρθωση "ημαρτημένου" στον τύπο (7) και συνεπώς και στους

επακόλουθους αυτού (9) και (10) δεν χρήζει το πρόβλημα περαιτέρω διερεύνησης.

Τομή κύκλων 2.ggb: (19.72 KiB) Μεταφορτώθηκε 36 φορές

Κώστας Δόρτσιος

#6

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: Τετ Ιούλ 29, 2020 2:17 pm Πρακτικά θα επιλέξουμε στην τρία σημεία , όπου ας υποθέσουμε πως είναι η αρχική θέση του κινούμενου σημείου και τα άλλα δύο είναι δύο τυχαίες θέσεις.

Ομοίως επιλέγουμε στην τρία σημεία .

Προφανώς από την ταχύτητα θα ισχύει πως και .

Αρκεί να δείξουμε πως οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων συντρέχουν και σε ένα δεύτερο σημείο, το οποίο θα είναι το (δεν θα εφάπτονται επειδή τα τρίγωνα δεν θα βγαίνουν ισοσκελή από συνθήκη).

Εκτελούμε μια αντιστροφή από το τυχαίας δύναμης.

Αρκεί να δείξουμε πως οι ευθείες συντρέχουν. Για να ισχύει αυτό αρκεί .

Ξε-αντιστρέφοντας (τα cross ratio διατηρούνται) αρκεί , όπου το σημείο στο άπειρο. Το τελευταίο όμως ισχύει από τις ισότητες και

Διονύσιε καλημέρα...

Στην όμορφη λύση που παρέθεσες θα αναρτήσω κι εγώ ένα σχήμα και μερικά λόγια ώστε να βοηθήσω
στη φαντασία του αναγνώστη...

Η αντιστροφή είναι ένας σπουδαίος γεωμετρικός μετασχηματισμός που λύνει αρκετά και δύσκολα
προβλήματα. Σήμερα με τη χρήση των λογισμικών είναι εύκολο να βρούμε τα αντίστροφα στοιχεία
που εμπλέκονται σε διάφορα προβλήματα. Κάτι που παλαιότερα ήταν πολύ δύσκολο...

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Κινούμενα σημεία 1.png (31.92 KiB) Προβλήθηκε 1193 φορές

Στο σχήμα αυτό βρέθηκαν τα αντίστροφα σημεία των σημείων $\displaystyle{M_o, M_1, M_2}$ και των $\displaystyle{N_o, N_1,N_2}$

ως προς έναν τυχαίο κύκλο αντιστροφής , τον $\displaystyle{(P,r)}$ (με κόκκινο χρώμα).

Αποδείχνεται εύκολα από τον τύπο (1) του σχήματος ότι:

$\displaystyle{(P,M'_o, M'_1,M'_2)=(P,N'_o, N'_1,N'_2) \ \ (2)}$

Άρα από το θεώρημα του Πάππου οι ευθείες:

$\displaystyle{M'_oN'_o, M'_1N'_1, M'_2N'_2 \ \ (3)}$

διέρχονται από το ίδιο σημείο, έστω το $\displaystyle{S}$ .

Όμως οι ευθείες αυτές (3) είναι οι εικόνες των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων:

$\displaystyle{(M_oN_oP), \ \ (M_1N_1P), \ \ (M_2N_2P) \ \ (4) }$

όπως φαίνεται στο δεύτερο σχήμα:

: Κινούμενα σημεία 2.png (55.32 KiB) Προβλήθηκε 1193 φορές

Αν τώρα βρούμε την αντίστροφη εικόνα $\displaystyle{Q}$ του σημείο τομής των ευθειών (3) τότε

προφανώς αυτή θα είναι το δεύτερο κοινό σημείο των περιγεγραμμένων κύκλων (4).

Αυτό φαίνεται στο τρίτο σχήμα:

: Κινούμενα σημεία 3.png (55.77 KiB) Προβλήθηκε 1193 φορές

Έτσι όλοι αυτοί οι κύκλοι διέρχονται από το ίδιο σημείο, το $\displaystyle{Q}$ .

Κώστας Δόρτσιος

Σημείωση:
Παραθέτω και το αντίστοιχο δυναμικό σχήμα:

Κινούμενα σημεία 1.ggb: (24.71 KiB) Μεταφορτώθηκε 35 φορές

ΚιΝούΜενΑ ΣημΕίΑ

ΚιΝούΜενΑ ΣημΕίΑ

Re: ΚιΝούΜενΑ ΣημΕίΑ

Re: ΚιΝούΜενΑ ΣημΕίΑ

Re: ΚιΝούΜενΑ ΣημΕίΑ

Re: ΚιΝούΜενΑ ΣημΕίΑ

Re: ΚιΝούΜενΑ ΣημΕίΑ

Μέλη σε σύνδεση