Μέγιστο εμβαδόν 15

KARKAR · #1

: Μέγιστο εμβαδόν.png (6 KiB) Προβλήθηκε 955 φορές

Ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, με μεταβλητές κάθετες πλευρές x , y

, έχει σταθερή περίμετρο $\ell$ .

α) Να υπολογισθεί η πλευρά

, συναρτήσει της πλευράς

.

β) Να υπολογισθεί το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου . Εφαρμογή : $\ell=20$ .

Nikos127 · #2

Έχουμε
$x+y+c=l\Rightarrow c=l-x-y \, (*)$
Και
$x^2+y^2=c^2 \overset{(*)}{\Rightarrow}x^2+y^2=(l-x-y)^2 \Rightarrow y= \frac{2lx-l^2}{2x-2l}$
Το εμβαδό:
$A=1/2xy=\frac{2lx^2-xl^2}{4(x-l)}$
Παραγωγιζουμε
$\frac{dA}{dx}=\frac{2lx^2-4l^2x+l^3}{4(x-l)^2}$
Για τα σημεία μηδενισμού της παραγώγου
$\frac{dA}{dx}=0\iff 2lx^2-4l^2x+l^3=0 \iff x=\frac{4l^2\overset{-}{+}\sqrt{8}l^2}{4l} \overset{l=20}{=} 20\overset{-}{+}5\sqrt{8}$
Δεκτή η ρίζα $x=20-5\sqrt{8}$ διοτι εκεί έχουμε μέγιστο.
Άρα
$A_{max}=A(20-5\sqrt{8})=45\sqrt{8}-1$ , με μικρή επιφύλαξη διότι ίσως υπάρχει κάποιο λάθος μέσα στις πολλές πράξεις/απλοποιήσεις

#3

Το εμβαδόν δίνεται από την : $\displaystyle E=\frac{\ell }{2}r$ , οπότε αρκεί να μεγιστοποιηθεί το r (ακτίνα εγγεγραμμένου )
Ισχύει στο ορθογώνιο τρίγωνο ότι : $\displaystyle \ell =2x+2y-2r\Rightarrow \frac{\ell }{2}-(x+y)=r\Leftrightarrow r=\frac{\ell }{2}-a$
Άρα αρκεί το $\displaystyle a$ να γίνει ελάχιστο .
Ισχύει : $\displaystyle {{(x-y)}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 2xy\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}\ge {{(x+y)}^{2}}$ και η ισότητα για $\displaystyle x=y$ .
Αυτή γράφεται $\displaystyle x+y\le a\sqrt{2}\Leftrightarrow \ell -a\le a\sqrt{2}\Leftrightarrow a\ge \frac{\ell }{1+\sqrt{2}}$ και η ισότητα για $\displaystyle x=y$ .
Άρα για $\displaystyle x=y$ επιτυγχάνουμε την ελάχιστη υποτείνουσα
Τότε $\displaystyle 2x+x\sqrt{2}=\ell \Rightarrow x=\frac{\ell }{2+\sqrt{2}}\Rightarrow E=\frac{1}{2}{{x}^{2}}=\frac{1}{2}\frac{{{\ell }^{2}}}{{{\left( 2+\sqrt{2} \right)}^{2}}}=\frac{1}{2}\frac{{{20}^{2}}}{{{\left( 2+\sqrt{2} \right)}^{2}}}=100(3-2\sqrt{2})$

#4

KARKAR έγραψε: Τετ Αύγ 26, 2020 11:28 am Μέγιστο εμβαδόν.pngΟρθογώνιο τρίγωνο , με μεταβλητές κάθετες πλευρές , έχει σταθερή περίμετρο $\ell$ .

α) Να υπολογισθεί η πλευρά , συναρτήσει της πλευράς .

β) Να υπολογισθεί το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου . Εφαρμογή : $\ell=20$ .

Το α) ερώτημα έχει απαντηθεί σωστά πιο πάνω.

β) ανεξάρτητα του πρώτου .

Θεωρώ ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο , OEF

, με υποτείνουσα $\boxed{EF = l}$ . Το

θα είναι σημείο του τεταρτοκυκλίου $\left( {O,R} \right)\,\,\mu \varepsilon \,\,\boxed{R = \frac{l}{{\sqrt 2 }}}\,\,\left( 1 \right)$ .

Οι μεσοκάθετοι των AE,AF

τέμνουν την

στα $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ . Φέρνω παράλληλη από το

στην

που τέμνει την

στο

.

Το τρίγωνο KBC

είναι ισοσκελές ορθογώνιο και επειδή $\widehat {BOC} = 45^\circ$ το

είναι το περίκεντρο του $\vartriangle OBC$ ακτίνας

, κέντρου

( μέσο του

)

Έστω

ο βόρειος πόλος του κύκλου αυτού. Θα ισχύουν:

$AK \leqslant KN = BC = m\sqrt 2 \Rightarrow \left( {l - m} \right) \leqslant m\sqrt 2 \Rightarrow \boxed{m \geqslant \frac{{l\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{2}}\,\,\left( 2 \right)$

: Μέγιστο εμβαδόν 15_KARKAR_κατασκευή_2.png (42.52 KiB) Προβλήθηκε 789 φορές

Το ίσον να ισχύει όταν τα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N$ συμπέσουν με το μέσο του τεταρτοκυκλίου , $\left( {O,R} \right)$ . Ας είναι $\theta$ η γωνία των $AK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$

Τότε το γινόμενο $AK \cdot BC \cdot \sin \theta$ γίνεται μέγιστο ενώ το γινόμενο $KB \cdot KC = {m^2}$ ελάχιστο .

Δηλαδή το $\left( {ABC} \right) = \left( {ABKC} \right) - \left( {KBC} \right)$ γίνεται μέγιστο.

Είναι ${\left( {ABC} \right)_{\max }} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC = \dfrac{1}{2}{m^2} = \dfrac{1}{2}{\left( {\dfrac{{l\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{2}} \right)^2}$

Δηλαδή : $\boxed{{{\left( {ABC} \right)}_{\max }} = \frac{1}{4}{l^2}\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)}$

Μέγιστο εμβαδόν 15

Μέγιστο εμβαδόν 15

Re: Μέγιστο εμβαδόν 15

Re: Μέγιστο εμβαδόν 15

Re: Μέγιστο εμβαδόν 15

Μέλη σε σύνδεση