Εν μέσω ραστώνης, Βρες τη γωνία

#2

ΝΙΚΗΦΟΡΟΣ · #3

Doloros έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 31, 2020 10:02 am

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Τρίγωνο Νικηφόρου_Ανάλυση.png

Τρίγωνο Νικηφόρου.png

Στο πρώτο σχήμα η ανάλυση και στο δεύτερο τα αποτελέσματα .

Αγαπητέ Doloros, θα μπορούσαμε να έχουμε περισσότερα στοιχεία σχετικά με την ανάλυση του προβλήματος;

#4

Πολύ ωραία η μέθοδος του Νίκου (Doloros) αλλά θα αφήσω τον ίδιο να την εξηγήσει.

Ακολουθεί εν μέρη λύση, με Τριγωνομετρία:

Από τον Νόμο των Ημιτόνων στα ABD, BDC

, αντίστοιχα, έχουμε

$\displaystyle{\dfrac {AB}{\sin 9x} = \dfrac {BD}{\sin 16x} }$ και

$\displaystyle{\dfrac {CD}{\sin 4x} = \dfrac {BD}{\sin 5x} }$

Διαιρώντας κατά μέλη και με χρήση του AB=CD

παίρνουμε

$\displaystyle{\dfrac {\sin 4x}{\sin 9x} = \dfrac {\sin 5x}{\sin 16x} }$ , ισοδύναμα $\displaystyle{\sin 4x \sin 16x = \sin 5x \sin 9x}$

της οποία ψάχνουμε λύση με $16x+5x+4x < \pi$ , δηλαδή $x < \dfrac {\pi}{25}$ .

Από εδώ και πέρα κάνω πάρα πολλές πράξεις που δεν τολμώ να πληκτρολογίσω, για να καταλήξω στην λύση $x=\dfrac {\pi}{30}$ .

Εν αναμονή καλύτερης μεθόδου ας δούμε ότι τουλάχιστον η $x=\dfrac {\pi}{30}$ είναι λύση. Ας το γυρίσουμε σε μοίρες (εδώ x=6^o

) για να πεισθούμε ότι ισχύει

$\displaystyle{\sin 24 \sin 96 = \sin 30 \sin 54}$ ισοδύναμα

$\displaystyle{\sin 24 \sin 84 = \dfrac {1}{2} \sin 54}$ , ισοδύναμα

$\displaystyle{2\sin 24 \sin 84 = \sin 54}$ , ισοδύναμα

$\displaystyle{ \cos 60 - \cos 108 = \sin 54}$ ή $\displaystyle{\dfrac {1}{2} -(1-2 \sin ^254) = \sin 54}$ ή $\displaystyle{ \sin 54 = \dfrac {1+\sqrt 5}{4}}$ . To τελευταίο είναι γνωστό ότι ισχύει. Βλέπε π.χ. εδώ.

ΚΟΡΡΕΣ ΙΩΑΝΝΗΣ · #5

Προς το παρόν άλυτη

#6

Εκφώνηση

: Εν μέσω Ραστώνης εκφώνηση.png (13.37 KiB) Προβλήθηκε 1616 φορές

Αν

να βρείτε το

Ανάλυση

Κατασκευάζω το τρίγωνο EDC

με

πάνω στην

για το οποίο $\widehat {DEC} = \widehat {BDA} = 9x$ .

Προς τούτο φέρνω κάθετη στην

στο

και τη μεσοκάθετη στο

που τέμνονται στο

. Ο κύκλος $\left( {K,KC} \right)$ τέμνει ακόμα την

στο

.

Τα τρίγωνα $DBA\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ECD$ έχουν ίσους περιγεγραμμένους κύκλους κέντρων L,K

Γιατί έχουν ίσες χορδές , $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC$ κι απέναντί τους ίσες γωνίες , $\widehat {BDA} = \widehat {CED} = 9x$ .

Θα δείξω ότι $\widehat {CEK} = \theta = x$ . Έστω ότι $\theta > x$ τότε στο $\vartriangle KED$ θα έχω

$10x + 2(9x + \theta ) = 180^\circ \Rightarrow 28x + 2\theta = 180^\circ \Rightarrow \boxed{30x < 180^\circ } \Rightarrow \boxed{16x + 14x < 180^\circ }$

: Τρίγωνο Νικηφόρου_b.png (51.62 KiB) Προβλήθηκε 1706 φορές

Δηλαδή οι ευθείες $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DE$ τέμνοντα προς την μεριά των $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ έστω σε

σημείο

και η εξωτερική γωνία $\widehat {CDE} = \widehat {CDS} > \widehat {DAS} = 16x\,\,(1)$ .

Τώρα δείτε ότι $\widehat {EKD} < \widehat {ALD}$ ( αφού στο $\vartriangle ABC$ το άθροισμα των γωνιών είναι μεγαλύτερο από 30x

)

Άμεσες συνέπειες : $ED < AD\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EC < BD$ οπότε $\widehat {EDC} < \widehat {BAD} = 16x\,\,\left( 2 \right)$

Οι $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ οδηγούν σε μαθηματικό αδιέξοδο. Το ίδιο έχω αν $\theta < x$ , συνεπώς

$\theta = x$ και άρα το $\vartriangle KED$ είναι ισόπλευρο , τα υπόλοιπα προφανή.

ΚΟΡΡΕΣ ΙΩΑΝΝΗΣ · #7

Καλησπέρα.
Απορία. Γιατί το κέντρο Κ του κύκλου βρίσκεται σε σημείο σαν να θεωρούμε δεδομένο ότι το τρίγωνο EDC είναι αμβλυγώνιο; άρα η γωνία θ βγαίνει εκτός του τριγώνου EDC;

Εν μέσω ραστώνης, Βρες τη γωνία

Εν μέσω ραστώνης, Βρες τη γωνία

Re: Εν μέσω ραστώνης, Βρες τη γωνία

Re: Εν μέσω ραστώνης, Βρες τη γωνία

Re: Εν μέσω ραστώνης, Βρες τη γωνία

Re: Εν μέσω ραστώνης, Βρες τη γωνία

Re: Εν μέσω ραστώνης, Βρες τη γωνία

Re: Εν μέσω ραστώνης, Βρες τη γωνία

Μέλη σε σύνδεση